Pourcentages et taux d'évolution en Première générale

Pourcentages et taux d'évolution en Première générale : cours complet

En Première générale, tu approfondis les notions de pourcentages et de taux d'évolution. Tu apprends à manipuler des coefficients multiplicateurs, à enchaîner des évolutions successives, et à calculer un taux moyen. Notions essentielles en économie, finance, statistiques.

Le coefficient multiplicateur

Augmentation de $t\%$t%

Multiplier par :

$$1+\frac{t}{100}$$1 + t/100

Exemple : $+25\%$+25% → coefficient $1,25$1,25.

Diminution de $t\%$t%

Multiplier par :

$$1-\frac{t}{100}$$1 - t/100

Exemple : $-30\%$-30% → coefficient $0,7$0,7.

Lien valeur initiale / valeur finale

$$V_f=V_i\times CM$$V_f = Vᵢ × CM

avec $CM$CM = coefficient multiplicateur.

Taux d'évolution

Définition

Si $V_i$Vᵢ est la valeur initiale et $V_f$V_f la valeur finale, le taux d'évolution est :

$$t=\frac{V_f-V_i}{V_i}$$t = (V_f - Vᵢ)/Vᵢ

Multiplié par $100$100, c'est le pourcentage d'évolution.

Exemple

Un prix passe de $80$80 € à $100$100 € :

$$t=\frac{100-80}{80}=0,25=+25\%$$t = (100 - 80)/80 = 0,25 = +25%

Lien avec le coefficient multiplicateur

$$CM=1+t\text{et}t=CM-1$$CM = 1 + t et t = CM - 1

Évolutions successives

Coefficient global

Pour enchaîner plusieurs évolutions, on multiplie les coefficients.

$$C{M}_{\text{global}}=C{M}_1\times C{M}_2\times \dots \times C{M}_n$$CM_global = CM₁ × CM₂ × … × CMₙ

Exemple 1

Hausse de $20\%$20% puis baisse de $20\%$20% :

$$CM=1,2\times 0,8=0,96$$CM = 1,2 × 0,8 = 0,96

→ Évolution globale de $-4\%$-4%, et pas $0\%$0% !

Exemple 2

Trois hausses successives de $10\%$10% :

$$CM=1,1^3=1,331$$CM = 1,1³ = 1,331

→ Évolution globale d'environ $+33,1\%$+33,1%.

Évolution réciproque

Si une grandeur a évolué d'un facteur $CM$CM, l'évolution réciproque utilise $\frac{1}{CM}$1/CM.

Exemple

Un prix a baissé de $20\%$20% (CM = $0,8$0,8). Pour revenir au prix initial, il faut une hausse de :

$$\frac{1}{0,8}-1=0,25=+25\%$$1/0,8 - 1 = 0,25 = +25%

(Pas $+20\%$+20% !)

Taux moyen d'évolution

Définition

Le taux moyen $t_m$t_m sur $n$n périodes est le taux qui, appliqué $n$n fois, donne la même évolution globale :

$$(1+t_m{)}^n=C{M}_{\text{global}}$$(1 + t_m)ⁿ = CM_global

$$t_m=(C{M}_{\text{global}}{)}^{1/n}-1$$t_m = (CM_global)^(1/n) - 1

Exemple

Une population passe de $10000$10 000 à $15000$15 000 en $5$5 ans. Taux moyen annuel :

$$CM=\frac{15000}{10000}=1,5$$CM = 15000/10000 = 1,5 $$t_m=1,5^{1/5}-1\approx 0,0845=+8,45\%\text{ par an}$$t_m = 1,5^(1/5) - 1 ≈ 0,0845 = +8,45% par an

Indices

Définition

Un indice mesure l'évolution d'une grandeur par rapport à une valeur de référence (souvent $100$100).

$$I_t=\frac{V_t}{V_0}\times 100$$I_t = V_t/V₀ × 100

Exemple

Si $V_0=80$V₀ = 80 et $V_t=100$V_t = 100 :

$$I_t=\frac{100}{80}\times 100=125$$I_t = 100/80 × 100 = 125

L'indice est $125$125, ce qui correspond à une hausse de $25\%$25% depuis l'année de référence.

Taux d'évolution entre deux indices

$$t=\frac{I_2-I_1}{I_1}$$t = (I₂ - I₁)/I₁

Application : la TVA, les soldes, l'inflation

TVA

Une TVA à $20\%$20% multiplie le prix HT par $1,2$1,2 pour obtenir le prix TTC.

Solde

$-30\%$-30% : coefficient $0,7$0,7. Pour retrouver le prix initial à partir du prix soldé, on divise par $0,7$0,7 (= multiplier par $\frac{1}{0,7}\approx 1,43$1/0,7 ≈ 1,43, soit $+43\%$+43%).

Inflation cumulée

$2\%$2% d'inflation pendant $10$10 ans : $1,02^{10}\approx 1,219$1,02¹⁰ ≈ 1,219, soit environ $+22\%$+22%.

Erreurs fréquentes à éviter

• Ajouter des pourcentages : $+10\%$+10% puis $+10\%$+10% ne fait pas $+20\%$+20% mais $+21\%$+21%.
• Croire qu'une hausse de $t\%$t% suivie d'une baisse de $t\%$t% ramène au prix initial : non, c'est une baisse de $t^2/100\%$t² / 100% environ.
• Confondre $1+t$1 + t et $t$t : le coefficient multiplicateur est $1+t$1 + t, pas $t$t seul.
• Mauvais calcul du taux moyen : il faut prendre la racine $n$n-ième, pas diviser par $n$n.

FAQ — Pourcentages et taux d'évolution

Pourquoi multiplier les coefficients ?

Parce qu'à chaque étape, on applique un pourcentage à la nouvelle valeur. C'est multiplicatif, pas additif.

Comment calculer un taux moyen sur plusieurs années ?

On calcule le coefficient global, on prend la racine $n$n-ième ($n$n = nombre de périodes), puis on soustrait $1$1.

Que signifie un indice de $115$115 ?

Cela signifie que la grandeur a augmenté de $15\%$15% par rapport à l'année de référence (qui vaut $100$100).

À quoi sert tout cela ?

À l'économie (inflation, croissance), à la finance (rendement), à la gestion (chiffre d'affaires), à la démographie (population)…