Suites numériques (introduction) — cours et fiche Première générale

Q: Comment savoir si une situation est arithmétique ou géométrique ?

- Évolution par addition d'une même quantité : arithmétique. - Évolution par multiplication d'un même facteur : géométrique.

Q: Comment calculer un terme lointain rapidement ?

Avec la formule explicite : u₁₀₀ ne nécessite pas de calculer tous les termes précédents.

Une suite est une liste ordonnée infinie de nombres : $u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots$ u₀, u₁, u₂, u₃, … Premier contact avec ce concept fondamental, approfondi jusqu'en Terminale. Les suites modélisent des phénomènes discrets (épargne, population, désintégration, traitement médicamenteux).

Au programme : définition d'une suite (par une formule explicite $u_{n} = f (n)$ uₙ=f(n) ou par récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$ uₙ₊₁=f(uₙ)) ; calcul des premiers termes ; représentation graphique (nuage de points) ; sens de variation et comportement à l'infini (intuition) ; suites arithmétiques ( $u_{n + 1} = u_{n} + r$ uₙ₊₁=uₙ+r) et géométriques ( $u_{n + 1} = u_{n} \times q$ uₙ₊₁=uₙ× q) avec leurs formules explicites.

Pièges classiques : confondre $u_{n}$ uₙ (valeur du $n$ n-ième terme) et $n$ n (rang) ; démarrer à $u_{0}$ u₀ ou $u_{1}$ u₁ sans préciser ; mélanger arithmétique et géométrique. Méthode : noter clairement le rang de départ et calculer 4-5 premiers termes pour vérifier.

Leçon complète

Suites numériques (introduction) en Première générale : cours complet

Une suite numérique est une succession ordonnée de nombres. En Première générale, tu découvres les suites arithmétiques et géométriques, leurs formules et leurs applications. C'est l'outil fondamental pour modéliser des évolutions discrètes (mensualités, populations, intérêts).

Définition d'une suite

Notation

Une suite $(u_{n})$ (uₙ) associe à chaque entier $n \geq n_{0}$ n ≥ n₀ un nombre $u_{n}$ uₙ.

$n$ n est l'indice (ou rang).
$u_{n}$ uₙ est le terme d'indice $n$ n.

Premiers termes

$u_{0}, u_{1}, u_{2}, \dots$ u₀, u₁, u₂, … ou $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots$ u₁, u₂, u₃, … selon le choix de départ.

Modes de définition

Définition explicite

$u_{n} = f (n) uₙ = f(n)$

Chaque terme s'exprime directement en fonction de $n$ n.

Définition par récurrence

$u_{0} = a et u_{n + 1} = g (u_{n}) u₀ = a et uₙ₊₁ = g(uₙ)$

On définit le premier terme et la relation entre deux termes consécutifs.

Suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_{n})$ (uₙ) est arithmétique de raison $r$ r si :

$u_{n + 1} = u_{n} + r \forall n uₙ₊₁ = uₙ + r \forall n$

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours $r$ r.

Formule explicite

$u_{n} = u_{0} + n \times r uₙ = u₀ + n \times r$

(Ou $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ uₙ = u₁ + (n - 1) r si on commence à $u_{1}$ u₁.)

Somme des termes consécutifs

$S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = (n + 1) \times \frac{u _{0} + u _{n}}{2} S = u₀ + u₁ + \dots + uₙ = (n+1) \times (u₀ + uₙ)/2$

Exemple

$u_{0} = 5$ u₀ = 5, $r = 3$ r = 3 : $u_{n} = 5 + 3 n$ uₙ = 5 + 3n, donc $u_{5} = 20$ u₅ = 20, $u_{10} = 35$ u₁₀ = 35.

Somme des $11$ 11 premiers termes : $S = 11 \times \frac{5 + 35}{2} = 220$ S = 11 × (5 + 35)/2 = 220.

Suites géométriques

Définition

Une suite $(u_{n})$ (uₙ) est géométrique de raison $q$ q si :

$u_{n + 1} = u_{n} \times q \forall n uₙ₊₁ = uₙ \times q \forall n$

On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par $q$ q.

Formule explicite

$u_{n} = u_{0} \times q^{n} uₙ = u₀ \times qⁿ$

Somme des termes consécutifs (si $q \neq = 1$ q ≠ 1)

$S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} S = u₀ + u₁ + \dots + uₙ = u₀ \times (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q)$

Exemple

$u_{0} = 3$ u₀ = 3, $q = 2$ q = 2 : $u_{n} = 3 \times 2^{n}$ uₙ = 3 × 2ⁿ, donc $u_{5} = 96$ u₅ = 96.

Somme des $6$ 6 premiers termes : $S = 3 \times \frac{1 - 2 ^{6}}{1 - 2} = 3 \times 63 = 189$ S = 3 × (1 - 2⁶)/(1 - 2) = 3 × 63 = 189.

Reconnaître la nature d'une suite

Méthode

Calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ uₙ₊₁ - uₙ : si constant, suite arithmétique (raison $r$ r).
Calculer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ uₙ₊₁/uₙ : si constant, suite géométrique (raison $q$ q).

Exemple

$u_{n} = 5 + 2 n$ uₙ = 5 + 2n : $u_{n + 1} - u_{n} = 2$ uₙ₊₁ - uₙ = 2 constant → arithmétique.

$u_{n} = 3 \times 4^{n}$ uₙ = 3 × 4ⁿ : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 4$ uₙ₊₁/uₙ = 4 constant → géométrique.

Variations

Suite arithmétique

$r > 0$ r > 0 : croissante.
$r < 0$ r < 0 : décroissante.
$r = 0$ r = 0 : constante.

Suite géométrique (avec $u_{0} > 0$ u₀ > 0)

$q > 1$ q > 1 : croissante.
$0 < q < 1$ 0 < q < 1 : décroissante.
$q = 1$ q = 1 : constante.
$q < 0$ q < 0 : alternée (signe change à chaque rang).

Applications

Économie

Salaire augmenté de $200$ 200 € chaque année : arithmétique de raison $200$ 200.
Salaire augmenté de $3%$ 3% chaque année : géométrique de raison $1, 03$ 1,03.

Capital placé

À intérêts simples : arithmétique.
À intérêts composés : géométrique.

Démographie

Population qui augmente de $5%$ 5% par an : géométrique de raison $1, 05$ 1,05.

Erreurs fréquentes à éviter

Confondre arithmétique et géométrique : addition vs multiplication.
Mauvais index : si la suite démarre à $u_{1}$ u₁, alors $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ uₙ = u₁ + (n-1) r, pas $u_{1} + n r$ u₁ + nr.
Oublier la formule de somme : pas de raison $\frac{u _{0} + u _{n}}{2}$ (u₀ + uₙ)/2 pour les géométriques.
Mauvaise raison : la calculer rigoureusement par soustraction (arithm.) ou division (géom.).

FAQ — Les suites numériques en Première générale

Comment savoir si une situation est arithmétique ou géométrique ?

Évolution par addition d'une même quantité : arithmétique.
Évolution par multiplication d'un même facteur : géométrique.

À quoi servent les suites ?

À modéliser des évolutions discrètes (par étapes) : populations, capitaux, mensualités, séries de mesures…

Une suite peut-elle être ni arithmétique ni géométrique ?

Oui, beaucoup : par exemple $u_{n} = n^{2}$ uₙ = n², ou la suite de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$ 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Comment calculer un terme lointain rapidement ?

Avec la formule explicite : $u_{100}$ u₁₀₀ ne nécessite pas de calculer tous les termes précédents.

Cours et fiche

Leçon

Fiche de révision

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Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Définitions et vocabulaire

Plaquette 2 – Modes de génération

Plaquette 3 – Sens de variation

Plaquette 4 – Représentations graphiques

Plaquette 5 – Synthèse : suites en contexte

Quiz interactif

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Définition d'une suite

Notation

Premiers termes

Modes de définition

Définition explicite

Définition par récurrence

Suites arithmétiques

Définition

Formule explicite

Somme des termes consécutifs

Exemple

Suites géométriques

Définition

Formule explicite

Somme des termes consécutifs (si q=1q ≠ 1)

Exemple

Reconnaître la nature d'une suite

Méthode

Exemple

Variations

Suite arithmétique

Suite géométrique (avec u0​>0u₀ > 0)

Applications

Économie

Capital placé

Démographie

Erreurs fréquentes à éviter

FAQ — Les suites numériques en Première générale

Comment savoir si une situation est arithmétique ou géométrique ?

À quoi servent les suites ?

Une suite peut-elle être ni arithmétique ni géométrique ?

Comment calculer un terme lointain rapidement ?

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