Exercices corrigés : Coefficient directeur — Seconde

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1. 1

   Dans $y=mx+p$y=mx+p, le coefficient directeur est le nombre devant $x$x.

2. 2

   Pour $y=3x-5$y=3x-5 : $m=3$m=3.

   Pour $y=-2x+1$y=-2x+1 : $m=-2$m=-2.

Rappel de cours : Dans $y=mx+p$y=mx+p : $m$m est le coefficient directeur, $p$p l'ordonnée à l'origine.

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1. 1

   $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{8-2}{4-1}=\frac{6}{3}=2$m=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)=(8-2)/(4-1)=6/3=2.

Rappel de cours : $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$m=(y_B-y_A)/(x_B-x_A) : variation des ordonnées divisée par variation des abscisses.

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1. 1

   On écrit l'équation sous la forme $y=mx+p$y=mx+p en séparant la fraction : $y=\frac{3}{2}-\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$y=3/2-x/2=-1/2x+3/2.

2. 2

   Le coefficient de $x$x est $m=-\frac{1}{2}$m=-1/2, le terme constant est $p=\frac{3}{2}$p=3/2.

Rappel de cours : $\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$(a+b)/c=a/c+b/c : on sépare la fraction pour lire $m$m et $p$p.

Erreur fréquente : Le coefficient directeur n'est pas $3$3 : c'est le nombre qui multiplie $x$x.

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1. 1

   $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-(-1)}{-1-(-3)}=\frac{6}{2}=3$m=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)=(5-(-1))/(-1-(-3))=6/2=3.

Rappel de cours : $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$m=(y_B-y_A)/(x_B-x_A) : même ordre ($B$B puis $A$A) au numérateur et au dénominateur.

Erreur fréquente : Soustraire un négatif : $5-(-1)=6$5-(-1)=6 et $-1-(-3)=2$-1-(-3)=2.

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1. 1

   La droite coupe l'axe des ordonnées en $-1$-1 : ordonnée à l'origine $p=-1$p=-1.

2. 2

   En avançant de $1$1 en abscisse (de $x=0$x=0 à $x=1$x=1), on monte de $2$2 : le coefficient directeur est $m=2$m=2.

3. 3

   L'équation de la droite est donc $y=2x-1$y=2x-1.

Rappel de cours : Lecture graphique : $p$p = ordonnée du point d'intersection avec l'axe des $y$y ; $m$m = montée pour $+1$+1 en abscisse.

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1. 1

   $m=\frac{-3-5}{3-(-1)}=\frac{-8}{4}=-2$m=(-3-5)/(3-(-1))=(-8)/4=-2.

Rappel de cours : $x_B-x_A=3-(-1)=4$x_B-x_A=3-(-1)=4. Un coefficient directeur négatif correspond à une droite qui descend.

Erreur fréquente : Bien gérer $3-(-1)=4$3-(-1)=4 (et non $2$2) : soustraire un négatif revient à ajouter.

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1. 1

   Une droite qui monte a un coefficient directeur positif ($m>0$m>0).

2. 2

   Une droite qui descend a un coefficient directeur négatif ($m<0$m<0).

Rappel de cours : $m>0$m>0 : croissante (monte) · $m<0$m<0 : décroissante (descend) · $m=0$m=0 : horizontale.

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1. 1

   $m=\frac{3-3}{5-1}=\frac{0}{4}=0$m=(3-3)/(5-1)=0/4=0.

2. 2

   La droite est horizontale (équation $y=3$y=3).

Rappel de cours : Deux points de même ordonnée donnent une droite horizontale, de coefficient directeur $0$0.

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1. 1

   Les points sont $(2;150)$(2 ;150) et $(5;390)$(5 ;390).

   $m=\frac{390-150}{5-2}=\frac{240}{3}=80$m=(390-150)/(5-2)=240/3=80.

2. 2

   Le coefficient directeur est en km par heure : la voiture parcourt $80$80 km de plus chaque heure, c'est sa vitesse.

3. 3

   L'ordonnée à l'origine vaut $150-80\times 2=-10$150-80× 2=-10 : la droite ne passe pas par l'origine, la voiture n'a pas roulé à $80$80 km/h depuis le départ (elle a pu s'arrêter ou rouler moins vite au début).

Rappel de cours : Le coefficient directeur mesure la variation de $y$y quand $x$x augmente de $1$1 ; son unité est « unité de $y$y par unité de $x$x ».

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1. 1

   De $x=2$x=2 à $x=4$x=4, on avance de $2$2 en abscisse, donc on monte de $2\times m=2\times 3=6$2× m=2× 3=6 en ordonnée.

2. 2

   L'ordonnée passe de $5$5 à $5+6=11$5+6=11.

Rappel de cours : Avancer de $\Delta x$Δ x fait varier l'ordonnée de $m\times \Delta x$m×Δ x.

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1. 1

   Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.

2. 2

   $d_1$d₁ et $d_2$d₂ ont toutes deux $m=2$m=2 : elles sont parallèles.

Rappel de cours : Droites parallèles $⟺$⇔ même coefficient directeur.

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1. 1

   $m=\frac{3-1}{5-2}=\frac{2}{3}$m=(3-1)/(5-2)=2/3.

Rappel de cours : Le coefficient directeur peut être une fraction : ici on monte de $2$2 quand on avance de $3$3.

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1. 1

   Coefficient directeur de $(AB)$(AB) : $\frac{5-1}{2-0}=2$(5-1)/(2-0)=2.

2. 2

   Coefficient directeur de $(AC)$(AC) : $\frac{7-1}{3-0}=2$(7-1)/(3-0)=2.

3. 3

   Mêmes coefficients depuis $A$A : les points sont alignés.

Rappel de cours : Trois points sont alignés si les coefficients directeurs entre couples partageant un point sont égaux.

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1. 1

   $x_B-x_A=2-2=0$x_B-x_A=2-2=0 : le quotient $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$(y_B-y_A)/(x_B-x_A) n'existe pas (division par zéro).

2. 2

   $A$A et $B$B ont la même abscisse : la droite est verticale.

   Elle n'a pas de coefficient directeur et n'est pas la courbe d'une fonction.

3. 3

   Tous ses points ont pour abscisse $2$2 : son équation est $x=2$x=2.

Rappel de cours : Droite verticale : $x=c$x=c. Droite non verticale : $y=mx+p$y=mx+p.

Erreur fréquente : Ne pas confondre avec une droite horizontale, dont le coefficient directeur vaut $0$0.

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1. 1

   $m_{AB}=\frac{1-0}{4-0}=\frac{1}{4}$m_AB=(1-0)/(4-0)=1/4 et $m_{DC}=\frac{4-3}{5-1}=\frac{1}{4}$m_DC=(4-3)/(5-1)=1/4 : $(AB)\Vert (DC)$(AB) ‖ (DC).

2. 2

   $m_{AD}=\frac{3-0}{1-0}=3$m_AD=(3-0)/(1-0)=3 et $m_{BC}=\frac{4-1}{5-4}=3$m_BC=(4-1)/(5-4)=3 : $(AD)\Vert (BC)$(AD) ‖ (BC).

3. 3

   Les côtés opposés sont parallèles deux à deux : $ABCD$ABCD est un parallélogramme.

Rappel de cours : Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficient directeur de $(AB)$(AB) : $\frac{6-2}{3-1}=2$(6-2)/(3-1)=2.

2. 2

   Pour l'alignement, $(AC)$(AC) doit avoir le même : $\frac{k-2}{4-1}=2$(k-2)/(4-1)=2, soit $\frac{k-2}{3}=2$(k-2)/3=2.

3. 3

   $k-2=6$k-2=6, donc $k=8$k=8.

Rappel de cours : Alignement : on impose l'égalité des coefficients directeurs, ce qui donne une équation en l'inconnue.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficient directeur : $m=\frac{0,6}{8}=0,075$m=0,6/8=0,075.

2. 2

   $0,075=7,5\%$0,075=7,5%, inférieur à $8\%$8% : la norme est respectée.

Rappel de cours : La pente d'une rampe est le coefficient directeur $\frac{\text{monteˊe}}{\text{distance horizontale}}$montée/(distance horizontale), souvent exprimé en $\%$%.

Correction détaillée

1. 1

   Équation $y=-\frac{1}{2}x+p$y=-1/2 x+p.

   Avec $A(4;1)$A(4;1) : $1=-\frac{1}{2}\times 4+p=-2+p$1=-1/2× 4+p=-2+p, donc $p=3$p=3.

   Droite : $y=-\frac{1}{2}x+3$y=-1/2 x+3.

2. 2

   L'axe des abscisses correspond à $y=0$y=0 : $-\frac{1}{2}x+3=0$-1/2 x+3=0, soit $x=6$x=6.

3. 3

   La droite coupe l'axe des abscisses en $(6;0)$(6 ;0).

Rappel de cours : On trouve $p$p avec le point donné, puis on résout $y=0$y=0 pour l'intersection avec l'axe des $x$x.

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1. 1

   $d_1$d₁ : coefficient directeur $\frac{2}{3}\approx 0,667$2/3≈ 0,667 (depuis l'origine).

2. 2

   $d_2$d₂ : coefficient directeur $\frac{4}{5}=0,8$4/5=0,8.

3. 3

   $0,8>0,667$0,8>0,667 : $d_2$d₂ a la plus forte pente.

Rappel de cours : Pour comparer deux fractions, on les met au même dénominateur ou on calcule leurs valeurs décimales.

Correction détaillée

1. 1

   $m_{AB}=\frac{3-1}{5-1}=\frac{1}{2}$m_AB=(3-1)/(5-1)=1/2.

2. 2

   Pour $x\ne 2$x≠ 2, $m_{CD}=\frac{6-4}{x-2}=\frac{2}{x-2}$m_CD=(6-4)/(x-2)=2/(x-2). (Si $x=2$x=2, $(CD)$(CD) serait verticale, donc non parallèle à $(AB)$(AB).)

3. 3

   $(CD)\Vert (AB)⟺\frac{2}{x-2}=\frac{1}{2}⟺x-2=4⟺x=6$(CD) ‖ (AB)⇔2/(x-2)=1/2⇔ x-2=4⇔ x=6.

4. 4

   Vérification : $D(6;6)$D(6 ;6), $m_{CD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$m_CD=2/4=1/2.

Rappel de cours : Parallélisme $⟺$⇔ coefficients directeurs égaux : on obtient une équation d'inconnue $x$x.