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Méthode · Terminale spé maths

Calculer une dérivée seconde

La dérivée seconde f'' est simplement la dérivée de la dérivée : on dérive une première fois, puis on recommence sur le résultat obtenu. Elle sert surtout à étudier la convexité — f'' ≥ 0 sur un intervalle signifie que la courbe y est convexe, tournée vers le haut, f'' ≤ 0 qu'elle est concave — et à repérer les points d'inflexion, là où f'' change de signe. En physique, c'est la dérivée seconde de la position par rapport au temps qui donne l'accélération.

Les étapes pour calculer une dérivée seconde

  1. 1

    Calculer f'

    Première dérivation.
  2. 2

    Dériver f'

    On dérive f' pour obtenir f''.

Exemple corrigé : calculer une dérivée seconde

Calculer la dérivée seconde de f(x) = x⁴.

  1. 1.f'(x) = 4x³.
  2. 2.f''(x) = 12x².
Résultat : f''(x) = 12x².

Deuxième exemple

Calculer la dérivée seconde de f(x) = x³ - 6x² + 5.

  1. 1.f'(x) = 3x² - 12x.
  2. 2.On dérive à nouveau : f''(x) = 6x - 12.
  3. 3.f'' s'annule en changeant de signe en x = 2 : la courbe y admet un point d'inflexion.
Résultat : f''(x) = 6x - 12.

Piège à éviter avec la dérivée seconde

Ne pas s'arrêter à f' : la dérivée seconde demande une deuxième dérivation.

Questions fréquentes sur la dérivée seconde

Peut-on dériver deux fois d'un seul coup ?
Non, il faut passer par f' : on la calcule, on l'écrit, puis on la dérive à son tour.
Un point où la dérivée seconde s'annule est-il forcément un point d'inflexion ?
Non, il faut qu'elle change de signe. Pour f(x) = x⁴, f''(x) = 12x² s'annule en 0 sans changer de signe : la courbe reste convexe.
Peut-on dériver plus de deux fois ?
Oui, tant que la fonction s'y prête : on note f''', puis f⁽⁴⁾. Le programme de terminale s'arrête à la dérivée seconde.

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