Arithmétique en Troisième

Arithmétique en 3ème : cours complet

L'arithmétique est l'étude des nombres entiers et de leurs propriétés. En troisième, tu apprends les notions de diviseurs, de multiples, de nombres premiers, et tu calcules le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) — une notion fondamentale du brevet.

Multiples et diviseurs

Définitions

Soit $a$a et $b$b deux entiers non nuls.

• $a$a est un multiple de $b$b s'il existe un entier $k$k tel que $a=b\times k$a = b × k.
• $b$b est alors un diviseur de $a$a.

Exemple

$15=3\times 5$15 = 3 × 5, donc $15$15 est un multiple de $3$3 (et de $5$5), et $3$3 et $5$5 sont des diviseurs de $15$15.

Critères de divisibilité

Nombres premiers

Définition

Un nombre est premier s'il a exactement deux diviseurs : $1$1 et lui-même.

Exemples

• $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\dots$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … sont premiers.
• $1$1 n'est pas premier (un seul diviseur).
• $4=2\times 2$4 = 2 × 2 n'est pas premier.

Comment savoir si un nombre est premier ?

On teste la divisibilité par les nombres premiers $\le \sqrt{n}$≤ √(n). Si aucun ne divise $n$n, alors $n$n est premier.

Exemple

Est-ce que $97$97 est premier ? $\sqrt{97}\approx 9,8$√(97) ≈ 9,8. On teste les premiers $\le 9$≤ 9 : $2,3,5,7$2, 3, 5, 7. Aucun ne divise $97$97 → $97$97 est premier.

Décomposition en facteurs premiers

Tout entier $>1$> 1 se décompose de façon unique en produit de nombres premiers.

Méthode

On divise successivement par les nombres premiers, dans l'ordre.

Exemple

$$60=2\times 30=2\times 2\times 15=2\times 2\times 3\times 5=2^2\times 3\times 5$$60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

Exemple

$$84=2\times 42=2\times 2\times 21=2\times 2\times 3\times 7=2^2\times 3\times 7$$84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

Définition

Le PGCD de deux entiers $a$a et $b$b est le plus grand entier qui divise à la fois $a$a et $b$b. On note PGCD$(a,b)$(a, b).

Méthode 1 : par les diviseurs

On liste les diviseurs de chaque nombre et on prend le plus grand commun.

PGCD$(12,18)$(12, 18) : diviseurs de $12=\{1,2,3,4,6,12\}$12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, de $18=\{1,2,3,6,9,18\}$18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Commun max : $6$6.

Méthode 2 : algorithme d'Euclide

Cette méthode est plus efficace, surtout pour les grands nombres.

$$\text{PGCD}(a,b)=\text{PGCD}(b,r)$$PGCD (a, b) = PGCD (b, r)

où $r$r est le reste de la division euclidienne de $a$a par $b$b.

On répète jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.

Exemple

PGCD$(420,156)$(420, 156) :

$$420=156\times 2+108$$420 = 156 × 2 + 108 $$156=108\times 1+48$$156 = 108 × 1 + 48 $$108=48\times 2+12$$108 = 48 × 2 + 12 $$48=12\times 4+0$$48 = 12 × 4 + 0

Dernier reste non nul : $12$12. Donc PGCD$(420,156)=12$(420, 156) = 12.

Méthode 3 : algorithme des soustractions

On remplace le plus grand par la différence des deux, jusqu'à obtenir deux nombres égaux.

$$\text{PGCD}(a,b)=\text{PGCD}(a-b,b)(a>b)$$PGCD (a, b) = PGCD (a - b, b) (a > b)

Nombres premiers entre eux

Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut $1$1.

Exemple

PGCD$(8,15)=1$(8, 15) = 1 → $8$8 et $15$15 sont premiers entre eux.

(Bien qu'aucun des deux ne soit un nombre premier !)

Application : fraction irréductible

Pour rendre une fraction $\frac{a}{b}$a/b irréductible, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD.

Exemple

$$\frac{420}{156}=\frac{420÷12}{156÷12}=\frac{35}{13}$$420/156 = (420 ÷ 12)/(156 ÷ 12) = 35/13

La fraction $\frac{35}{13}$35/13 est irréductible ($35$35 et $13$13 premiers entre eux).

Erreurs fréquentes à éviter

• Croire que $1$1 est premier : non, il a un seul diviseur.
• Oublier $1$1 et lui-même dans les diviseurs : il faut les compter.
• Confondre multiple et diviseur : $15$15 est multiple de $3$3, $3$3 est diviseur de $15$15.
• Confondre PGCD et PPCM : PGCD = plus grand diviseur commun, PPCM = plus petit multiple commun.

FAQ — L'arithmétique en 3ème

À quoi sert le PGCD ?

À simplifier des fractions, à résoudre des problèmes de partage équitable (cordes, lots), et en cryptographie.

Pourquoi l'algorithme d'Euclide fonctionne ?

Parce que tout diviseur commun de $a$a et $b$b est aussi un diviseur commun de $b$b et $r$r (et inversement).

Comment vérifier qu'une décomposition en facteurs premiers est correcte ?

On multiplie les facteurs : on doit retrouver le nombre de départ.

Combien existe-t-il de nombres premiers ?

Une infinité ! Démontré par Euclide il y a plus de $2000$2000 ans.