Puissances en Quatrième

Les puissances en 4ème : cours complet

Une puissance est une façon abrégée d'écrire un produit de facteurs identiques. Au lieu d'écrire $2\times 2\times 2\times 2\times 2$2 × 2 × 2 × 2 × 2, on écrit simplement $2^5$2⁵. Les puissances simplifient l'écriture des très grands et des très petits nombres (millions, milliards, atomes), et c'est un outil incontournable en sciences.

Définition des puissances

Puissance d'un nombre

Soit $a$a un nombre et $n$n un entier strictement positif. La puissance $n$n-ième de $a$a est :

$$a^n=\underset{n\text{ facteurs}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$$aⁿ = a × a × … × a _n facteurs

• $a$a est la base.
• $n$n est l'exposant.

Cas particuliers

• $a^1=a$a¹ = a
• $a^0=1$a⁰ = 1 (pour $a\ne 0$a ≠ 0)
• $a^2=a\times a$a² = a × a (« $a$a au carré »)
• $a^3=a\times a\times a$a³ = a × a × a (« $a$a au cube »)

Exemples

$$2^4=2\times 2\times 2\times 2=165^3=5\times 5\times 5=125(-3{)}^2=(-3)\times (-3)=9$$2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 (-3)² = (-3) × (-3) = 9

Puissances avec un exposant négatif

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a\ne 0)$$a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0)

Exemples

$$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}10^{-2}=\frac{1}{100}=0,01$$2⁻³ = 1/2³ = 1/8 10⁻² = 1/100 = 0,01

Les règles de calcul

Produit de puissances de même base

$$a^m\times a^n=a^{m+n}$$a^(m) × aⁿ = a^(m+n)

On additionne les exposants.

Quotient de puissances de même base

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$a^(m)/aⁿ = a^(m-n)

On soustrait les exposants.

Puissance d'une puissance

$$(a^m{)}^n=a^{m\times n}$$(a^(m))ⁿ = a^(m × n)

On multiplie les exposants.

Produit de puissances de même exposant

$$(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$$(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

Quotient de puissances de même exposant

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$$(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

Exemples

$$2^3\times 2^4=2^7=128\frac{5^6}{5^2}=5^4=625(3^2{)}^4=3^8$$2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 5⁶/5² = 5⁴ = 625 (3²)⁴ = 3⁸

Les puissances de 10

Les puissances de $10$10 sont fondamentales : elles servent à écrire les nombres très grands ou très petits.

Puissances positives

Puissances négatives

Astuce

• $10^n$10ⁿ : ajoute $n$n zéros après le $1$1.
• $10^{-n}$10⁻ⁿ : place $n$n chiffres après la virgule (avec un $1$1 à la fin).

L'écriture scientifique

L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme :

$$a\times 10^n$$a × 10ⁿ

où :

• $a$a est un nombre décimal tel que $1\le |a|<10$1 ≤ |a| < 10 ;
• $n$n est un entier relatif.

Exemples

• $32500=3,25\times 10^4$32 500 = 3,25 × 10⁴
• $0,00074=7,4\times 10^{-4}$0,00074 = 7,4 × 10⁻⁴
• La vitesse de la lumière : $3\times 10^8$3 × 10⁸ m/s.
• La masse d'un électron : $9,1\times 10^{-31}$9,1 × 10⁻³¹ kg.

Pourquoi l'écriture scientifique ?

Elle permet d'écrire rapidement et de comparer facilement des nombres très grands ou très petits. C'est l'écriture utilisée en physique, en chimie, en astronomie…

Les unités usuelles en puissances de 10

Exemples : $1$1 km = $10^3$10³ m ; $1$1 mm = $10^{-3}$10⁻³ m ; $1$1 Go = $10^9$10⁹ octets.

Erreurs fréquentes à éviter

• $2^3\ne 2\times 3$2³ ≠ 2 × 3 : c'est $2\times 2\times 2=8$2 × 2 × 2 = 8, pas $6$6.
• $(-3{)}^2\ne -3^2$(-3)² ≠ -3² : le premier vaut $9$9 (avec parenthèses), le second vaut $-9$-9 (sans parenthèses : c'est $-(3^2)$-(3²)).
• Mauvaise règle pour $a^m+a^n$a^(m) + aⁿ : on ne peut pas simplifier la somme ; c'est seulement le produit qui donne $a^{m+n}$a^(m+n).
• Mélanger les bases : $2^3\times 3^2$2³ × 3² ne se simplifie pas (bases différentes).
• Mauvaise écriture scientifique : $32,5\times 10^3$32,5 × 10³ n'est pas une écriture scientifique correcte ($a$a doit être entre $1$1 et $10$10). Il faut écrire $3,25\times 10^4$3,25 × 10⁴.

FAQ — Les puissances

Pourquoi $a^0=1$a⁰ = 1 ?

Pour respecter la règle $a^m/a^n=a^{m-n}$a^(m) / aⁿ = a^(m-n) : si $m=n$m = n, on a $a^m/a^m=1$a^(m) / a^(m) = 1, et $a^{m-m}=a^0$a^(m-m) = a⁰. Donc $a^0=1$a⁰ = 1.

À quoi servent les puissances de 10 ?

À écrire rapidement des nombres très grands (univers, populations) ou très petits (atomes, virus).

Comment vérifier qu'une écriture est scientifique ?

Le nombre devant doit être entre $1$1 et $10$10 (strictement inférieur à $10$10), et l'exposant est un entier.

$(-3{)}^2$(-3)² ou $-3^2$-3² ?

Bien faire attention aux parenthèses ! $(-3{)}^2=9$(-3)² = 9 (on élève $-3$-3 au carré), mais $-3^2=-(3\times 3)=-9$-3² = -(3 × 3) = -9 (l'opposé de $3^2$3²).