Nombres rationnels en Quatrième

Les nombres rationnels en 4ème : cours complet

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous forme de fraction $\frac{a}{b}$a/b, avec $a$a et $b$b entiers et $b\ne 0$b ≠ 0. Cette fiche te permet de maîtriser les opérations sur ces fractions, y compris quand elles sont négatives — un classique du programme de quatrième.

Définition d'un nombre rationnel

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire :

$$\frac{a}{b}\text{avec }a\in \mathbb{Z}\text{ et }b\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$$a/b avec a ∈ ℤ et b ∈ ℤ^(*)

Exemples

• $\frac{3}{4}$3/4, $-\frac{2}{5}$-2/5, $\frac{7}{1}=7$7/1 = 7, $-3=\frac{-3}{1}$-3 = (-3)/1.
• $0,25=\frac{1}{4}$0,25 = 1/4 est rationnel.
• $\pi$π et $\sqrt{2}$√(2) ne sont pas rationnels (on dit qu'ils sont irrationnels).

Signe d'un nombre rationnel

Une fraction peut s'écrire de plusieurs manières :

$$-\frac{3}{5}=\frac{-3}{5}=\frac{3}{-5}$$-3/5 = (-3)/5 = 3/(-5)

Convention : on place souvent le signe « moins » devant la fraction ou au numérateur, mais jamais au dénominateur dans le résultat final.

Simplifier une fraction

On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par le même nombre (un diviseur commun).

Fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand le numérateur et le dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun sauf $1$1.

Exemple

$$\frac{36}{48}=\frac{36÷12}{48÷12}=\frac{3}{4}$$36/48 = (36 ÷ 12)/(48 ÷ 12) = 3/4

Addition et soustraction

Même dénominateur

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$$a/c + b/c = (a + b)/c a/c - b/c = (a - b)/c

Dénominateurs différents

Il faut d'abord les mettre au même dénominateur :

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\times d}{b\times d}+\frac{c\times b}{d\times b}=\frac{ad+bc}{bd}$$a/b + c/d = (a × d)/(b × d) + (c × b)/(d × b) = (ad + bc)/bd

Exemple

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$$2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12

Avec des nombres négatifs

$$-\frac{3}{5}+\frac{1}{4}=-\frac{12}{20}+\frac{5}{20}=-\frac{7}{20}$$-3/5 + 1/4 = -12/20 + 5/20 = -7/20

Multiplication

Règle générale

$$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$$a/b × c/d = (a × c)/(b × d)

Signes

On applique la règle des signes :

• $+\times +=+$+ × + = +
• $+\times -=-$+ × - = -
• $-\times -=+$- × - = +

Exemple

$$\frac{2}{3}\times \frac{-5}{7}=\frac{-10}{21}\frac{-3}{4}\times \frac{-8}{9}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$$2/3 × (-5)/7 = (-10)/21 (-3)/4 × (-8)/9 = 24/36 = 2/3

Astuce

Simplifier avant de multiplier rend les calculs plus rapides.

Division

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse :

$$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$$a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d)/(b × c)

Inverse d'une fraction

L'inverse de $\frac{a}{b}$a/b est $\frac{b}{a}$b/a (on échange numérateur et dénominateur).

Exemple

$$\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times \frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$$2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6

Calculs combinés

On respecte les priorités opératoires :

1. Calculs entre parenthèses.
2. Puissances.
3. Multiplications et divisions.
4. Additions et soustractions.

Exemple

$$A=\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{2}{3}+\frac{2}{20}=\frac{2}{3}+\frac{1}{10}$$A = 2/3 + 1/4 × 2/5 = 2/3 + 2/20 = 2/3 + 1/10

Mise au même dénominateur ($30$30) :

$$A=\frac{20}{30}+\frac{3}{30}=\frac{23}{30}$$A = 20/30 + 3/30 = 23/30

Comparer des nombres rationnels

Même signe, même dénominateur

Le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur (en valeur absolue, en faisant attention aux signes).

Sinon

On met au même dénominateur et on compare les numérateurs.

Exemple

Comparer $\frac{2}{3}$2/3 et $\frac{5}{7}$5/7 :

$$\frac{2}{3}=\frac{14}{21}\frac{5}{7}=\frac{15}{21}$$2/3 = 14/21 5/7 = 15/21

$15>14$15 > 14, donc $\frac{5}{7}>\frac{2}{3}$5/7 > 2/3.

Erreurs fréquentes à éviter

• Additionner les numérateurs et les dénominateurs : $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne \frac{2}{5}$1/2 + 1/3 ≠ 2/5.
• Mettre au même dénominateur pour multiplier : inutile.
• Mal gérer les signes : règle des signes essentielle, surtout en multiplication.
• Oublier de simplifier le résultat final.

FAQ — Les nombres rationnels

Tous les nombres sont-ils rationnels ?

Non. $\sqrt{2}$√(2), $\pi$π, $\sqrt{3}$√(3) sont des nombres irrationnels (non écrivables sous forme de fraction).

Comment savoir si une fraction est irréductible ?

Quand numérateur et dénominateur n'ont aucun diviseur commun sauf $1$1. Pour s'en assurer, on cherche les diviseurs communs (PGCD = $1$1).

Quelle est la différence entre nombre décimal et nombre rationnel ?

Tout nombre décimal est rationnel ($0,5=\frac{1}{2}$0,5 = 1/2), mais l'inverse n'est pas vrai : $\frac{1}{3}$1/3 est rationnel mais pas décimal (écriture infinie $0,333\dots$0,333…).

Pourquoi diviser revient à multiplier par l'inverse ?

Parce que $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}$a/b ÷ c/d revient à se demander « combien de fois $\frac{c}{d}$c/d tient dans $\frac{a}{b}$a/b ». Mathématiquement, cela revient à multiplier $\frac{a}{b}$a/b par $\frac{d}{c}$d/c.