Probabilités conditionnelles en Première générale

Probabilités conditionnelles (introduction) en Première générale : cours complet

En Première générale, tu découvres les probabilités conditionnelles : la probabilité qu'un événement se produise sachant qu'un autre s'est déjà produit. C'est un outil clé pour les applications réelles : médecine, sondages, intelligence artificielle.

Rappels

Vocabulaire

• Univers $\Omega$Ω : ensemble des issues.
• Événement $A$A : sous-ensemble de $\Omega$Ω.
• Probabilité $P(A)$P(A) : nombre entre $0$0 et $1$1.

Propriétés

• $P(\Omega )=1$P(Ω) = 1, $P(\varnothing )=0$P(emptyset) = 0.
• $P(\bar{A})=1-P(A)$P(barA) = 1 - P(A).
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Probabilité conditionnelle

Définition

Soit $A$A et $B$B deux événements avec $P(B)>0$P(B) > 0. La probabilité de $A$A sachant $B$B est :

$$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$P_B(A) = (P(A ∩ B))/P(B)

(Notation parfois $P(A|B)$P(A | B) au lieu de $P_B(A)$P_B(A).)

Interprétation

C'est la probabilité de $A$A quand on se restreint aux cas où $B$B est réalisé.

Exemple

Dans une classe, il y a $60\%$60% de filles, dont $30\%$30% portent des lunettes. Probabilité qu'une élève (parmi les filles) porte des lunettes :

$$P_{\text{fille}}(\text{lunettes})=30\%=0,3$$P_fille( lunettes ) = 30% = 0,3

Probabilité d'être une fille avec lunettes :

$$P(\text{fille}\cap \text{lunettes})=0,6\times 0,3=0,18$$P( fille ∩ lunettes ) = 0,6 × 0,3 = 0,18

Formule des probabilités composées

Réécriture de la définition :

$$P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)$$P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A)

On utilise cette formule pour calculer $P(A\cap B)$P(A ∩ B).

Arbre pondéré

Construction

À chaque branche d'un arbre, on indique la probabilité conditionnelle de l'événement.

Règles

• Probabilité d'une feuille : produit des probabilités le long de la branche (probabilités composées).
• Somme des probabilités des branches issues d'un nœud : $1$1.

Exemple

Une urne contient $3$3 rouges et $7$7 vertes. On tire $2$2 boules sans remise.

            R (2/9)  → RR : 3/10 × 2/9 = 6/90
R (3/10)  /
        \
            V (7/9)  → RV : 3/10 × 7/9 = 21/90

            R (3/9)  → VR : 7/10 × 3/9 = 21/90
V (7/10)  /
        \
            V (6/9)  → VV : 7/10 × 6/9 = 42/90

Somme : $6+21+21+42=90$6 + 21 + 21 + 42 = 90, soit $1$1 ✓.

Formule des probabilités totales

Énoncé

Si $B_1,B_2,\dots ,B_n$B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de $\Omega$Ω :

$$P(A)=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots +P(A\cap B_n)$$P(A) = P(A ∩ B₁) + P(A ∩ B₂) + … + P(A ∩ Bₙ)

ou de façon équivalente :

$$P(A)=P(B_1)\times P_{B_1}(A)+P(B_2)\times P_{B_2}(A)+\cdots +P(B_n)\times P_{B_n}(A)$$P(A) = P(B₁) × P_B₁(A) + P(B₂) × P_B₂(A) + … + P(Bₙ) × P_Bₙ(A)

Application sur un arbre

On additionne les probabilités des branches qui mènent à $A$A.

Exemple

Dans une usine, $60\%$60% des pièces viennent de l'atelier A, $40\%$40% de l'atelier B. Le taux de défaut est $3\%$3% en A, $5\%$5% en B. Probabilité qu'une pièce soit défectueuse :

$$P(D)=0,6\times 0,03+0,4\times 0,05=0,018+0,02=0,038=3,8\%$$P(D) = 0,6 × 0,03 + 0,4 × 0,05 = 0,018 + 0,02 = 0,038 = 3,8%

Événements indépendants

Définition

$A$A et $B$B sont indépendants si :

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

ou de façon équivalente : $P_B(A)=P(A)$P_B(A) = P(A) (la connaissance de $B$B ne change pas $A$A).

Exemple

Lancer un dé puis une pièce : les résultats sont indépendants.

Tirer deux cartes sans remise : pas indépendants (la composition du jeu change).

Avec remise vs sans remise

• Avec remise : les tirages successifs sont indépendants.
• Sans remise : ils ne le sont pas.

Formule de Bayes (introduction)

$$P_A(B)=\frac{P(B)\times P_B(A)}{P(A)}$$P_A(B) = (P(B) × P_B(A))/P(A)

(Étudiée plus en détail en Terminale.)

Exemple

Si une maladie touche $1\%$1% de la population, et qu'un test la détecte avec $99\%$99% de précision (vrais positifs) et $5\%$5% de faux positifs : quelle est la probabilité d'être réellement malade si le test est positif ?

$$P(\text{malade}|\text{test +})=\frac{0,01\times 0,99}{0,01\times 0,99+0,99\times 0,05}\approx 0,166=16,6\%$$P( malade | test + ) = (0,01 × 0,99)/(0,01 × 0,99 + 0,99 × 0,05) ≈ 0,166 = 16,6%

C'est beaucoup moins qu'on pourrait penser ! C'est le résultat surprenant de Bayes.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre $P_B(A)$P_B(A) et $P(A\cap B)$P(A ∩ B) : la première est la probabilité conditionnelle, la seconde l'intersection.
• Oublier que $P(A\cap B)=P(B)\cdot P_B(A)$P(A ∩ B) = P(B) · P_B(A) : pas $P(A)\cdot P(B)$P(A) · P(B) en général (sauf si indépendants).
• Penser que la somme des $P_B(A)$P_B(A) vaut $1$1 : c'est $P_B(A)+P_B(\bar{A})=1$P_B(A) + P_B(barA) = 1, mais pas en général sur d'autres événements.
• Confondre indépendance et incompatibilité : indépendants ($P(A\cap B)=P(A)P(B)$P(A ∩ B) = P(A) P(B)) ≠ incompatibles ($A\cap B=\varnothing$A ∩ B = emptyset).

FAQ — Probabilités conditionnelles

Comment savoir si deux événements sont indépendants ?

Si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$P(A ∩ B) = P(A) × P(B), alors oui.

Pourquoi utiliser un arbre pondéré ?

C'est l'outil le plus visuel et le moins source d'erreurs pour les expériences à plusieurs étapes.

À quoi sert la formule des probabilités totales ?

À calculer une probabilité quand on connaît les probabilités conditionnelles dans différents cas (atelier A vs B, jour vs nuit, etc.).

Le théorème de Bayes est-il vraiment utile ?

Oui : en médecine (interprétation des tests), en justice (interprétation des preuves), en IA (filtres antispam, reconnaissance vocale)…