Exercices corrigés : Statistiques — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   Moyenne = somme des valeurs / nombre de valeurs.

2. 2

   $\frac{8+12+10+14+6}{5}=\frac{50}{5}=10$(8+12+10+14+6)/5=50/5=10.

Rappel de cours : Moyenne : $\bar{x}=\frac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}}$bar x=(somme des valeurs)/(effectif total).

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1. 1

   On ordonne : $2,3,5,7,9$2,3,5,7,9.

   Il y a $5$5 valeurs.

2. 2

   La médiane est la valeur centrale ($3^{\text{e}}$3ᵉ rang) : $5$5.

Rappel de cours : Médiane : on ordonne, puis on prend la valeur centrale (si l'effectif est impair).

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1. 1

   Étendue = valeur maximale $-$- valeur minimale.

2. 2

   $18-5=13$18-5=13.

Rappel de cours : Étendue : différence entre la plus grande et la plus petite valeur.

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1. 1

   Avec des fréquences, la moyenne est la somme des produits valeur $\times$× fréquence (les fréquences totalisent $1$1).

2. 2

   $\bar{x}=10\times 0,2+12\times 0,5+15\times 0,3=2+6+4,5=12,5$bar x=10× 0,2+12× 0,5+15× 0,3=2+6+4,5=12,5.

Rappel de cours : $\bar{x}=\sum f_i{x}_i$bar x=Σ fᵢ xᵢ, où $f_i$fᵢ est la fréquence de la valeur $x_i$xᵢ.

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1. 1

   On ordonne : $4,6,8,10$4,6,8,10.

   $4$4 valeurs : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

2. 2

   $\frac{6+8}{2}=7$(6+8)/2=7.

Rappel de cours : Effectif pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu.

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1. 1

   Moyenne pondérée : $\frac{12\times 2+15\times 1+9\times 3}{2+1+3}=\frac{24+15+27}{6}=\frac{66}{6}=11$(12× 2+15× 1+9× 3)/(2+1+3)=(24+15+27)/6=66/6=11.

Rappel de cours : Moyenne pondérée : $\frac{\sum (\text{valeur}\times \text{coef})}{\sum \text{coef}}$(Σ ( valeur × coef ))/(Σ coef).

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1. 1

   $\frac{8\times 3+12\times 5+16\times 2}{3+5+2}=\frac{24+60+32}{10}=\frac{116}{10}=11,6$(8× 3+12× 5+16× 2)/(3+5+2)=(24+60+32)/10=116/10=11,6.

Rappel de cours : Chaque valeur est multipliée par son effectif, et on divise par l'effectif total.

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1. 1

   Fréquences : $\frac{12}{40}=30\%$12/40=30 %, $\frac{18}{40}=45\%$18/40=45 %, $\frac{6}{40}=15\%$6/40=15 %, $\frac{4}{40}=10\%$4/40=10 %.

2. 2

   Fréquences cumulées croissantes : $30\%$30 %, $30+45=75\%$30+45=75 %, $75+15=90\%$75+15=90 %, $100\%$100 %.

3. 3

   « Au plus un animal » regroupe $0$0 et $1$1 : on lit la fréquence cumulée en $1$1, soit $75\%$75 %.

Rappel de cours : La fréquence cumulée croissante en $x$x est la proportion des valeurs inférieures ou égales à $x$x.

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1. 1

   Étendue : $19-4=15$19-4=15.

   Écart interquartile : $Q_3-Q_1=14-8=6$Q₃-Q₁=14-8=6.

2. 2

   (a) Vrai : au plus $25\%$25 % des notes sont strictement inférieures à $Q_1=8$Q₁=8, donc au moins $75\%$75 % sont supérieures ou égales à $8$8.

3. 3

   (b) Faux : la médiane partage la série en deux moitiés (au moins la moitié a $11$11 ou moins, au moins la moitié a $11$11 ou plus), elle ne dit pas que beaucoup d'élèves ont $11$11.

Rappel de cours : Environ la moitié des valeurs se trouve dans la « boîte » $[Q_1;Q_3]$[Q₁ ;Q₃].

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1. 1

   $Q_1$Q₁ est la valeur telle qu'au moins $\frac{1}{4}$1/4 des données lui sont inférieures ou égales.

   $\frac{8}{4}=2$8/4=2 : on prend la $2^{\text{e}}$2ᵉ valeur.

2. 2

   $Q_1=4$Q₁=4.

Rappel de cours : $Q_1$Q₁ : on calcule $\frac{N}{4}$N/4 ; si entier, on prend la valeur de ce rang, sinon on arrondit au rang supérieur.

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1. 1

   $\frac{3N}{4}=\frac{3\times 8}{4}=6$3N/4=(3× 8)/4=6 : on prend la $6^{\text{e}}$6ᵉ valeur.

2. 2

   $Q_3=10$Q₃=10.

Rappel de cours : $Q_3$Q₃ : rang $\frac{3N}{4}$3N/4 (arrondi au supérieur si non entier).

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1. 1

   Écart interquartile : $Q_3-Q_1=10-4=6$Q₃-Q₁=10-4=6.

2. 2

   Il mesure la dispersion des $50\%$50% « centraux » des données.

Rappel de cours : L'écart interquartile $Q_3-Q_1$Q₃-Q₁ résiste aux valeurs extrêmes (contrairement à l'étendue).

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1. 1

   $25$25 valeurs : la médiane est la $13^{\text{e}}$13ᵉ (rang $\frac{25+1}{2}=13$(25+1)/2=13).

2. 2

   Effectifs cumulés : $0\to 8$0→ 8, $1\to 8+12=20$1→ 8+12=20.

   La $13^{\text{e}}$13ᵉ valeur tombe dans la classe « $1$1 frère ».

3. 3

   Médiane $=1$=1.

Rappel de cours : Avec des effectifs, on utilise les effectifs cumulés pour localiser la valeur médiane.

Correction détaillée

1. 1

   Moyenne : $\bar{x}=\frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8}=\frac{40}{8}=5$bar x=(2+4+4+4+5+5+7+9)/8=40/8=5.

2. 2

   Écarts à la moyenne au carré : $9$9, $1$1, $1$1, $1$1, $0$0, $0$0, $4$4, $16$16.

   Leur somme vaut $32$32.

3. 3

   Variance : $V=\frac{32}{8}=4$V=32/8=4.

   Écart type : $\sigma =\sqrt{V}=2$σ= √V =2.

Rappel de cours : $V=\frac{1}{N}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$V=1/NΣ(xᵢ-bar x)² et $\sigma =\sqrt{V}$σ= √V. L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne.

Erreur fréquente : Ne pas oublier la racine carrée : la variance $4$4 n'est pas l'écart type.

Correction détaillée

1. 1

   $N=11$N=11.

   Médiane : valeur de rang $\frac{11+1}{2}=6$(11+1)/2=6, soit $10$10.

2. 2

   $Q_1$Q₁ : plus petite valeur dont le rang est au moins $\frac{N}{4}=2,75$N/4=2,75, donc la $3^{\text{e}}$3ᵉ valeur : $Q_1=6$Q₁=6.

3. 3

   $Q_3$Q₃ : rang au moins $\frac{3N}{4}=8,25$3N/4=8,25, donc la $9^{\text{e}}$9ᵉ valeur : $Q_3=15$Q₃=15.

Rappel de cours : $Q_1$Q₁ est la plus petite valeur telle qu'au moins $25\%$25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales (même idée pour $Q_3$Q₃ avec $75\%$75 %).

Erreur fréquente : On arrondit le rang à l'entier supérieur : $2,75$2,75 donne le rang $3$3, pas $2$2.

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1. 1

   Somme des $20$20 notes : $20\times 11=220$20× 11=220.

   Avec la nouvelle : $220+5=225$220+5=225.

2. 2

   Nouvelle moyenne : $\frac{225}{21}\approx 10,71$225/21≈ 10,71.

Rappel de cours : On retrouve la somme par « moyenne $\times$× effectif », on ajoute la valeur, puis on recalcule.

Correction détaillée

1. 1

   Moyenne : $\frac{20+22+21+23+100}{5}=\frac{186}{5}=37,2$(20+22+21+23+100)/5=186/5=37,2.

2. 2

   Médiane (série ordonnée $20,21,22,23,100$20,21,22,23,100) : valeur centrale $=22$=22.

3. 3

   La médiane ($22$22) représente mieux la série : la moyenne est « tirée vers le haut » par la valeur extrême $100$100.

Rappel de cours : La médiane résiste aux valeurs aberrantes, contrairement à la moyenne.

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1. 1

   $\frac{7+10+x+15}{4}=11$(7+10+x+15)/4=11, donc $32+x=44$32+x=44.

2. 2

   $x=12$x=12.

Rappel de cours : On pose l'équation de la moyenne et on isole la valeur manquante.

Correction détaillée

1. 1

   Somme A : $20\times 12=240$20× 12=240.

   Somme B : $30\times 10=300$30× 10=300.

2. 2

   Moyenne globale : $\frac{240+300}{50}=\frac{540}{50}=10,8$(240+300)/50=540/50=10,8.

Rappel de cours : La moyenne globale n'est PAS la moyenne des moyennes : on pondère par les effectifs.

Erreur fréquente : Ce n'est pas $\frac{12+10}{2}=11$(12+10)/2=11 : les groupes n'ont pas le même effectif.

Correction détaillée

1. 1

   Moyenne : multiplier toutes les valeurs par $1,2$1,2 multiplie la moyenne par $1,2$1,2 ; ajouter $1$1 à toutes les valeurs ajoute $1$1 à la moyenne.

   $\bar{y}=1,2\times 9+1=11,8$bar y=1,2× 9+1=11,8.

2. 2

   Écart type : ajouter $1$1 décale toutes les notes sans changer leurs écarts à la moyenne, donc ne change pas la dispersion.

   Multiplier par $1,2$1,2 multiplie tous les écarts par $1,2$1,2.

3. 3

   ${\sigma }_y=1,2\times 2,5=3$σ_y=1,2× 2,5=3.

Rappel de cours : Si $y=ax+b$y=ax+b : $\bar{y}=a\bar{x}+b$bar y=abar x+b et ${\sigma }_y=|a|{\sigma }_x$σ_y=|a| σₓ.

Erreur fréquente : L'ajout de $1$1 ne modifie pas l'écart type : ${\sigma }_y\ne 1,2\times 2,5+1$σ_y≠ 1,2× 2,5+1.