Notion

La racine carrée

Q: C'est quoi une racine carrée, simplement ?

C'est l'opération inverse du carré. La racine carrée de 25 est 5, car 5 × 5 = 25. On cherche le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne le nombre de départ.

Q: Pourquoi pas de racine d'un nombre négatif ?

Parce qu'un carré est toujours positif : aucun nombre réel multiplié par lui-même ne donne un résultat négatif. √(−4) n'existe pas dans les réels.

Q: Pourquoi √(a²) = |a| et pas a ?

Parce que la racine carrée est toujours positive. Pour a = −3, √((−3)²) = √9 = 3, qui est la valeur absolue de −3.

Q: Comment simplifier une racine carrée ?

On extrait les carrés parfaits cachés sous la racine : √(a²·b) = a√b. Par exemple √20 = √(4·5) = 2√5.

Q: Quelles sont les propriétés des racines carrées ?

La racine se distribue sur les produits et les quotients : √(a·b) = √a·√b et √(a/b) = √a/√b (avec a, b ≥ 0 et b ≠ 0). En revanche √(a + b) ≠ √a + √b.

La racine carrée d'un nombre positif $a$ a, notée $a$ √(a), est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$ a : $(a)^{2} = a$ (√(a))²=a. Par exemple $9 = 3$ √(9)=3 car $3^{2} = 9$ 3²=9. Elle n'est définie que pour $a \geq 0$ a≥0, puisqu'aucun carré n'est négatif. Les racines carrées obéissent à des règles de calcul : $a \times b = ab$ √(a)×√(b)=√(ab) et $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ √(a/b)=√(a)/√(b), mais attention, $a + b \neq = a + b$ √(a+b)≠√(a)+√(b). On les rencontre dès qu'on inverse un carré : longueurs avec le théorème de Pythagore, résolution de $x^{2} = k$ x²=k, écart-type en statistiques. Simplifier une racine consiste à en extraire les carrés parfaits, comme $50 = 52$ √(50)=5√(2).

Définitions

Racine carrée: Pour $a \geq 0$ a ≥ 0, $a$ √(a) est l'unique nombre positif tel que $(a)^{2} = a$ (√(a))² = a. Par exemple $25 = 5$ √(25) = 5 car $5^{2} = 25$ 5² = 25.
Domaine: La racine carrée n'existe que pour les nombres positifs ou nuls : $a$ √(a) n'a pas de sens si $a < 0$ a < 0 (dans les réels).

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Propriétés de base →

(a)^{2} = a (a \geq 0) a^{2} = ∣ a ∣

(√(a))² = a (a ≥ 0) √(a²) = |a|La racine annule le carré (et inversement).

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Calculer une racine carrée →

2 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Racine exacte

Niveau 1 · Application directe

Calculer

81

√(81).

Voir la correction

1.
On cherche le nombre positif dont le carré vaut $81$ 81.
→ Propriétés de base
2.
$9^{2} = 81$ 9² = 81, donc $81 = 9$ √(81) = 9.

Réponse :

81 = 9

√(81) = 9.

Racine d'un carré

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer

(- 5)^{2}

√((-5)²).

Voir la correction

1.
$a^{2} = ∣ a ∣$ √(a²) = |a|.
→ Propriétés de base
2.
$(- 5)^{2} = 25 = 5$ √((-5)²) = √(25) = 5.

Réponse :

5

Erreur fréquente : $a^{2} = ∣ a ∣$ √(a²)=|a| : $(- 5)^{2} = 25 = 5$ √((-5)²)=√(25)=5, pas $- 5$ -5.

Faire les 10 exercices types sur racine carrée8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une racine carrée, simplement ?

C'est l'opération inverse du carré. La racine carrée de 25 est 5, car 5 × 5 = 25. On cherche le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne le nombre de départ.

Pourquoi pas de racine d'un nombre négatif ?

Parce qu'un carré est toujours positif : aucun nombre réel multiplié par lui-même ne donne un résultat négatif. √(−4) n'existe pas dans les réels.

Pourquoi √(a²) = |a| et pas a ?

Parce que la racine carrée est toujours positive. Pour a = −3, √((−3)²) = √9 = 3, qui est la valeur absolue de −3.

Comment simplifier une racine carrée ?

On extrait les carrés parfaits cachés sous la racine : √(a²·b) = a√b. Par exemple √20 = √(4·5) = 2√5.

Quelles sont les propriétés des racines carrées ?

La racine se distribue sur les produits et les quotients : √(a·b) = √a·√b et √(a/b) = √a/√b (avec a, b ≥ 0 et b ≠ 0). En revanche √(a + b) ≠ √a + √b.

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