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Trouver une asymptote horizontale

Trouver une asymptote horizontale revient à calculer une limite à l'infini. Si f(x) tend vers un nombre fini ℓ quand x tend vers +∞ ou vers -∞, la droite d'équation y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe. Il faut examiner les deux infinis séparément : une fonction peut avoir une asymptote d'un côté et pas de l'autre, ou deux asymptotes différentes. La technique de calcul est toujours la même : faire apparaître des termes qui tendent vers 0, en séparant le quotient ou en factorisant par le terme dominant.

Les étapes

  1. 1

    Calculer la limite à l'infini

    lim_x→+∞ f(x).
  2. 2

    Conclure

    Si limite finie ℓ : asymptote horizontale y = ℓ.

Exemple corrigé

Trouver l'asymptote horizontale de f(x) = (3x+1)/x.

  1. 1.f(x) = 3 + 1/x.
  2. 2.Quand x → ±∞, 1/x → 0, donc f → 3.
Résultat : Asymptote horizontale y = 3.

Deuxième exemple

Trouver les asymptotes horizontales de f(x) = (2x-1)/(x+3).

  1. 1.On factorise par x en haut et en bas : (x(2 - 1/x))/(x(1 + 3/x)).
  2. 2.Après simplification : (2 - 1/x)/(1 + 3/x).
  3. 3.Les termes en 1/x tendent vers 0 en +∞ comme en -∞, donc f(x) → 2.
Résultat : Asymptote horizontale y = 2 en +∞ et en -∞.

Piège à éviter

Transformer l'expression (séparer le quotient) aide à voir la limite.

Questions fréquentes

Faut-il étudier les deux infinis ?
Oui. Une fonction peut avoir une asymptote horizontale en +∞ et pas en -∞, ou bien deux droites différentes.
Comment trouver la limite d'un quotient de polynômes ?
À degrés égaux, la limite est le rapport des coefficients dominants. Si le degré du numérateur est le plus grand, la limite est infinie et il n'y a pas d'asymptote horizontale.
La courbe peut-elle couper son asymptote horizontale ?
Oui, éventuellement plusieurs fois. Rien ne l'interdit : l'asymptote ne décrit que le comportement au bout de la courbe.

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