Exercices corrigés : Généralités sur les fonctions — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   $f(0)=0^2-3=-3$f(0)=0²-3=-3.

2. 2

   $f(2)=2^2-3=4-3=1$f(2)=2²-3=4-3=1.

3. 3

   $f(-1)=(-1{)}^2-3=1-3=-2$f(-1)=(-1)²-3=1-3=-2.

Rappel de cours : Calculer l'image de $a$a, c'est remplacer $x$x par $a$a dans l'expression de $f$f.

Erreur fréquente : $(-1{)}^2=1$(-1)²=1 (un carré est positif). Bien mettre les parenthèses pour les nombres négatifs.

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1. 1

   $f(3)=7$f(3)=7 : on part de $3$3, on arrive à $7$7.

2. 2

   $7$7 est l'image de $3$3 ; $3$3 est un antécédent de $7$7.

Rappel de cours : Image : ce qu'on obtient ($f(x)$f(x)). Antécédent : ce qu'on met au départ ($x$x).

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1. 1

   On calcule $f(2)=2\times 2+1=5$f(2)=2× 2+1=5.

2. 2

   $f(2)=5$f(2)=5 : oui, $5$5 est bien l'image de $2$2.

Rappel de cours : Pour vérifier, on calcule l'image et on compare.

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1. 1

   Le carré de $x$x est $x^2$x², le triple de $x$x est $3x$3x : $f(x)=x^2+3x$f(x)=x²+3x.

2. 2

   $f(-2)=(-2{)}^2+3\times (-2)=4-6=-2$f(-2)=(-2)²+3×(-2)=4-6=-2.

3. 3

   $f(0,5)=0,25+1,5=1,75$f(0,5)=0,25+1,5=1,75.

Rappel de cours : Une fonction associe à chaque nombre $x$x de son ensemble de définition un unique nombre $f(x)$f(x), son image.

Erreur fréquente : Le triple porte sur le nombre de départ $x$x, pas sur le carré.

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1. 1

   Pour lire $f(1)$f(1), on part de $1$1 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée : $f(1)=3$f(1)=3.

2. 2

   Les antécédents de $0$0 sont les abscisses où la courbe coupe l'axe des abscisses : $x=-2$x=-2 et $x=2$x=2.

Rappel de cours : Image : on lit verticalement (de l'axe des $x$x vers la courbe puis vers l'axe des $y$y). Antécédent : on part d'une valeur sur l'axe des $y$y.

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1. 1

   La courbe monte jusqu'à $x=-1$x=-1, puis descend jusqu'à $x=1$x=1, puis remonte.

2. 2

   $f$f est croissante sur $[-3;-1]$[-3;-1], décroissante sur $[-1;1]$[-1;1], croissante sur $[1;3]$[1;3].

3. 3

   Maximum local $f(-1)=4$f(-1)=4 ; minimum local $f(1)=-2$f(1)=-2.

Rappel de cours : Courbe qui monte = fonction croissante ; qui descend = décroissante. Les sommets sont les extremums.

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1. 1

   $f(3)=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$f(3)=(3+1)/2=4/2=2.

2. 2

   $f(-5)=\frac{-5+1}{2}=\frac{-4}{2}=-2$f(-5)=(-5+1)/2=(-4)/2=-2.

Rappel de cours : On remplace $x$x, on calcule le numérateur, puis on divise.

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1. 1

   $-2$-2 et $0$0 sont dans $[-3;1]$[-3 ;1], où $f$f est décroissante : une fonction décroissante renverse l'ordre.

   $-2<0$-2<0, donc $f(-2)>f(0)$f(-2)>f(0).

2. 2

   $2$2 et $4$4 sont dans $[1;5]$[1 ;5], où $f$f est croissante : l'ordre est conservé.

   $2<4$2<4, donc $f(2)<f(4)$f(2)<f(4).

3. 3

   $0$0 et $3$3 ne sont pas sur un même intervalle de monotonie : on ne peut pas conclure sans information supplémentaire.

Rappel de cours : Croissante : $a<b\Rightarrow f(a)\le f(b)$a<b⇒ f(a)≤ f(b). Décroissante : $a<b\Rightarrow f(a)\ge f(b)$a<b⇒ f(a)≥ f(b). Uniquement pour $a$a et $b$b dans le même intervalle.

Erreur fréquente : On ne compare jamais deux images de part et d'autre d'un changement de variation.

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1. 1

   On cherche $x$x tel que $f(x)=7$f(x)=7, c'est-à-dire $3x-2=7$3x-2=7.

2. 2

   $3x=9$3x=9, donc $x=3$x=3.

Rappel de cours : Trouver un antécédent de $k$k, c'est résoudre l'équation $f(x)=k$f(x)=k.

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1. 1

   On résout $f(x)=9$f(x)=9, soit $x^2=9$x²=9.

2. 2

   $x=\pm 3$x=± 3 : il y a deux antécédents, $-3$-3 et $3$3.

Rappel de cours : Une image peut avoir plusieurs antécédents. $x^2=k$x²=k ($k>0$k>0) en a deux : $\pm \sqrt{k}$± √k.

Erreur fréquente : Ne pas oublier la solution négative : $x=-3$x=-3 convient aussi car $(-3{)}^2=9$(-3)²=9.

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1. 1

   $f(2)=4$f(2)=4 et $f(3)=9$f(3)=9 : $f(2)<f(3)$f(2)<f(3) (la fonction carré est croissante sur $[0;+\infty [$[0;+∞[).

2. 2

   $f(-2)=4$f(-2)=4 et $f(-3)=9$f(-3)=9 : $f(-2)<f(-3)$f(-2)<f(-3) (sur les négatifs, plus on s'éloigne de $0$0, plus le carré est grand).

Rappel de cours : La fonction carré décroît sur $]-\infty ;0]$]-∞;0] puis croît sur $[0;+\infty [$[0;+∞[ : minimum en $0$0.

Correction détaillée

1. 1

   $f(-1)=1+2=3$f(-1)=1+2=3 ; $f(0)=0$f(0)=0 ; $f(1)=1-2=-1$f(1)=1-2=-1 ; $f(2)=4-4=0$f(2)=4-4=0 ; $f(3)=9-6=3$f(3)=9-6=3.

2. 2

   La plus petite valeur est $f(1)=-1$f(1)=-1 : le minimum est atteint en $x=1$x=1.

Rappel de cours : Un tableau de valeurs aide à tracer la courbe et à localiser un extremum.

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1. 1

   $|x-3|$|x-3| est la distance entre $x$x et $3$3 : $|x-3|\le 2⟺3-2\le x\le 3+2⟺x\in [1;5]$|x-3|≤ 2 ⇔ 3-2≤ x≤ 3+2 ⇔ x∈[1 ;5].

2. 2

   $|x+2|=|x-(-2)|=5$|x+2|=|x-(-2)|=5 : $x$x est à distance $5$5 de $-2$-2, donc $x=-2-5=-7$x=-2-5=-7 ou $x=-2+5=3$x=-2+5=3.

3. 3

   La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ℝ, donc $x^3=-64$x³=-64 a une seule solution : $(-4{)}^3=-64$(-4)³=-64, d'où $x=-4$x=-4.

4. 4

   $27=3^3$27=3³ et la fonction cube est croissante : $x^3>3^3⟺x>3$x³>3³⇔ x>3, soit $x\in ]3;+\infty [$x∈ ]3 ;+∞[.

5. 5

   $-1,5<-1,4$-1,5<-1,4 et la fonction cube est croissante, donc $(-1,5{)}^3<(-1,4{)}^3$(-1,5)³<(-1,4)³.

Rappel de cours : $|x-a|\le r⟺x\in [a-r;a+r]$|x-a|≤ r ⇔ x∈[a-r ;a+r]. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ℝ : $x^3=k$x³=k a exactement une solution.

Erreur fréquente : $x^3=-64$x³=-64 a une solution, contrairement à $x^2=-64$x²=-64 qui n'en a aucune ; et $|x+2|$|x+2| est la distance à $-2$-2, pas à $2$2.

Correction détaillée

1. 1

   Graphiquement, on cherche les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de la droite $y=2$y=2 ou sur elle.

2. 2

   La courbe coupe la droite aux points d'abscisses $-1$-1 et $3$3, et elle est au-dessus à gauche de $-1$-1 et à droite de $3$3.

   Lecture : $S=[-2;-1]\cup [3;4]$S=[-2 ;-1]∪[3 ;4].

3. 3

   Calcul : $f(x)\ge 2⟺x^2-2x-3\ge 0⟺(x+1)(x-3)\ge 0$f(x)≥ 2⇔ x²-2x-3≥ 0⇔ (x+1)(x-3)≥ 0 (on vérifie en développant : $x^2-3x+x-3$x²-3x+x-3).

4. 4

   Tableau de signes : le produit est positif ou nul pour $x\le -1$x≤ -1 ou $x\ge 3$x≥ 3.

   Sur $[-2;4]$[-2 ;4], on retrouve $S=[-2;-1]\cup [3;4]$S=[-2 ;-1]∪[3 ;4].

Rappel de cours : $f(x)\ge k$f(x)≥ k : abscisses des points de la courbe au-dessus (ou sur) la droite horizontale $y=k$y=k.

Erreur fréquente : La solution est un ensemble de valeurs de $x$x, lues sur l'axe des abscisses, et non une valeur de $y$y.

Correction détaillée

1. 1

   Sur $[0;3]$[0;3], $f$f croît de $2$2 à $5$5 : elle prend la valeur $4$4 une fois (car $4\in [2;5]$4∈[2;5]).

2. 2

   Sur $[3;6]$[3;6], $f$f décroît de $5$5 à $1$1 : elle prend la valeur $4$4 une fois (car $4\in [1;5]$4∈[1;5]).

3. 3

   Au total, $f(x)=4$f(x)=4 a $2$2 solutions sur $[0;6]$[0;6].

Rappel de cours : Sur un intervalle où $f$f est monotone, $f(x)=k$f(x)=k a au plus une solution. On raisonne intervalle par intervalle.

Correction détaillée

1. 1

   $f$f est croissante : si $3\le x\le 6$3≤ x≤ 6, alors $f(3)\le f(x)\le f(6)$f(3)≤ f(x)≤ f(6).

2. 2

   Donc $1\le f(x)\le 4$1≤ f(x)≤ 4.

Rappel de cours : Une fonction croissante conserve l'ordre : $a\le x\le b\Rightarrow f(a)\le f(x)\le f(b)$a≤ x≤ b ⇒ f(a)≤ f(x)≤ f(b).

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1. 1

   $A$A est sur la courbe si $f(2)=3$f(2)=3.

   $f(2)=4-2+1=3$f(2)=4-2+1=3 : oui, $A$A appartient à la courbe.

2. 2

   $f(-1)=1+1+1=3$f(-1)=1+1+1=3 : oui, $B(-1;3)$B(-1;3) appartient aussi à la courbe.

Rappel de cours : Un point $(a;b)$(a;b) est sur la courbe de $f$f si et seulement si $f(a)=b$f(a)=b.

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1. 1

   $f(x)=g(x)$f(x)=g(x) signifie que les deux courbes ont la même ordonnée, donc qu'elles se croisent.

2. 2

   Les abscisses des points d'intersection sont les solutions : $x=-1$x=-1 et $x=2$x=2.

Rappel de cours : Résoudre $f(x)=g(x)$f(x)=g(x) graphiquement = lire les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Correction détaillée

1. 1

   1) Demi-périmètre : $10$10, donc la longueur vaut $10-x$10-x et $A(x)=x(10-x)=10x-x^2$A(x)=x(10-x)=10x-x².

   Il faut $x>0$x>0 et $10-x>0$10-x>0 : $x\in ]0;10[$x∈ ]0 ;10[.

2. 2

   2) $A(3)=3\times 7=21$A(3)=3× 7=21 et $A(7)=7\times 3=21$A(7)=7× 3=21 : c'est le même rectangle, tourné d'un quart de tour.

3. 3

   3) $25-A(x)=25-10x+x^2=x^2-10x+25=(x-5{)}^2$25-A(x)=25-10x+x²=x²-10x+25=(x-5)² (identité remarquable).

4. 4

   Un carré est positif ou nul : $25-A(x)\ge 0$25-A(x)≥ 0, donc $A(x)\le 25$A(x)≤ 25, avec égalité si et seulement si $x=5$x=5.

5. 5

   L'aire maximale est $25{\text{cm}}^2$25 cm ², atteinte pour $x=5$x=5 : le rectangle est alors un carré de côté $5$5 cm.

Rappel de cours : Pour démontrer qu'une fonction admet un maximum $M$M, on montre que $M-f(x)\ge 0$M-f(x)≥ 0 pour tout $x$x (souvent en faisant apparaître un carré).

Correction détaillée

1. 1

   Conjecture : un tableau de valeurs ($f(2)=3$f(2)=3, $f(3)=4$f(3)=4, $f(4)=3$f(4)=3) suggère un maximum $4$4 en $x=3$x=3.

2. 2

   On étudie la différence : $4-f(x)=4+x^2-6x+5=x^2-6x+9=(x-3{)}^2$4-f(x)=4+x²-6x+5=x²-6x+9=(x-3)².

3. 3

   Pour tout réel $x$x, $(x-3{)}^2\ge 0$(x-3)²≥ 0, donc $f(x)\le 4$f(x)≤ 4.

4. 4

   De plus $f(3)=-9+18-5=4$f(3)=-9+18-5=4 : la valeur $4$4 est atteinte.

   C'est donc le maximum de $f$f sur $\mathbb{R}$ℝ.

Rappel de cours : $M$M est le maximum de $f$f si $f(x)\le M$f(x)≤ M pour tout $x$x et s'il existe $a$a tel que $f(a)=M$f(a)=M.

Erreur fréquente : Montrer $f(x)\le 4$f(x)≤ 4 ne suffit pas : il faut aussi que la valeur $4$4 soit atteinte.