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Exercices corrigés : Probabilités conditionnelles — Première spécialité

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Probabilités conditionnelles

Niveau: Première spécialité
Chapitre: Probabilités conditionnelles
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Facile à approfondi

La probabilité conditionnelle $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ P_A(B)=(P(A∩ B))/P(A) est la probabilité de $B$ B une fois que $A$ A est réalisé. On l'illustre par un arbre pondéré et on relie le tout par la formule des probabilités totales. Ces exercices corrigés couvrent arbres, probabilités totales, indépendance et tableaux croisés, du plus simple au type bac. Difficulté croissante, correction d'un clic.

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Exercice 1 — Définition

Application directe

On donne $P (A) = 0, 5$ P(A)=0,5 et $P (A \cap B) = 0, 2$ P(A∩ B)=0,2.

Calculer $P_{A} (B)$ P_A(B).

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Correction détaillée

1
$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ P_A(B)=(P(A∩ B))/P(A)=0,2/0,5=0,4.

Réponse :

P_{A} (B) = 0, 4

P_A(B)=0,4.

Rappel de cours : $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ P_A(B)=(P(A∩ B))/P(A) : probabilité de $B$ B « sachant $A$ A ».

Exercice 2 — Probabilité d'une intersection

Application directe

On donne $P (A) = 0, 3$ P(A)=0,3 et $P_{A} (B) = 0, 6$ P_A(B)=0,6.

Calculer $P (A \cap B)$ P(A∩ B).

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Correction détaillée

1
$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) = 0, 3 \times 0, 6 = 0, 18$ P(A∩ B)=P(A)× P_A(B)=0,3× 0,6=0,18.

Réponse :

P (A \cap B) = 0, 18

P(A∩ B)=0,18.

Rappel de cours : Sur un arbre : la probabilité d'un chemin est le produit des branches, $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ P(A∩ B)=P(A)× P_A(B).

Exercice 3 — Compléter un arbre

Application directe

Sur un arbre, $P (A) = 0, 4$ P(A)=0,4.

Donner $P (\overline{A})$ P(A̅).

Si $P_{A} (B) = 0, 7$ P_A(B)=0,7, donner $P_{A} (\overline{B})$ P_A(B̅).

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Correction détaillée

1
$P (\overline{A}) = 1 - 0, 4 = 0, 6$ P(A̅)=1-0,4=0,6 (les branches d'un nœud se complètent à $1$ 1).
2
$P_{A} (\overline{B}) = 1 - 0, 7 = 0, 3$ P_A(B̅)=1-0,7=0,3.

Réponse :

P (\overline{A}) = 0, 6

P(A̅)=0,6 ;

P_{A} (\overline{B}) = 0, 3

P_A(B̅)=0,3.

Rappel de cours : À chaque nœud, la somme des branches vaut $1$ 1.

Exercice 4 — Traduire un énoncé

Application directe

Dans un lycée, $30 %$ 30 % des élèves sont internes ( $I$ I) et, parmi les internes, $40 %$ 40 % pratiquent un sport en club ( $S$ S).

Traduire ces données et calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard soit interne et sportif.

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1
« $30 %$ 30 % des élèves » : $P (I) = 0, 3$ P(I)=0,3. « Parmi les internes, $40 %$ 40 % » : c'est une probabilité conditionnelle, $P_{I} (S) = 0, 4$ P_I(S)=0,4.
2
$P (I \cap S) = P (I) \times P_{I} (S) = 0, 3 \times 0, 4 = 0, 12$ P(I∩ S)=P(I)× P_I(S)=0,3× 0,4=0,12.

Réponse :

P (I \cap S) = 0, 12

P(I∩ S)=0,12.

Rappel de cours : « Parmi les $A$ A » signale une probabilité conditionnelle sachant $A$ A.

Exercice 5 — Tableau croisé

À maîtriser

Dans un groupe de $50$ 50 personnes, $30$ 30 sont des femmes ( $F$ F), et parmi elles $18$ 18 portent des lunettes ( $L$ L).

On choisit une personne au hasard.

Calculer $P_{F} (L)$ P_F(L).

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Correction détaillée

1
$P (F) = \frac{30}{50}$ P(F)=30/50, $P (F \cap L) = \frac{18}{50}$ P(F∩ L)=18/50.
2
$P_{F} (L) = \frac{P ( F \cap L )}{P ( F )} = \frac{18/50}{30/50} = \frac{18}{30} = 0, 6$ P_F(L)=(P(F∩ L))/P(F)=(18/50)/(30/50)=18/30=0,6.

Réponse :

P_{F} (L) = 0, 6

P_F(L)=0,6.

Rappel de cours : Avec des effectifs, « sachant $F$ F » revient à restreindre à $F$ F : ici $\frac{18}{30}$ 18/30.

Exercice 6 — Probabilité d'un chemin

À maîtriser

Un arbre donne $P (A) = 0, 6$ P(A)=0,6 et $P_{A} (B) = 0, 5$ P_A(B)=0,5.

Calculer la probabilité du chemin $A$ A puis $B$ B.

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Correction détaillée

1
$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) = 0, 6 \times 0, 5 = 0, 3$ P(A∩ B)=P(A)× P_A(B)=0,6× 0,5=0,3.

Réponse :

P (A \cap B) = 0, 3

P(A∩ B)=0,3.

Rappel de cours : On multiplie le long d'un chemin de l'arbre.

Exercice 7 — Probabilités totales (2 branches)

À maîtriser

On donne $P (A) = 0, 4$ P(A)=0,4, $P_{A} (B) = 0, 7$ P_A(B)=0,7 et $P_{\overline{A}} (B) = 0, 3$ P_A̅(B)=0,3.

Calculer $P (B)$ P(B).

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Correction détaillée

1
$P (\overline{A}) = 0, 6$ P(A̅)=0,6.
Probabilités totales : $P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B)$ P(B)=P(A)P_A(B)+P(A̅)P_A̅(B).
2
$= 0, 4 \times 0, 7 + 0, 6 \times 0, 3 = 0, 28 + 0, 18 = 0, 46$ =0,4× 0,7+0,6× 0,3=0,28+0,18=0,46.

Réponse :

P (B) = 0, 46

P(B)=0,46.

Rappel de cours : Formule des probabilités totales : on somme les probabilités de tous les chemins menant à $B$ B.

Exercice 8 — Tableau croisé dans les deux sens

À maîtriser

Sur $200$ 200 élèves, $90$ 90 sont des filles ( $F$ F) ; $120$ 120 élèves regardent une série ( $S$ S), dont $60$ 60 filles.

On choisit un élève au hasard.

Calculer $P_{F} (S)$ P_F(S) et $P_{S} (F)$ P_S(F).

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Correction détaillée

1
$P_{F} (S)$ P_F(S) : parmi les $90$ 90 filles, $60$ 60 regardent la série.
$P_{F} (S) = \frac{60}{90} = \frac{2}{3}$ P_F(S)=60/90=2/3.
2
$P_{S} (F)$ P_S(F) : parmi les $120$ 120 élèves qui regardent, $60$ 60 sont des filles.
$P_{S} (F) = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$ P_S(F)=60/120=1/2.

Réponse :

P_{F} (S) = \frac{2}{3}

P_F(S)=2/3 et

P_{S} (F) = \frac{1}{2}

P_S(F)=1/2.

Rappel de cours : Avec un tableau, $P_{A} (B) = \frac{effectif de A \cap B}{effectif de A}$ P_A(B)=(effectif de A∩ B)/(effectif de A).

Erreur fréquente : $P_{F} (S)$ P_F(S) et $P_{S} (F)$ P_S(F) n'ont aucune raison d'être égales : on ne divise pas par le même effectif.

Exercice 9 — Probabilité de l'événement contraire par l'arbre

À maîtriser

On donne $P (A) = 0, 7$ P(A)=0,7, $P_{A} (B) = 0, 2$ P_A(B)=0,2 et $P_{\overline{A}} (B) = 0, 6$ P_A̅(B)=0,6.

Calculer $P (B)$ P(B) et $P (\overline{B})$ P(B̅).

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Correction détaillée

1
Formule des probabilités totales : $P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B)$ P(B)=P(A)P_A(B)+P(A̅)P_A̅(B).
2
$P (B) = 0, 7 \times 0, 2 + 0, 3 \times 0, 6 = 0, 14 + 0, 18 = 0, 32$ P(B)=0,7× 0,2+0,3× 0,6=0,14+0,18=0,32.
3
$P (\overline{B}) = 1 - 0, 32 = 0, 68$ P(B̅)=1-0,32=0,68.

Réponse :

P (B) = 0, 32

P(B)=0,32 et

P (\overline{B}) = 0, 68

P(B̅)=0,68.

Rappel de cours : $A$ A et $\overline{A}$ A̅ forment une partition : chaque chemin vers $B$ B passe par l'un des deux.

Exercice 10 — Tester l'indépendance

Type contrôle

On donne $P (A) = 0, 4$ P(A)=0,4, $P (B) = 0, 5$ P(B)=0,5 et $P (A \cap B) = 0, 2$ P(A∩ B)=0,2.

$A$ A et $B$ B sont-ils indépendants ?

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Correction détaillée

1
Indépendants $⟺ P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ ⇔ P(A∩ B)=P(A)× P(B).
2
$P (A) \times P (B) = 0, 4 \times 0, 5 = 0, 2 = P (A \cap B)$ P(A)× P(B)=0,4× 0,5=0,2=P(A∩ B).
3
Les deux sont égaux : $A$ A et $B$ B sont indépendants.

Réponse : Oui, indépendants (

P (A \cap B) = P (A) P (B) = 0, 2

P(A∩ B)=P(A)P(B)=0,2).

Rappel de cours : Indépendance : $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ P(A∩ B)=P(A)× P(B), ou de façon équivalente $P_{A} (B) = P (B)$ P_A(B)=P(B).

Exercice 11 — Probabilité conditionnelle inversée

Type contrôle

On donne $P (B) = 0, 5$ P(B)=0,5 et $P (A \cap B) = 0, 2$ P(A∩ B)=0,2.

Calculer $P_{B} (A)$ P_B(A).

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Correction détaillée

1
$P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ P_B(A)=(P(A∩ B))/P(B)=0,2/0,5=0,4.

Réponse :

P_{B} (A) = 0, 4

P_B(A)=0,4.

Rappel de cours : Attention au conditionnement : $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ P_B(A)=(P(A∩ B))/P(B) ; on divise par la probabilité de la condition ( $B$ B ici).

Erreur fréquente : $P_{B} (A) \neq = P_{A} (B)$ P_B(A)≠ P_A(B) en général : l'ordre du conditionnement compte.

Exercice 12 — Arbre complet

Type contrôle

Une usine a deux machines : M1 ( $60%$ 60% de la production, $3%$ 3% de défauts) et M2 ( $40%$ 40%, $5%$ 5% de défauts).

Calculer la probabilité $D$ D qu'une pièce soit défectueuse.

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Correction détaillée

1
$P (M_{1}) = 0, 6$ P(M₁)=0,6, $P_{M_{1}} (D) = 0, 03$ P_M₁(D)=0,03 ; $P (M_{2}) = 0, 4$ P(M₂)=0,4, $P_{M_{2}} (D) = 0, 05$ P_M₂(D)=0,05.
2
$P (D) = 0, 6 \times 0, 03 + 0, 4 \times 0, 05 = 0, 018 + 0, 02 = 0, 038$ P(D)=0,6× 0,03+0,4× 0,05=0,018+0,02=0,038.

Réponse :

P (D) = 0, 038

P(D)=0,038 (soit

3, 8%

3,8%).

Rappel de cours : On somme les chemins menant au défaut, via M1 et via M2.

Exercice 13 — Indépendance et réunion

Type contrôle

$A$ A et $B$ B sont indépendants avec $P (A) = 0, 2$ P(A)=0,2 et $P (B) = 0, 6$ P(B)=0,6.

Calculer $P (A \cap B)$ P(A∩ B) et $P (A \cup B)$ P(A∪ B).

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Correction détaillée

1
$P (A \cap B) = P (A) P (B) = 0, 2 \times 0, 6 = 0, 12$ P(A∩ B)=P(A)P(B)=0,2× 0,6=0,12.
2
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = 0, 2 + 0, 6 - 0, 12 = 0, 68$ P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩ B)=0,2+0,6-0,12=0,68.

Réponse :

P (A \cap B) = 0, 12

P(A∩ B)=0,12 ;

P (A \cup B) = 0, 68

P(A∪ B)=0,68.

Rappel de cours : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩ B).

Exercice 14 — Indépendance et événement contraire

Type contrôle

$A$ A et $B$ B sont indépendants avec $P (A) = 0, 3$ P(A)=0,3 et $P (B) = 0, 6$ P(B)=0,6.

Calculer $P (A \cap \overline{B})$ P(AcapB̅) et vérifier que $A$ A et $\overline{B}$ B̅ sont aussi indépendants.

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Correction détaillée

1
$P (A \cap B) = 0, 3 \times 0, 6 = 0, 18$ P(A∩ B)=0,3× 0,6=0,18 (indépendance).
2
$A$ A est la réunion disjointe de $A \cap B$ A∩ B et $A \cap \overline{B}$ AcapB̅ : $P (A \cap \overline{B}) = 0, 3 - 0, 18 = 0, 12$ P(AcapB̅)=0,3-0,18=0,12.
3
$P (A) \times P (\overline{B}) = 0, 3 \times 0, 4 = 0, 12 = P (A \cap \overline{B})$ P(A)× P(B̅)=0,3× 0,4=0,12=P(AcapB̅) : $A$ A et $\overline{B}$ B̅ sont indépendants.

Réponse :

P (A \cap \overline{B}) = 0, 12 = P (A) P (\overline{B})

P(AcapB̅)=0,12=P(A)P(B̅).

Rappel de cours : Si $A$ A et $B$ B sont indépendants, $A$ A et $\overline{B}$ B̅ le sont aussi (propriété générale).

Exercice 15 — Type bac : probabilité inversée (Bayes)

Type bac / défi

En reprenant l'usine ( $P (D) = 0, 038$ P(D)=0,038), sachant qu'une pièce est défectueuse, calculer la probabilité qu'elle vienne de M1.

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Correction détaillée

1
$P_{D} (M_{1}) = \frac{P ( M _{1} \cap D )}{P ( D )}$ P_D(M₁)=(P(M₁∩ D))/P(D).
2
$P (M_{1} \cap D) = 0, 6 \times 0, 03 = 0, 018$ P(M₁∩ D)=0,6× 0,03=0,018.
Donc $P_{D} (M_{1}) = \frac{0 , 018}{0 , 038} \approx 0, 474$ P_D(M₁)=0,018/0,038≈ 0,474.

Réponse :

P_{D} (M_{1}) \approx 0, 474

P_D(M₁)≈ 0,474.

Rappel de cours : Probabilité « inversée » : $P_{D} (M_{1}) = \frac{P ( M _{1} ) P _{M_{1}} ( D )}{P ( D )}$ P_D(M₁)=P(M₁)P_M₁(D)/P(D). On échange la condition.

Exercice 16 — Type bac : test de dépistage

Type bac / défi

Une maladie touche $1%$ 1% d'une population.

Un test est positif chez $90%$ 90% des malades et chez $5%$ 5% des sains.

Calculer la probabilité qu'un test soit positif.

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Correction détaillée

1
$P (M) = 0, 01$ P(M)=0,01, $P_{M} (T) = 0, 9$ P_M(T)=0,9, $P_{\overline{M}} (T) = 0, 05$ P_M̅(T)=0,05, $P (\overline{M}) = 0, 99$ P(M̅)=0,99.
2
$P (T) = 0, 01 \times 0, 9 + 0, 99 \times 0, 05 = 0, 009 + 0, 0495 = 0, 0585$ P(T)=0,01× 0,9+0,99× 0,05=0,009+0,0495=0,0585.

Réponse :

P (T) \approx 0, 0585

P(T)≈ 0,0585.

Rappel de cours : Arbre malade/sain puis test $+$ +/ $-$ - ; probabilités totales pour $P (T)$ P(T).

Exercice 17 — Type bac : succession indépendante

Type bac / défi

On lance $3$ 3 fois une pièce équilibrée.

Calculer la probabilité d'obtenir exactement « Pile, Pile, Face » dans cet ordre.

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Correction détaillée

1
Les lancers sont indépendants : la probabilité d'une suite d'issues est le produit.
2
$P (P, P, F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ P( P, P, F )=1/2×1/2×1/2=1/8.

Réponse :

\frac{1}{8} = 0, 125

1/8=0,125.

Rappel de cours : Pour des épreuves indépendantes, on multiplie les probabilités le long de la succession.

Exercice 18 — Type bac : arbre à trois branches

Type bac / défi

Trois fournisseurs livrent $50%$ 50%, $30%$ 30% et $20%$ 20% des composants, avec des taux de panne $1%$ 1%, $2%$ 2% et $4%$ 4%.

Calculer la probabilité $P$ P qu'un composant tombe en panne.

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Correction détaillée

1
$P (F_{1}) = 0, 5$ P(F₁)=0,5, $P (F_{2}) = 0, 3$ P(F₂)=0,3, $P (F_{3}) = 0, 2$ P(F₃)=0,2 ; taux : $0, 01$ 0,01, $0, 02$ 0,02, $0, 04$ 0,04.
2
$P (panne) = 0, 5 \times 0, 01 + 0, 3 \times 0, 02 + 0, 2 \times 0, 04 = 0, 005 + 0, 006 + 0, 008 = 0, 019$ P( panne )=0,5× 0,01+0,3× 0,02+0,2× 0,04=0,005+0,006+0,008=0,019.

Réponse :

P (panne) = 0, 019

P( panne )=0,019 (soit

1, 9%

1,9%).

Rappel de cours : Probabilités totales avec plusieurs cas : on somme $P (F_{i}) \times P_{F_{i}} (panne)$ P(Fᵢ)× P_Fᵢ( panne ).

Exercice 19 — Type bac : retrouver P(A)

Type bac / défi

On sait que $P_{A} (B) = 0, 8$ P_A(B)=0,8, $P_{\overline{A}} (B) = 0, 3$ P_A̅(B)=0,3 et $P (B) = 0, 5$ P(B)=0,5.

Déterminer $P (A)$ P(A), puis $P_{B} (A)$ P_B(A).

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Correction détaillée

1
On pose $p = P (A)$ p=P(A).
Probabilités totales : $0, 8 p + 0, 3 (1 - p) = 0, 5$ 0,8p+0,3(1-p)=0,5.
2
$0, 5 p + 0, 3 = 0, 5$ 0,5p+0,3=0,5, donc $p = 0, 4$ p=0,4.
3
$P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 4 \times 0 , 8}{0 , 5} = \frac{0 , 32}{0 , 5} = 0, 64$ P_B(A)=(P(A∩ B))/P(B)=(0,4× 0,8)/0,5=0,32/0,5=0,64.

Réponse :

P (A) = 0, 4

P(A)=0,4 et

P_{B} (A) = 0, 64

P_B(A)=0,64.

Rappel de cours : La formule des probabilités totales devient une équation quand une donnée de l'arbre est inconnue.

Exercice 20 — Type bac : deux tirages sans remise

Type bac / défi

Une urne contient $4$ 4 boules rouges et $6$ 6 bleues.

On tire successivement deux boules sans remise.

1.Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges.
2.Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.
3.Sachant que les deux boules sont de la même couleur, quelle est la probabilité qu'elles soient rouges ?

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Correction détaillée

1
1) Arbre : $P (R_{1}) = \frac{4}{10}$ P(R₁)=4/10, puis il reste $3$ 3 rouges sur $9$ 9 boules : $P_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{3}{9}$ P_R₁(R₂)=3/9.
$P (R_{1} \cap R_{2}) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{2}{15}$ P(R₁∩ R₂)=4/10×3/9=2/15.
2
2) Deux bleues : $\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{1}{3}$ 6/10×5/9=1/3.
Même couleur : $\frac{2}{15} + \frac{1}{3} = \frac{2}{15} + \frac{5}{15} = \frac{7}{15}$ 2/15+1/3=2/15+5/15=7/15.
3
3) $P_{m \overset{e}{ˆ} me} (rouges) = \frac{2/15}{7/15} = \frac{2}{7}$ P_même( rouges )=(2/15)/(7/15)=2/7.

Réponse :

\frac{2}{15}

2/15 ;

\frac{7}{15}

7/15 ;

\frac{2}{7}

2/7.

Rappel de cours : Sans remise, la composition de l'urne change entre les deux tirages : les probabilités du second niveau sont conditionnelles.

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