Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Généralités sur les fonctions
Une fonction f associe à chaque nombre x une unique image f(x). On apprend à calculer une image, à lire un graphique (image, antécédent, variations), à dresser un tableau de variations et à repérer les extremums. Ces exercices corrigés couvrent tout le programme de Seconde sur les généralités. Difficulté croissante, correction d'un clic.
Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.
Soit f(x)=x²-3.
Calculer f(0), f(2) et f(-1).
Correction détaillée
f(0)=0²-3=-3.
f(2)=2²-3=4-3=1.
f(-1)=(-1)²-3=1-3=-2.
Rappel de cours : Calculer l'image de a, c'est remplacer x par a dans l'expression de f.
Erreur fréquente : (-1)²=1 (un carré est positif). Bien mettre les parenthèses pour les nombres négatifs.
Soit f telle que f(3)=7.
Compléter : « 7 est l'… de 3 » et « 3 est un … de 7 ».
Correction détaillée
f(3)=7 : on part de 3, on arrive à 7.
7 est l'image de 3 ; 3 est un antécédent de 7.
Rappel de cours : Image : ce qu'on obtient (f(x)). Antécédent : ce qu'on met au départ (x).
Soit f(x)=2x+1.
Le nombre 5 est-il l'image de 2 par f ?
Correction détaillée
On calcule f(2)=2× 2+1=5.
f(2)=5 : oui, 5 est bien l'image de 2.
Rappel de cours : Pour vérifier, on calcule l'image et on compare.
On donne ci-dessous la courbe d'une fonction f.
Lire f(1), puis donner les antécédents de 0.
Correction détaillée
Pour lire f(1), on part de 1 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée : f(1)=3.
Les antécédents de 0 sont les abscisses où la courbe coupe l'axe des abscisses : x=-2 et x=2.
Rappel de cours : Image : on lit verticalement (de l'axe des x vers la courbe puis vers l'axe des y). Antécédent : on part d'une valeur sur l'axe des y.
À partir de la courbe ci-dessous, indiquer sur quels intervalles f est croissante ou décroissante, et donner ses extremums sur [-3 ;3].
Correction détaillée
La courbe monte jusqu'à x=-1, puis descend jusqu'à x=1, puis remonte.
f est croissante sur [-3;-1], décroissante sur [-1;1], croissante sur [1;3].
Maximum local f(-1)=4 ; minimum local f(1)=-2.
Rappel de cours : Courbe qui monte = fonction croissante ; qui descend = décroissante. Les sommets sont les extremums.
Soit f(x)=(x+1)/2.
Calculer f(3) et f(-5).
Correction détaillée
f(3)=(3+1)/2=4/2=2.
f(-5)=(-5+1)/2=(-4)/2=-2.
Rappel de cours : On remplace x, on calcule le numérateur, puis on divise.
Soit f(x)=3x-2.
Déterminer le(s) antécédent(s) de 7.
Correction détaillée
On cherche x tel que f(x)=7, c'est-à-dire 3x-2=7.
3x=9, donc x=3.
Rappel de cours : Trouver un antécédent de k, c'est résoudre l'équation f(x)=k.
Soit f(x)=x².
Déterminer les antécédents de 9.
Correction détaillée
On résout f(x)=9, soit x²=9.
x=± 3 : il y a deux antécédents, -3 et 3.
Rappel de cours : Une image peut avoir plusieurs antécédents. x²=k (k>0) en a deux : ± √k.
Erreur fréquente : Ne pas oublier la solution négative : x=-3 convient aussi car (-3)²=9.
Soit f(x)=x².
Comparer f(2) et f(3), puis f(-2) et f(-3).
Correction détaillée
f(2)=4 et f(3)=9 : f(2)<f(3) (la fonction carré est croissante sur [0;+∞[).
f(-2)=4 et f(-3)=9 : f(-2)<f(-3) (sur les négatifs, plus on s'éloigne de 0, plus le carré est grand).
Rappel de cours : La fonction carré décroît sur ]-∞;0] puis croît sur [0;+∞[ : minimum en 0.
Soit f(x)=x²-2x.
Calculer f(-1), f(0), f(1), f(2), f(3) et repérer le minimum parmi ces valeurs.
Correction détaillée
f(-1)=1+2=3 ; f(0)=0 ; f(1)=1-2=-1 ; f(2)=4-4=0 ; f(3)=9-6=3.
La plus petite valeur est f(1)=-1 : le minimum est atteint en x=1.
Rappel de cours : Un tableau de valeurs aide à tracer la courbe et à localiser un extremum.
Une fonction f vérifie : f(0)=2, f croissante sur [0;3] avec f(3)=5, puis décroissante sur [3;6] avec f(6)=1.
Combien de solutions a l'équation f(x)=4 sur [0;6] ?
Correction détaillée
Sur [0;3], f croît de 2 à 5 : elle prend la valeur 4 une fois (car 4∈[2;5]).
Sur [3;6], f décroît de 5 à 1 : elle prend la valeur 4 une fois (car 4∈[1;5]).
Au total, f(x)=4 a 2 solutions sur [0;6].
Rappel de cours : Sur un intervalle où f est monotone, f(x)=k a au plus une solution. On raisonne intervalle par intervalle.
Soit f croissante sur [2;8] avec f(2)=-1 et f(8)=5.
Si 3≤ x≤ 6 et f(3)=1, f(6)=4, encadrer f(x).
Correction détaillée
f est croissante : si 3≤ x≤ 6, alors f(3)≤ f(x)≤ f(6).
Donc 1≤ f(x)≤ 4.
Rappel de cours : Une fonction croissante conserve l'ordre : a≤ x≤ b ⇒ f(a)≤ f(x)≤ f(b).
Soit f(x)=x²-x+1.
Le point A(2 ;3) appartient-il à la courbe de f ?
Et B(-1 ;3) ?
Correction détaillée
A est sur la courbe si f(2)=3.
f(2)=4-2+1=3 : oui, A appartient à la courbe.
f(-1)=1+1+1=3 : oui, B(-1;3) appartient aussi à la courbe.
Rappel de cours : Un point (a;b) est sur la courbe de f si et seulement si f(a)=b.
Sur un même graphique, les courbes de f et g se coupent aux points d'abscisses -1 et 2.
Que peut-on dire des solutions de l'équation f(x)=g(x) ?
Correction détaillée
f(x)=g(x) signifie que les deux courbes ont la même ordonnée, donc qu'elles se croisent.
Les abscisses des points d'intersection sont les solutions : x=-1 et x=2.
Rappel de cours : Résoudre f(x)=g(x) graphiquement = lire les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
Des généralités aux fonctions de référence : image, antécédent, variations, courbes et fonctions usuelles.
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