Fonctions polynômes du second degré en Première générale

Fonctions polynômes du second degré en Première générale : cours complet

Les fonctions du second degré sont de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$f(x) = ax² + bx + c avec $a\ne 0$a ≠ 0. Leur courbe est une parabole. Tu apprends à les étudier, à trouver leur forme canonique et à reconnaître leurs propriétés.

Définition

Une fonction polynôme du second degré est de la forme :

$$f(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$$f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

• $a$a est le coefficient de $x^2$x².
• $b$b est le coefficient de $x$x.
• $c$c est le terme constant.

Représentation graphique : la parabole

La courbe est une parabole :

• Tournée vers le haut si $a>0$a > 0 (sourire).
• Tournée vers le bas si $a<0$a < 0 (triste).

Sommet de la parabole

Le sommet de la parabole a pour coordonnées :

$$S\left(-\frac{b}{2a};f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$S(-b/2a ; f(-b/2a))

Axe de symétrie

L'axe de symétrie est la droite verticale d'équation :

$$x=-\frac{b}{2a}$$x = -b/2a

Forme canonique

Définition

Toute fonction du second degré peut s'écrire sous la forme canonique :

$$f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$$f(x) = a(x - α)² + β

où $\alpha =-\frac{b}{2a}$α = -b/2a et $\beta =f(\alpha )$β = f(α).

Méthode

1. Factoriser $a$a : $f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$f(x) = a(x² + b/a x) + c.
2. Compléter le carré.
3. Identifier $\alpha$α et $\beta$β.

Exemple

$f(x)=2x^2-8x+5$f(x) = 2x² - 8x + 5 :

$$f(x)=2(x^2-4x)+5=2[(x-2{)}^2-4]+5=2(x-2{)}^2-3$$f(x) = 2(x² - 4x) + 5 = 2[(x - 2)² - 4] + 5 = 2(x - 2)² - 3

Donc $\alpha =2$α = 2, $\beta =-3$β = -3. Sommet $S(2;-3)$S(2 ; -3).

Variations

Cas $a>0$a > 0

Minimum $\beta$β en $\alpha$α.

Cas $a<0$a < 0

Maximum $\beta$β en $\alpha$α.

Le discriminant

Définition

$$\Delta =b^2-4ac$$Δ = b² - 4ac

Trois cas

Signe d'une fonction du second degré

Règle

Exemple

$f(x)=x^2-5x+6$f(x) = x² - 5x + 6 : $\Delta =25-24=1$Δ = 25 - 24 = 1, racines $x_1=2$x₁ = 2 et $x_2=3$x₂ = 3.

Résolution d'équations et d'inéquations

Équation $a{x}^2+bx+c=0$ax² + bx + c = 0

On utilise le discriminant pour les racines.

Inéquations

On étudie le signe via le tableau ci-dessus.

Exemple

Résoudre $x^2-5x+6\le 0$x² - 5x + 6 ≤ 0 : d'après le tableau, $x\in [2;3]$x ∈ [2 ; 3].

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier que $a\ne 0$a ≠ 0 (sinon ce n'est plus un polynôme du second degré).
• Mauvais signe de $\Delta$Δ : bien calculer $b^2-4ac$b² - 4ac avec les signes.
• Inverser le sens dans l'inéquation : suivre rigoureusement le tableau.
• Oublier la forme canonique quand elle est demandée.

FAQ — Polynômes du second degré

À quoi sert la forme canonique ?

À lire directement le sommet $(\alpha ,\beta )$(α, β) et donc l'extremum de la fonction.

Toute parabole a-t-elle un sommet ?

Oui : c'est le point le plus bas (si $a>0$a > 0) ou le plus haut (si $a<0$a < 0).

Comment savoir si une équation du second degré a des solutions ?

On calcule le discriminant : $\Delta \ge 0$Δ ≥ 0 → solutions ; $\Delta <0$Δ < 0 → pas de solution réelle.

À quoi servent les paraboles dans la vie ?

À modéliser la trajectoire d'un projectile, la forme d'une antenne parabolique, certains profits en économie, le profil des miroirs de phares de voiture…