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Exercices corrigés : Variables aléatoires — Première spécialité

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Variables aléatoires

Niveau: Première spécialité
Chapitre: Variables aléatoires
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Facile à approfondi

Modéliser un gain, une durée ou un score par un nombre, c'est définir une variable aléatoire. En Première, tout part du tableau de la loi de probabilité : une ligne de valeurs $x_{i}$ xᵢ, une ligne de probabilités dont la somme fait $1$ 1. L'espérance $E (X)$ E(X) s'en déduit comme une moyenne pondérée — c'est le gain moyen si l'on rejouait un très grand nombre de fois —, puis la variance $V (X)$ V(X) et l'écart-type mesurent la dispersion autour d'elle. Ces exercices corrigés vont du remplissage d'une loi aux jeux équitables et aux transformations affines, en expliquant chaque étape.

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Exercice 1 — Vérifier une loi

Application directe

$X$ X prend les valeurs $0, 1, 2$ 0,1,2 avec $P (X = 0) = 0, 3$ P(X=0)=0,3, $P (X = 1) = 0, 5$ P(X=1)=0,5, $P (X = 2) = p$ P(X=2)=p.

Déterminer $p$ p.

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Correction détaillée

1
La somme des probabilités vaut $1$ 1 : $0, 3 + 0, 5 + p = 1$ 0,3+0,5+p=1, donc $p = 0, 2$ p=0,2.

Réponse :

p = 0, 2

p=0,2.

Rappel de cours : Dans une loi de probabilité, $\sum_{i} P (X = x_{i}) = 1$ Σᵢ P(X=xᵢ)=1.

Exercice 2 — Calculer une espérance

Application directe

Avec $P (X = 0) = 0, 3$ P(X=0)=0,3, $P (X = 1) = 0, 5$ P(X=1)=0,5, $P (X = 2) = 0, 2$ P(X=2)=0,2, calculer $E (X)$ E(X).

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Correction détaillée

1
$E (X) = \sum_{i} x_{i} p_{i} = 0 \times 0, 3 + 1 \times 0, 5 + 2 \times 0, 2 = 0 + 0, 5 + 0, 4 = 0, 9$ E(X)=Σᵢ xᵢ pᵢ=0× 0,3+1× 0,5+2× 0,2=0+0,5+0,4=0,9.

Réponse :

E (X) = 0, 9

E(X)=0,9.

Rappel de cours : Espérance : $E (X) = \sum_{i} x_{i} p_{i}$ E(X)=Σᵢ xᵢ pᵢ, moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités.

Exercice 3 — Espérance d'un gain

Application directe

À un jeu, on gagne $+ 4$ +4 € avec proba $0, 25$ 0,25 et $- 1$ -1 € avec proba $0, 75$ 0,75.

Calculer l'espérance de gain.

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Correction détaillée

1
$E (X) = 4 \times 0, 25 + (- 1) \times 0, 75 = 1 - 0, 75 = 0, 25$ E(X)=4× 0,25+(-1)× 0,75=1-0,75=0,25.
2
$E (X) > 0$ E(X)>0 : le jeu est favorable au joueur.

Réponse :

E (X) = 0, 25

E(X)=0,25 € : favorable au joueur.

Rappel de cours : $E (X) > 0$ E(X)>0 favorable, $= 0$ =0 équitable, $< 0$ <0 défavorable.

Exercice 4 — Nombre de « Face » en deux lancers

Application directe

On lance deux fois une pièce équilibrée.

$X$ X est le nombre de « Face » obtenus.

Donner la loi de $X$ X et son espérance.

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Correction détaillée

1
Issues équiprobables : $P P$ PP, $P F$ PF, $F P$ FP, $F F$ FF.
2
$P (X = 0) = \frac{1}{4}$ P(X=0)=1/4 ( $P P$ PP), $P (X = 1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ P(X=1)=2/4=1/2 ( $P F$ PF, $F P$ FP), $P (X = 2) = \frac{1}{4}$ P(X=2)=1/4 ( $F F$ FF).
3
$E (X) = 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} = 1$ E(X)=0×1/4+1×1/2+2×1/4=1.

Réponse : Loi :

\frac{1}{4}

1/4,

\frac{1}{2}

1/2,

\frac{1}{4}

1/4 ;

E (X) = 1

E(X)=1.

Rappel de cours : $E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$ E(X)=Σ xᵢ P(X=xᵢ).

Exercice 5 — Construire une loi

À maîtriser

On lance un dé équilibré à $6$ 6 faces.

Soit $X$ X le nombre obtenu.

Donner la loi de $X$ X et calculer $E (X)$ E(X).

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Correction détaillée

1
Chaque valeur de $1$ 1 à $6$ 6 a la probabilité $\frac{1}{6}$ 1/6.
2
$E (X) = \frac{1}{6} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = 3, 5$ E(X)=1/6(1+2+3+4+5+6)=21/6=3,5.

Réponse : Loi uniforme

\frac{1}{6}

1/6 ;

E (X) = 3, 5

E(X)=3,5.

Rappel de cours : Loi uniforme : toutes les issues ont la même probabilité. L'espérance d'un dé équilibré est $3, 5$ 3,5.

Exercice 6 — Loi à partir d'un tirage

À maîtriser

Une urne contient $3$ 3 boules « $2$ 2 €» et $2$ 2 boules « $5$ 5 €».

On tire une boule, soit $X$ X le gain.

Donner la loi de $X$ X.

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Correction détaillée

1
$5$ 5 boules au total.
$P (X = 2) = \frac{3}{5}$ P(X=2)=3/5 ; $P (X = 5) = \frac{2}{5}$ P(X=5)=2/5.
2
Vérification : $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$ 3/5+2/5=1. ✓

Réponse :

P (X = 2) = \frac{3}{5}

P(X=2)=3/5,

P (X = 5) = \frac{2}{5}

P(X=5)=2/5.

Rappel de cours : La probabilité d'une valeur = nombre de cas favorables / nombre total de cas.

Exercice 7 — Espérance d'un tirage

À maîtriser

Avec la loi précédente ( $P (X = 2) = \frac{3}{5}$ P(X=2)=3/5, $P (X = 5) = \frac{2}{5}$ P(X=5)=2/5), calculer $E (X)$ E(X).

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Correction détaillée

1
$E (X) = 2 \times \frac{3}{5} + 5 \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5} + \frac{10}{5} = \frac{16}{5} = 3, 2$ E(X)=2×3/5+5×2/5=6/5+10/5=16/5=3,2.

Réponse :

E (X) = 3, 2

E(X)=3,2 €.

Rappel de cours : $E (X)$ E(X) représente le gain moyen attendu en répétant l'expérience un grand nombre de fois.

Exercice 8 — Lire et exploiter une loi

À maîtriser

$X$ X prend les valeurs $- 2$ -2, $0$ 0, $1$ 1, $3$ 3 avec les probabilités $0, 1$ 0,1, $0, 3$ 0,3, $0, 4$ 0,4, $0, 2$ 0,2.

Calculer $P (X \geq 1)$ P(X≥ 1), $P (X < 1)$ P(X<1) et $E (X)$ E(X).

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Correction détaillée

1
$P (X \geq 1) = P (X = 1) + P (X = 3) = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6$ P(X≥ 1)=P(X=1)+P(X=3)=0,4+0,2=0,6.
2
$P (X < 1) = 1 - P (X \geq 1) = 0, 4$ P(X<1)=1-P(X≥ 1)=0,4 (contraire).
3
$E (X) = - 2 \times 0, 1 + 0 + 1 \times 0, 4 + 3 \times 0, 2 = - 0, 2 + 0, 4 + 0, 6 = 0, 8$ E(X)=-2× 0,1+0+1× 0,4+3× 0,2=-0,2+0,4+0,6=0,8.

Réponse :

P (X \geq 1) = 0, 6

P(X≥ 1)=0,6,

P (X < 1) = 0, 4

P(X<1)=0,4,

E (X) = 0, 8

E(X)=0,8.

Rappel de cours : ${X < 1}$ {X<1} est le contraire de ${X \geq 1}$ {X≥ 1}.

Exercice 9 — Nombre de boules rouges, sans remise

À maîtriser

Une urne contient $3$ 3 boules rouges et $2$ 2 bleues.

On tire deux boules successivement sans remise.

$X$ X est le nombre de boules rouges obtenues.

Donner la loi de $X$ X et $E (X)$ E(X).

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Correction détaillée

1
$P (X = 0) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$ P(X=0)=2/5×1/4=1/10 (deux bleues).
2
$P (X = 2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ P(X=2)=3/5×2/4=3/10 (deux rouges).
3
$P (X = 1) = 1 - \frac{1}{10} - \frac{3}{10} = \frac{6}{10}$ P(X=1)=1-1/10-3/10=6/10.
4
$E (X) = 0 + 1 \times 0, 6 + 2 \times 0, 3 = 1, 2$ E(X)=0+1× 0,6+2× 0,3=1,2.

Réponse :

P (X = 0) = 0, 1

P(X=0)=0,1,

P (X = 1) = 0, 6

P(X=1)=0,6,

P (X = 2) = 0, 3

P(X=2)=0,3 ;

E (X) = 1, 2

E(X)=1,2.

Rappel de cours : Pour la dernière valeur, on peut utiliser que la somme des probabilités vaut $1$ 1 (puis vérifier par l'arbre : $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{10}$ 3/5×2/4+2/5×3/4=6/10).

Exercice 10 — Variance par la définition

Type contrôle

Avec $P (X = 0) = 0, 3$ P(X=0)=0,3, $P (X = 1) = 0, 5$ P(X=1)=0,5, $P (X = 2) = 0, 2$ P(X=2)=0,2 et $E (X) = 0, 9$ E(X)=0,9, calculer $V (X)$ V(X) par la définition.

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Correction détaillée

1
$V (X) = \sum_{i} (x_{i} - E (X))^{2} p_{i}$ V(X)=Σᵢ (xᵢ-E(X))²pᵢ.
2
$= 0, 3 (0 - 0, 9)^{2} + 0, 5 (1 - 0, 9)^{2} + 0, 2 (2 - 0, 9)^{2}$ =0,3(0-0,9)²+0,5(1-0,9)²+0,2(2-0,9)².
3
$= 0, 3 \times 0, 81 + 0, 5 \times 0, 01 + 0, 2 \times 1, 21 = 0, 243 + 0, 005 + 0, 242 = 0, 49$ =0,3× 0,81+0,5× 0,01+0,2× 1,21=0,243+0,005+0,242=0,49.

Réponse :

V (X) = 0, 49

V(X)=0,49.

Rappel de cours : Variance (définition) : $V (X) = \sum_{i} (x_{i} - E (X))^{2} p_{i}$ V(X)=Σᵢ (xᵢ-E(X))²pᵢ.

Exercice 11 — Variance par König-Huygens

Type contrôle

Reprendre la loi précédente et calculer $V (X)$ V(X) par la formule $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ V(X)=E(X²)-E(X)².

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Correction détaillée

1
$E (X^{2}) = 0^{2} \times 0, 3 + 1^{2} \times 0, 5 + 2^{2} \times 0, 2 = 0 + 0, 5 + 0, 8 = 1, 3$ E(X²)=0²× 0,3+1²× 0,5+2²× 0,2=0+0,5+0,8=1,3.
2
$V (X) = 1, 3 - 0, 9^{2} = 1, 3 - 0, 81 = 0, 49$ V(X)=1,3-0,9²=1,3-0,81=0,49 (cohérent).

Réponse :

V (X) = 0, 49

V(X)=0,49.

Rappel de cours : König-Huygens : $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ V(X)=E(X²)-E(X)², souvent plus rapide. $E (X^{2}) = \sum x_{i}^{2} p_{i}$ E(X²)=Σ xᵢ² pᵢ.

Erreur fréquente : Ne pas confondre $E (X^{2})$ E(X²) et $E (X)^{2}$ E(X)² : leur différence est justement la variance.

Exercice 12 — Écart-type

Type contrôle

Sachant $V (X) = 0, 49$ V(X)=0,49, calculer l'écart-type $σ (X)$ σ(X).

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Correction détaillée

1
$σ (X) = V (X) = 0, 49 = 0, 7$ σ(X)=√(V(X))=√(0,49)=0,7.

Réponse :

σ (X) = 0, 7

σ(X)=0,7.

Rappel de cours : $σ (X) = V (X)$ σ(X)=√(V(X)) : même unité que $X$ X, plus parlant pour la dispersion.

Exercice 13 — Gain net d'un jeu

Type contrôle

Un jeu coûte $2$ 2 € la partie.

On gagne $6$ 6 € avec proba $0, 3$ 0,3, rien sinon.

Soit $G$ G le gain net.

Calculer $E (G)$ E(G).

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Correction détaillée

1
Gain net : $6 - 2 = 4$ 6-2=4 € (proba $0, 3$ 0,3) ou $0 - 2 = - 2$ 0-2=-2 € (proba $0, 7$ 0,7).
2
$E (G) = 4 \times 0, 3 + (- 2) \times 0, 7 = 1, 2 - 1, 4 = - 0, 2$ E(G)=4× 0,3+(-2)× 0,7=1,2-1,4=-0,2.

Réponse :

E (G) = - 0, 2

E(G)=-0,2 € : jeu défavorable au joueur.

Rappel de cours : Le gain net retranche la mise à chaque issue.

Exercice 14 — Même espérance, risques différents

Type contrôle

Jeu A : on gagne $10$ 10 € ou on perd $10$ 10 €, avec probabilité $\frac{1}{2}$ 1/2 chacun.

Jeu B : on gagne $1$ 1 € ou on perd $1$ 1 €, avec probabilité $\frac{1}{2}$ 1/2 chacun.

Comparer les espérances, puis les variances.

Interpréter.

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Correction détaillée

1
$E (A) = 10 \times \frac{1}{2} - 10 \times \frac{1}{2} = 0$ E(A)=10×1/2-10×1/2=0 et $E (B) = 0$ E(B)=0 : en moyenne, aucun jeu ne rapporte ni ne coûte.
2
$V (A) = \frac{1}{2} (10 - 0)^{2} + \frac{1}{2} (- 10 - 0)^{2} = 100$ V(A)=1/2(10-0)²+1/2(-10-0)²=100, $σ_{A} = 10$ σ_A=10.
$V (B) = 1$ V(B)=1, $σ_{B} = 1$ σ_B=1.
3
Le jeu A est bien plus risqué : ses gains s'écartent beaucoup plus de la moyenne.

Réponse : Espérances égales (

0

0) ;

V (A) = 100

V(A)=100,

V (B) = 1

V(B)=1 : A est plus risqué.

Rappel de cours : L'espérance mesure la valeur moyenne ; la variance et l'écart type mesurent la dispersion, c'est-à-dire le risque.

Exercice 15 — Type bac : mise équitable

Type bac / défi

Un jeu rapporte $10$ 10 € avec proba $0, 2$ 0,2 et $0$ 0 € sinon.

Quelle mise $m$ m rend le jeu équitable ?

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Correction détaillée

1
Gain net : $10 - m$ 10-m (proba $0, 2$ 0,2) ou $- m$ -m (proba $0, 8$ 0,8).
2
$E (G) = (10 - m) \times 0, 2 + (- m) \times 0, 8 = 2 - 0, 2 m - 0, 8 m = 2 - m$ E(G)=(10-m)× 0,2+(-m)× 0,8=2-0,2m-0,8m=2-m.
3
Équitable : $E (G) = 0 ⟺ m = 2$ E(G)=0 ⇔ m=2 €.

Réponse : Mise équitable

m = 2

m=2 € (

= E

=E du gain brut

= 10 \times 0, 2

=10× 0,2).

Rappel de cours : Jeu équitable $⟺ E (gain net) = 0 ⟺$ ⇔ E( gain net )=0 ⇔ mise $= E (gain brut)$ =E( gain brut ).

Exercice 16 — Type bac : transformation affine

Type bac / défi

On pose $Y = 3 X + 2$ Y=3X+2 avec $E (X) = 0, 9$ E(X)=0,9 et $V (X) = 0, 49$ V(X)=0,49.

Calculer $E (Y)$ E(Y) et $V (Y)$ V(Y).

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Correction détaillée

1
$E (3 X + 2) = 3 E (X) + 2 = 3 \times 0, 9 + 2 = 4, 7$ E(3X+2)=3E(X)+2=3× 0,9+2=4,7.
2
$V (3 X + 2) = 3^{2} V (X) = 9 \times 0, 49 = 4, 41$ V(3X+2)=3²V(X)=9× 0,49=4,41.

Réponse :

E (Y) = 4, 7

E(Y)=4,7 ;

V (Y) = 4, 41

V(Y)=4,41.

Rappel de cours : $E (a X + b) = a E (X) + b$ E(aX+b)=aE(X)+b ; $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ V(aX+b)=a² V(X) (la constante $b$ b disparaît).

Erreur fréquente : Pour la variance, le coefficient passe au carré et le $+ 2$ +2 disparaît : $V (3 X + 2) = 9 V (X)$ V(3X+2)=9V(X).

Exercice 17 — Type bac : loi avec paramètre

Type bac / défi

$X$ X prend les valeurs $- 1, 0, 1$ -1,0,1 avec $P (X = - 1) = a$ P(X=-1)=a, $P (X = 0) = 0, 5$ P(X=0)=0,5, $P (X = 1) = a$ P(X=1)=a. 1) Déterminer $a$ a. 2) Calculer $E (X)$ E(X) et $V (X)$ V(X).

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Correction détaillée

1
Somme $= 1$ =1 : $a + 0, 5 + a = 1$ a+0,5+a=1, donc $2 a = 0, 5$ 2a=0,5, $a = 0, 25$ a=0,25.
2
$E (X) = - 1 \times 0, 25 + 0 \times 0, 5 + 1 \times 0, 25 = 0$ E(X)=-1× 0,25+0× 0,5+1× 0,25=0.
3
$E (X^{2}) = 1 \times 0, 25 + 0 + 1 \times 0, 25 = 0, 5$ E(X²)=1× 0,25+0+1× 0,25=0,5.
$V (X) = 0, 5 - 0^{2} = 0, 5$ V(X)=0,5-0²=0,5.

Réponse :

a = 0, 25

a=0,25 ;

E (X) = 0

E(X)=0 ;

V (X) = 0, 5

V(X)=0,5.

Rappel de cours : On trouve le paramètre par $\sum p_{i} = 1$ Σ pᵢ=1, puis on applique $E (X)$ E(X) et König-Huygens.

Exercice 18 — Type bac : décision par l'espérance

Type bac / défi

Une loterie vend $1000$ 1000 tickets à $2$ 2 € chacun.

Il y a un lot de $800$ 800 € et un lot de $200$ 200 €.

Soit $G$ G le gain net d'un joueur.

Calculer $E (G)$ E(G) et conclure.

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Correction détaillée

1
Un ticket gagne $800$ 800 € avec proba $\frac{1}{1000}$ 1/1000, $200$ 200 € avec proba $\frac{1}{1000}$ 1/1000, $0$ 0 sinon.
Gain net = gain $- 2$ -2.
2
Espérance du gain brut : $800 \times \frac{1}{1000} + 200 \times \frac{1}{1000} = 0, 8 + 0, 2 = 1$ 800×1/1000+200×1/1000=0,8+0,2=1 €.
3
$E (G) = 1 - 2 = - 1$ E(G)=1-2=-1 €.
En moyenne, chaque joueur perd $1$ 1 € : la loterie est défavorable au joueur (favorable à l'organisateur).

Réponse :

E (G) = - 1

E(G)=-1 € : jeu défavorable au joueur.

Rappel de cours : Espérance du gain net = espérance du gain brut $-$ - mise. Un $E (G) < 0$ E(G)<0 profite à l'organisateur.

Exercice 19 — Type bac : prime d'assurance

Type bac / défi

Un assureur fait payer $300$ 300 € par an.

Pour un client, il rembourse $5000$ 5 000 € avec une probabilité de $0, 02$ 0,02, $1000$ 1 000 € avec une probabilité de $0, 1$ 0,1, et rien sinon.

On note $G$ G le gain de l'assureur pour un client.

1.Donner la loi de $G$ G.
2.Calculer $E (G)$ E(G) et l'interpréter.
3.Quelle prime faudrait-il fixer pour que le gain moyen soit de $50$ 50 € par client ?

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Correction détaillée

1
1) $G = 300 - remboursement$ G=300- remboursement : $G = - 4700$ G=-4 700 avec $P = 0, 02$ P=0,02, $G = - 700$ G=-700 avec $P = 0, 1$ P=0,1, $G = 300$ G=300 avec $P = 0, 88$ P=0,88.
2
2) $E (G) = - 4700 \times 0, 02 - 700 \times 0, 1 + 300 \times 0, 88 = - 94 - 70 + 264 = 100$ E(G)=-4 700× 0,02-700× 0,1+300× 0,88=-94-70+264=100.
Sur un grand nombre de clients, l'assureur gagne en moyenne $100$ 100 € par client.
3
3) Remboursement moyen : $5000 \times 0, 02 + 1000 \times 0, 1 = 200$ 5 000× 0,02+1 000× 0,1=200 €.
Avec une prime $p$ p, $E (G) = p - 200 = 50 ⟺ p = 250$ E(G)=p-200=50⇔ p=250 €.

Réponse :

E (G) = 100

E(G)=100 € ; prime de

250

250 € pour un gain moyen de

50

50 €.

Rappel de cours : $E (a - X) = a - E (X)$ E(a-X)=a-E(X) : on peut raisonner sur le remboursement moyen.

Exercice 20 — Type bac : le plus grand de deux dés

Type bac / défi

On lance deux dés équilibrés.

$X$ X est le plus grand des deux résultats.

1.Calculer $P (X \leq k)$ P(X≤ k) pour $k \in {1, \dots, 6}$ k∈{1,…,6}.
2.En déduire que $P (X = k) = \frac{2 k - 1}{36}$ P(X=k)=(2k-1)/36.
3.Calculer $E (X)$ E(X).

Voir la correction

Correction détaillée

1
1) $X \leq k$ X≤ k signifie que les deux dés donnent au plus $k$ k : $k \times k$ k× k issues sur $36$ 36.
$P (X \leq k) = \frac{k ^{2}}{36}$ P(X≤ k)=k²/36.
2
2) $P (X = k) = P (X \leq k) - P (X \leq k - 1) = \frac{k ^{2} - ( k - 1 ) ^{2}}{36} = \frac{2 k - 1}{36}$ P(X=k)=P(X≤ k)-P(X≤ k-1)=(k²-(k-1)²)/36=(2k-1)/36.
3
Contrôle : $\frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11}{36} = \frac{36}{36} = 1$ (1+3+5+7+9+11)/36=36/36=1.
4
3) $E (X) = \frac{1 \times 1 + 2 \times 3 + 3 \times 5 + 4 \times 7 + 5 \times 9 + 6 \times 11}{36} = \frac{161}{36} \approx 4, 47$ E(X)=(1× 1+2× 3+3× 5+4× 7+5× 9+6× 11)/36=161/36≈ 4,47.