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Exercices corrigés : Probabilités conditionnelles — Première spécialité

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Probabilités conditionnelles

Niveau: Première spécialité
Chapitre: Probabilités conditionnelles
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à approfondi

La probabilité conditionnelle $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ P_A(B)=(P(A∩ B))/P(A) est la probabilité de $B$ B une fois que $A$ A est réalisé. On l'illustre par un arbre pondéré et on relie le tout par la formule des probabilités totales. Ces exercices corrigés couvrent arbres, probabilités totales, indépendance et tableaux croisés, du plus simple au type bac. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Définition

Application directe

On donne $P (A) = 0, 5$ P(A)=0,5 et $P (A \cap B) = 0, 2$ P(A∩ B)=0,2.

Calculer $P_{A} (B)$ P_A(B).

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1
$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ P_A(B)=(P(A∩ B))/P(A)=0,2/0,5=0,4.

Réponse :

P_{A} (B) = 0, 4

P_A(B)=0,4.

Rappel de cours : $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ P_A(B)=(P(A∩ B))/P(A) : probabilité de $B$ B « sachant $A$ A ».

Exercice 2 — Probabilité d'une intersection

Application directe

On donne $P (A) = 0, 3$ P(A)=0,3 et $P_{A} (B) = 0, 6$ P_A(B)=0,6.

Calculer $P (A \cap B)$ P(A∩ B).

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1
$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) = 0, 3 \times 0, 6 = 0, 18$ P(A∩ B)=P(A)× P_A(B)=0,3× 0,6=0,18.

Réponse :

P (A \cap B) = 0, 18

P(A∩ B)=0,18.

Rappel de cours : Sur un arbre : la probabilité d'un chemin est le produit des branches, $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ P(A∩ B)=P(A)× P_A(B).

Exercice 3 — Compléter un arbre

Application directe

Sur un arbre, $P (A) = 0, 4$ P(A)=0,4.

Donner $P (\overline{A})$ P(A̅).

Si $P_{A} (B) = 0, 7$ P_A(B)=0,7, donner $P_{A} (\overline{B})$ P_A(B̅).

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1
$P (\overline{A}) = 1 - 0, 4 = 0, 6$ P(A̅)=1-0,4=0,6 (les branches d'un nœud se complètent à $1$ 1).
2
$P_{A} (\overline{B}) = 1 - 0, 7 = 0, 3$ P_A(B̅)=1-0,7=0,3.

Réponse :

P (\overline{A}) = 0, 6

P(A̅)=0,6 ;

P_{A} (\overline{B}) = 0, 3

P_A(B̅)=0,3.

Rappel de cours : À chaque nœud, la somme des branches vaut $1$ 1.

Exercice 4 — Tableau croisé

À maîtriser

Dans un groupe de $50$ 50 personnes, $30$ 30 sont des femmes ( $F$ F), et parmi elles $18$ 18 portent des lunettes ( $L$ L).

On choisit une personne au hasard.

Calculer $P_{F} (L)$ P_F(L).

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1
$P (F) = \frac{30}{50}$ P(F)=30/50, $P (F \cap L) = \frac{18}{50}$ P(F∩ L)=18/50.
2
$P_{F} (L) = \frac{P ( F \cap L )}{P ( F )} = \frac{18/50}{30/50} = \frac{18}{30} = 0, 6$ P_F(L)=(P(F∩ L))/P(F)=(18/50)/(30/50)=18/30=0,6.

Réponse :

P_{F} (L) = 0, 6

P_F(L)=0,6.

Rappel de cours : Avec des effectifs, « sachant $F$ F » revient à restreindre à $F$ F : ici $\frac{18}{30}$ 18/30.

Exercice 5 — Probabilité d'un chemin

À maîtriser

Un arbre donne $P (A) = 0, 6$ P(A)=0,6 et $P_{A} (B) = 0, 5$ P_A(B)=0,5.

Calculer la probabilité du chemin $A$ A puis $B$ B.

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1
$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) = 0, 6 \times 0, 5 = 0, 3$ P(A∩ B)=P(A)× P_A(B)=0,6× 0,5=0,3.

Réponse :

P (A \cap B) = 0, 3

P(A∩ B)=0,3.

Rappel de cours : On multiplie le long d'un chemin de l'arbre.

Exercice 6 — Probabilités totales (2 branches)

À maîtriser

On donne $P (A) = 0, 4$ P(A)=0,4, $P_{A} (B) = 0, 7$ P_A(B)=0,7 et $P_{\overline{A}} (B) = 0, 3$ P_A̅(B)=0,3.

Calculer $P (B)$ P(B).

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1
$P (\overline{A}) = 0, 6$ P(A̅)=0,6.
Probabilités totales : $P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B)$ P(B)=P(A)P_A(B)+P(A̅)P_A̅(B).
2
$= 0, 4 \times 0, 7 + 0, 6 \times 0, 3 = 0, 28 + 0, 18 = 0, 46$ =0,4× 0,7+0,6× 0,3=0,28+0,18=0,46.

Réponse :

P (B) = 0, 46

P(B)=0,46.

Rappel de cours : Formule des probabilités totales : on somme les probabilités de tous les chemins menant à $B$ B.

Exercice 7 — Tester l'indépendance

Type contrôle

On donne $P (A) = 0, 4$ P(A)=0,4, $P (B) = 0, 5$ P(B)=0,5 et $P (A \cap B) = 0, 2$ P(A∩ B)=0,2.

$A$ A et $B$ B sont-ils indépendants ?

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1
Indépendants $⟺ P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ ⇔ P(A∩ B)=P(A)× P(B).
2
$P (A) \times P (B) = 0, 4 \times 0, 5 = 0, 2 = P (A \cap B)$ P(A)× P(B)=0,4× 0,5=0,2=P(A∩ B).
3
Les deux sont égaux : $A$ A et $B$ B sont indépendants.

Réponse : Oui, indépendants (

P (A \cap B) = P (A) P (B) = 0, 2

P(A∩ B)=P(A)P(B)=0,2).

Rappel de cours : Indépendance : $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ P(A∩ B)=P(A)× P(B), ou de façon équivalente $P_{A} (B) = P (B)$ P_A(B)=P(B).

Exercice 8 — Probabilité conditionnelle inversée

Type contrôle

On donne $P (B) = 0, 5$ P(B)=0,5 et $P (A \cap B) = 0, 2$ P(A∩ B)=0,2.

Calculer $P_{B} (A)$ P_B(A).

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Correction détaillée

1
$P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ P_B(A)=(P(A∩ B))/P(B)=0,2/0,5=0,4.

Réponse :

P_{B} (A) = 0, 4

P_B(A)=0,4.

Rappel de cours : Attention au conditionnement : $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ P_B(A)=(P(A∩ B))/P(B) ; on divise par la probabilité de la condition ( $B$ B ici).

Erreur fréquente : $P_{B} (A) \neq = P_{A} (B)$ P_B(A)≠ P_A(B) en général : l'ordre du conditionnement compte.

Exercice 9 — Arbre complet

Type contrôle

Une usine a deux machines : M1 ( $60%$ 60% de la production, $3%$ 3% de défauts) et M2 ( $40%$ 40%, $5%$ 5% de défauts).

Calculer la probabilité $D$ D qu'une pièce soit défectueuse.

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1
$P (M_{1}) = 0, 6$ P(M₁)=0,6, $P_{M_{1}} (D) = 0, 03$ P_M₁(D)=0,03 ; $P (M_{2}) = 0, 4$ P(M₂)=0,4, $P_{M_{2}} (D) = 0, 05$ P_M₂(D)=0,05.
2
$P (D) = 0, 6 \times 0, 03 + 0, 4 \times 0, 05 = 0, 018 + 0, 02 = 0, 038$ P(D)=0,6× 0,03+0,4× 0,05=0,018+0,02=0,038.

Réponse :

P (D) = 0, 038

P(D)=0,038 (soit

3, 8%

3,8%).

Rappel de cours : On somme les chemins menant au défaut, via M1 et via M2.

Exercice 10 — Indépendance et réunion

Type contrôle

$A$ A et $B$ B sont indépendants avec $P (A) = 0, 2$ P(A)=0,2 et $P (B) = 0, 6$ P(B)=0,6.

Calculer $P (A \cap B)$ P(A∩ B) et $P (A \cup B)$ P(A∪ B).

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Correction détaillée

1
$P (A \cap B) = P (A) P (B) = 0, 2 \times 0, 6 = 0, 12$ P(A∩ B)=P(A)P(B)=0,2× 0,6=0,12.
2
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = 0, 2 + 0, 6 - 0, 12 = 0, 68$ P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩ B)=0,2+0,6-0,12=0,68.

Réponse :

P (A \cap B) = 0, 12

P(A∩ B)=0,12 ;

P (A \cup B) = 0, 68

P(A∪ B)=0,68.

Rappel de cours : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩ B).

Exercice 11 — Type bac : probabilité inversée (Bayes)

Type bac / défi

En reprenant l'usine ( $P (D) = 0, 038$ P(D)=0,038), sachant qu'une pièce est défectueuse, calculer la probabilité qu'elle vienne de M1.

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1
$P_{D} (M_{1}) = \frac{P ( M _{1} \cap D )}{P ( D )}$ P_D(M₁)=(P(M₁∩ D))/P(D).
2
$P (M_{1} \cap D) = 0, 6 \times 0, 03 = 0, 018$ P(M₁∩ D)=0,6× 0,03=0,018.
Donc $P_{D} (M_{1}) = \frac{0 , 018}{0 , 038} \approx 0, 474$ P_D(M₁)=0,018/0,038≈ 0,474.

Réponse :

P_{D} (M_{1}) \approx 0, 474

P_D(M₁)≈ 0,474.

Rappel de cours : Probabilité « inversée » : $P_{D} (M_{1}) = \frac{P ( M _{1} ) P _{M_{1}} ( D )}{P ( D )}$ P_D(M₁)=P(M₁)P_M₁(D)/P(D). On échange la condition.

Exercice 12 — Type bac : test de dépistage

Type bac / défi

Une maladie touche $1%$ 1% d'une population.

Un test est positif chez $90%$ 90% des malades et chez $5%$ 5% des sains.

Calculer la probabilité qu'un test soit positif.

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Correction détaillée

1
$P (M) = 0, 01$ P(M)=0,01, $P_{M} (T) = 0, 9$ P_M(T)=0,9, $P_{\overline{M}} (T) = 0, 05$ P_M̅(T)=0,05, $P (\overline{M}) = 0, 99$ P(M̅)=0,99.
2
$P (T) = 0, 01 \times 0, 9 + 0, 99 \times 0, 05 = 0, 009 + 0, 0495 = 0, 0585$ P(T)=0,01× 0,9+0,99× 0,05=0,009+0,0495=0,0585.

Réponse :

P (T) \approx 0, 0585

P(T)≈ 0,0585.

Rappel de cours : Arbre malade/sain puis test $+$ +/ $-$ - ; probabilités totales pour $P (T)$ P(T).

Exercice 13 — Type bac : succession indépendante

Type bac / défi

On lance $3$ 3 fois une pièce équilibrée.

Calculer la probabilité d'obtenir exactement « Pile, Pile, Face » dans cet ordre.

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Correction détaillée

1
Les lancers sont indépendants : la probabilité d'une suite d'issues est le produit.
2
$P (P, P, F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ P( P, P, F )=1/2×1/2×1/2=1/8.

Réponse :

\frac{1}{8} = 0, 125

1/8=0,125.

Rappel de cours : Pour des épreuves indépendantes, on multiplie les probabilités le long de la succession.

Exercice 14 — Type bac : arbre à trois branches

Type bac / défi

Trois fournisseurs livrent $50%$ 50%, $30%$ 30% et $20%$ 20% des composants, avec des taux de panne $1%$ 1%, $2%$ 2% et $4%$ 4%.

Calculer la probabilité $P$ P qu'un composant tombe en panne.

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Correction détaillée

1
$P (F_{1}) = 0, 5$ P(F₁)=0,5, $P (F_{2}) = 0, 3$ P(F₂)=0,3, $P (F_{3}) = 0, 2$ P(F₃)=0,2 ; taux : $0, 01$ 0,01, $0, 02$ 0,02, $0, 04$ 0,04.
2
$P (panne) = 0, 5 \times 0, 01 + 0, 3 \times 0, 02 + 0, 2 \times 0, 04 = 0, 005 + 0, 006 + 0, 008 = 0, 019$ P( panne )=0,5× 0,01+0,3× 0,02+0,2× 0,04=0,005+0,006+0,008=0,019.

Réponse :

P (panne) = 0, 019

P( panne )=0,019 (soit

1, 9%

1,9%).

Rappel de cours : Probabilités totales avec plusieurs cas : on somme $P (F_{i}) \times P_{F_{i}} (panne)$ P(Fᵢ)× P_Fᵢ( panne ).

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