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Méthode · Terminale spé maths

Calculer une dérivée seconde

La dérivée seconde f'' est simplement la dérivée de la dérivée : on dérive une première fois, puis on recommence sur le résultat obtenu. Elle sert surtout à étudier la convexité — f'' ≥ 0 sur un intervalle signifie que la courbe y est convexe, tournée vers le haut, f'' ≤ 0 qu'elle est concave — et à repérer les points d'inflexion, là où f'' change de signe. En physique, c'est la dérivée seconde de la position par rapport au temps qui donne l'accélération.

Les étapes

  1. 1

    Calculer f'

    Première dérivation.
  2. 2

    Dériver f'

    On dérive f' pour obtenir f''.

Exemple corrigé

Calculer la dérivée seconde de f(x) = x⁴.

  1. 1.f'(x) = 4x³.
  2. 2.f''(x) = 12x².
Résultat : f''(x) = 12x².

Deuxième exemple

Calculer la dérivée seconde de f(x) = x³ - 6x² + 5.

  1. 1.f'(x) = 3x² - 12x.
  2. 2.On dérive à nouveau : f''(x) = 6x - 12.
  3. 3.f'' s'annule en changeant de signe en x = 2 : la courbe y admet un point d'inflexion.
Résultat : f''(x) = 6x - 12.

Piège à éviter

Ne pas s'arrêter à f' : la dérivée seconde demande une deuxième dérivation.

Questions fréquentes

Peut-on dériver deux fois d'un seul coup ?
Non, il faut passer par f' : on la calcule, on l'écrit, puis on la dérive à son tour.
Un point où la dérivée seconde s'annule est-il forcément un point d'inflexion ?
Non, il faut qu'elle change de signe. Pour f(x) = x⁴, f''(x) = 12x² s'annule en 0 sans changer de signe : la courbe reste convexe.
Peut-on dériver plus de deux fois ?
Oui, tant que la fonction s'y prête : on note f''', puis f⁽⁴⁾. Le programme de terminale s'arrête à la dérivée seconde.

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