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Exercices corrigés : Variables aléatoires — Première spécialité

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Variables aléatoires

Niveau: Première spécialité
Chapitre: Variables aléatoires
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à approfondi

Modéliser un gain, une durée ou un score par un nombre, c'est définir une variable aléatoire. En Première, tout part du tableau de la loi de probabilité : une ligne de valeurs $x_{i}$ xᵢ, une ligne de probabilités dont la somme fait $1$ 1. L'espérance $E (X)$ E(X) s'en déduit comme une moyenne pondérée — c'est le gain moyen si l'on rejouait un très grand nombre de fois —, puis la variance $V (X)$ V(X) et l'écart-type mesurent la dispersion autour d'elle. Ces exercices corrigés vont du remplissage d'une loi aux jeux équitables et aux transformations affines, en expliquant chaque étape.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Vérifier une loi

Application directe

$X$ X prend les valeurs $0, 1, 2$ 0,1,2 avec $P (X = 0) = 0, 3$ P(X=0)=0,3, $P (X = 1) = 0, 5$ P(X=1)=0,5, $P (X = 2) = p$ P(X=2)=p.

Déterminer $p$ p.

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Correction détaillée

1
La somme des probabilités vaut $1$ 1 : $0, 3 + 0, 5 + p = 1$ 0,3+0,5+p=1, donc $p = 0, 2$ p=0,2.

Réponse :

p = 0, 2

p=0,2.

Rappel de cours : Dans une loi de probabilité, $\sum_{i} P (X = x_{i}) = 1$ Σᵢ P(X=xᵢ)=1.

Exercice 2 — Calculer une espérance

Application directe

Avec $P (X = 0) = 0, 3$ P(X=0)=0,3, $P (X = 1) = 0, 5$ P(X=1)=0,5, $P (X = 2) = 0, 2$ P(X=2)=0,2, calculer $E (X)$ E(X).

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Correction détaillée

1
$E (X) = \sum_{i} x_{i} p_{i} = 0 \times 0, 3 + 1 \times 0, 5 + 2 \times 0, 2 = 0 + 0, 5 + 0, 4 = 0, 9$ E(X)=Σᵢ xᵢ pᵢ=0× 0,3+1× 0,5+2× 0,2=0+0,5+0,4=0,9.

Réponse :

E (X) = 0, 9

E(X)=0,9.

Rappel de cours : Espérance : $E (X) = \sum_{i} x_{i} p_{i}$ E(X)=Σᵢ xᵢ pᵢ, moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités.

Exercice 3 — Espérance d'un gain

Application directe

À un jeu, on gagne $+ 4$ +4 € avec proba $0, 25$ 0,25 et $- 1$ -1 € avec proba $0, 75$ 0,75.

Calculer l'espérance de gain.

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1
$E (X) = 4 \times 0, 25 + (- 1) \times 0, 75 = 1 - 0, 75 = 0, 25$ E(X)=4× 0,25+(-1)× 0,75=1-0,75=0,25.
2
$E (X) > 0$ E(X)>0 : le jeu est favorable au joueur.

Réponse :

E (X) = 0, 25

E(X)=0,25 € : favorable au joueur.

Rappel de cours : $E (X) > 0$ E(X)>0 favorable, $= 0$ =0 équitable, $< 0$ <0 défavorable.

Exercice 4 — Construire une loi

À maîtriser

On lance un dé équilibré à $6$ 6 faces.

Soit $X$ X le nombre obtenu.

Donner la loi de $X$ X et calculer $E (X)$ E(X).

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Correction détaillée

1
Chaque valeur de $1$ 1 à $6$ 6 a la probabilité $\frac{1}{6}$ 1/6.
2
$E (X) = \frac{1}{6} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = 3, 5$ E(X)=1/6(1+2+3+4+5+6)=21/6=3,5.

Réponse : Loi uniforme

\frac{1}{6}

1/6 ;

E (X) = 3, 5

E(X)=3,5.

Rappel de cours : Loi uniforme : toutes les issues ont la même probabilité. L'espérance d'un dé équilibré est $3, 5$ 3,5.

Exercice 5 — Loi à partir d'un tirage

À maîtriser

Une urne contient $3$ 3 boules « $2$ 2 €» et $2$ 2 boules « $5$ 5 €».

On tire une boule, soit $X$ X le gain.

Donner la loi de $X$ X.

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Correction détaillée

1
$5$ 5 boules au total.
$P (X = 2) = \frac{3}{5}$ P(X=2)=3/5 ; $P (X = 5) = \frac{2}{5}$ P(X=5)=2/5.
2
Vérification : $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$ 3/5+2/5=1. ✓

Réponse :

P (X = 2) = \frac{3}{5}

P(X=2)=3/5,

P (X = 5) = \frac{2}{5}

P(X=5)=2/5.

Rappel de cours : La probabilité d'une valeur = nombre de cas favorables / nombre total de cas.

Exercice 6 — Espérance d'un tirage

À maîtriser

Avec la loi précédente ( $P (X = 2) = \frac{3}{5}$ P(X=2)=3/5, $P (X = 5) = \frac{2}{5}$ P(X=5)=2/5), calculer $E (X)$ E(X).

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Correction détaillée

1
$E (X) = 2 \times \frac{3}{5} + 5 \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5} + \frac{10}{5} = \frac{16}{5} = 3, 2$ E(X)=2×3/5+5×2/5=6/5+10/5=16/5=3,2.

Réponse :

E (X) = 3, 2

E(X)=3,2 €.

Rappel de cours : $E (X)$ E(X) représente le gain moyen attendu en répétant l'expérience un grand nombre de fois.

Exercice 7 — Variance par la définition

Type contrôle

Avec $P (X = 0) = 0, 3$ P(X=0)=0,3, $P (X = 1) = 0, 5$ P(X=1)=0,5, $P (X = 2) = 0, 2$ P(X=2)=0,2 et $E (X) = 0, 9$ E(X)=0,9, calculer $V (X)$ V(X) par la définition.

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Correction détaillée

1
$V (X) = \sum_{i} (x_{i} - E (X))^{2} p_{i}$ V(X)=Σᵢ (xᵢ-E(X))²pᵢ.
2
$= 0, 3 (0 - 0, 9)^{2} + 0, 5 (1 - 0, 9)^{2} + 0, 2 (2 - 0, 9)^{2}$ =0,3(0-0,9)²+0,5(1-0,9)²+0,2(2-0,9)².
3
$= 0, 3 \times 0, 81 + 0, 5 \times 0, 01 + 0, 2 \times 1, 21 = 0, 243 + 0, 005 + 0, 242 = 0, 49$ =0,3× 0,81+0,5× 0,01+0,2× 1,21=0,243+0,005+0,242=0,49.

Réponse :

V (X) = 0, 49

V(X)=0,49.

Rappel de cours : Variance (définition) : $V (X) = \sum_{i} (x_{i} - E (X))^{2} p_{i}$ V(X)=Σᵢ (xᵢ-E(X))²pᵢ.

Exercice 8 — Variance par König-Huygens

Type contrôle

Reprendre la loi précédente et calculer $V (X)$ V(X) par la formule $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ V(X)=E(X²)-E(X)².

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Correction détaillée

1
$E (X^{2}) = 0^{2} \times 0, 3 + 1^{2} \times 0, 5 + 2^{2} \times 0, 2 = 0 + 0, 5 + 0, 8 = 1, 3$ E(X²)=0²× 0,3+1²× 0,5+2²× 0,2=0+0,5+0,8=1,3.
2
$V (X) = 1, 3 - 0, 9^{2} = 1, 3 - 0, 81 = 0, 49$ V(X)=1,3-0,9²=1,3-0,81=0,49 (cohérent).

Réponse :

V (X) = 0, 49

V(X)=0,49.

Rappel de cours : König-Huygens : $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ V(X)=E(X²)-E(X)², souvent plus rapide. $E (X^{2}) = \sum x_{i}^{2} p_{i}$ E(X²)=Σ xᵢ² pᵢ.

Erreur fréquente : Ne pas confondre $E (X^{2})$ E(X²) et $E (X)^{2}$ E(X)² : leur différence est justement la variance.

Exercice 9 — Écart-type

Type contrôle

Sachant $V (X) = 0, 49$ V(X)=0,49, calculer l'écart-type $σ (X)$ σ(X).

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Correction détaillée

1
$σ (X) = V (X) = 0, 49 = 0, 7$ σ(X)=√(V(X))=√(0,49)=0,7.

Réponse :

σ (X) = 0, 7

σ(X)=0,7.

Rappel de cours : $σ (X) = V (X)$ σ(X)=√(V(X)) : même unité que $X$ X, plus parlant pour la dispersion.

Exercice 10 — Gain net d'un jeu

Type contrôle

Un jeu coûte $2$ 2 € la partie.

On gagne $6$ 6 € avec proba $0, 3$ 0,3, rien sinon.

Soit $G$ G le gain net.

Calculer $E (G)$ E(G).

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Correction détaillée

1
Gain net : $6 - 2 = 4$ 6-2=4 € (proba $0, 3$ 0,3) ou $0 - 2 = - 2$ 0-2=-2 € (proba $0, 7$ 0,7).
2
$E (G) = 4 \times 0, 3 + (- 2) \times 0, 7 = 1, 2 - 1, 4 = - 0, 2$ E(G)=4× 0,3+(-2)× 0,7=1,2-1,4=-0,2.

Réponse :

E (G) = - 0, 2

E(G)=-0,2 € : jeu défavorable au joueur.

Rappel de cours : Le gain net retranche la mise à chaque issue.

Exercice 11 — Type bac : mise équitable

Type bac / défi

Un jeu rapporte $10$ 10 € avec proba $0, 2$ 0,2 et $0$ 0 € sinon.

Quelle mise $m$ m rend le jeu équitable ?

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Correction détaillée

1
Gain net : $10 - m$ 10-m (proba $0, 2$ 0,2) ou $- m$ -m (proba $0, 8$ 0,8).
2
$E (G) = (10 - m) \times 0, 2 + (- m) \times 0, 8 = 2 - 0, 2 m - 0, 8 m = 2 - m$ E(G)=(10-m)× 0,2+(-m)× 0,8=2-0,2m-0,8m=2-m.
3
Équitable : $E (G) = 0 ⟺ m = 2$ E(G)=0 ⇔ m=2 €.

Réponse : Mise équitable

m = 2

m=2 € (

= E

=E du gain brut

= 10 \times 0, 2

=10× 0,2).

Rappel de cours : Jeu équitable $⟺ E (gain net) = 0 ⟺$ ⇔ E( gain net )=0 ⇔ mise $= E (gain brut)$ =E( gain brut ).

Exercice 12 — Type bac : transformation affine

Type bac / défi

On pose $Y = 3 X + 2$ Y=3X+2 avec $E (X) = 0, 9$ E(X)=0,9 et $V (X) = 0, 49$ V(X)=0,49.

Calculer $E (Y)$ E(Y) et $V (Y)$ V(Y).

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Correction détaillée

1
$E (3 X + 2) = 3 E (X) + 2 = 3 \times 0, 9 + 2 = 4, 7$ E(3X+2)=3E(X)+2=3× 0,9+2=4,7.
2
$V (3 X + 2) = 3^{2} V (X) = 9 \times 0, 49 = 4, 41$ V(3X+2)=3²V(X)=9× 0,49=4,41.

Réponse :

E (Y) = 4, 7

E(Y)=4,7 ;

V (Y) = 4, 41

V(Y)=4,41.

Rappel de cours : $E (a X + b) = a E (X) + b$ E(aX+b)=aE(X)+b ; $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ V(aX+b)=a² V(X) (la constante $b$ b disparaît).

Erreur fréquente : Pour la variance, le coefficient passe au carré et le $+ 2$ +2 disparaît : $V (3 X + 2) = 9 V (X)$ V(3X+2)=9V(X).

Exercice 13 — Type bac : loi avec paramètre

Type bac / défi

$X$ X prend les valeurs $- 1, 0, 1$ -1,0,1 avec $P (X = - 1) = a$ P(X=-1)=a, $P (X = 0) = 0, 5$ P(X=0)=0,5, $P (X = 1) = a$ P(X=1)=a. 1) Déterminer $a$ a. 2) Calculer $E (X)$ E(X) et $V (X)$ V(X).

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Correction détaillée

1
Somme $= 1$ =1 : $a + 0, 5 + a = 1$ a+0,5+a=1, donc $2 a = 0, 5$ 2a=0,5, $a = 0, 25$ a=0,25.
2
$E (X) = - 1 \times 0, 25 + 0 \times 0, 5 + 1 \times 0, 25 = 0$ E(X)=-1× 0,25+0× 0,5+1× 0,25=0.
3
$E (X^{2}) = 1 \times 0, 25 + 0 + 1 \times 0, 25 = 0, 5$ E(X²)=1× 0,25+0+1× 0,25=0,5.
$V (X) = 0, 5 - 0^{2} = 0, 5$ V(X)=0,5-0²=0,5.

Réponse :

a = 0, 25

a=0,25 ;

E (X) = 0

E(X)=0 ;

V (X) = 0, 5

V(X)=0,5.

Rappel de cours : On trouve le paramètre par $\sum p_{i} = 1$ Σ pᵢ=1, puis on applique $E (X)$ E(X) et König-Huygens.

Exercice 14 — Type bac : décision par l'espérance

Type bac / défi

Une loterie vend $1000$ 1000 tickets à $2$ 2 € chacun.

Il y a un lot de $800$ 800 € et un lot de $200$ 200 €.

Soit $G$ G le gain net d'un joueur.

Calculer $E (G)$ E(G) et conclure.

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Correction détaillée

1
Un ticket gagne $800$ 800 € avec proba $\frac{1}{1000}$ 1/1000, $200$ 200 € avec proba $\frac{1}{1000}$ 1/1000, $0$ 0 sinon.
Gain net = gain $- 2$ -2.
2
Espérance du gain brut : $800 \times \frac{1}{1000} + 200 \times \frac{1}{1000} = 0, 8 + 0, 2 = 1$ 800×1/1000+200×1/1000=0,8+0,2=1 €.
3
$E (G) = 1 - 2 = - 1$ E(G)=1-2=-1 €.
En moyenne, chaque joueur perd $1$ 1 € : la loterie est défavorable au joueur (favorable à l'organisateur).

Réponse :

E (G) = - 1

E(G)=-1 € : jeu défavorable au joueur.

Rappel de cours : Espérance du gain net = espérance du gain brut $-$ - mise. Un $E (G) < 0$ E(G)<0 profite à l'organisateur.

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