Exercices corrigés : Ensemble de définition — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   $f$f est un polynôme : on peut calculer $f(x)$f(x) pour n'importe quel réel.

2. 2

   L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$ℝ.

Rappel de cours : Les fonctions polynômes sont définies sur $\mathbb{R}$ℝ tout entier (aucun interdit).

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1. 1

   On ne divise pas par $0$0 : il faut $x-2\ne 0$x-2≠ 0, soit $x\ne 2$x≠ 2.

2. 2

   $D_f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$D_f=ℝ\{2}.

Rappel de cours : Interdit : dénominateur nul. On exclut la (les) valeur(s) qui annule(nt) le dénominateur.

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1. 1

   On ne prend pas la racine d'un nombre négatif : il faut $x\ge 0$x≥ 0.

2. 2

   $D_f=[0;+\infty [$D_f=[0;+∞[.

Rappel de cours : Interdit : racine carrée d'un négatif. On impose (expression sous la racine) $\ge 0$≥ 0.

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1. 1

   Un quotient n'existe que si son dénominateur est non nul : il faut $x+5\ne 0$x+5≠ 0, soit $x\ne -5$x≠ -5.

2. 2

   $-5$-5 est la seule valeur interdite.

Rappel de cours : On ne divise jamais par $0$0 : les valeurs qui annulent le dénominateur sont exclues.

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1. 1

   Il faut $2x-6\ne 0$2x-6≠ 0, soit $2x\ne 6$2x≠ 6, donc $x\ne 3$x≠ 3.

2. 2

   $D_f=\mathbb{R}\setminus \{3\}$D_f=ℝ\{3}.

Rappel de cours : On cherche où le dénominateur s'annule en résolvant (dénominateur) $=0$=0.

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1. 1

   Il faut $x-3\ge 0$x-3≥ 0, soit $x\ge 3$x≥ 3.

2. 2

   $D_f=[3;+\infty [$D_f=[3;+∞[.

Rappel de cours : Racine : on résout (expression sous la racine) $\ge 0$≥ 0. Ici une inéquation du premier degré.

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1. 1

   Il faut $6-2x\ge 0$6-2x≥ 0, soit $6\ge 2x$6≥ 2x, donc $x\le 3$x≤ 3.

2. 2

   $D_f=]-\infty ;3]$D_f= ]-∞;3].

Rappel de cours : En divisant par $-2$-2 (négatif), le sens de l'inégalité change : $-2x\ge -6⟺x\le 3$-2x≥ -6⇔ x≤ 3.

Erreur fréquente : Diviser par un nombre négatif inverse l'inégalité.

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1. 1

   On résout $3x+2=0$3x+2=0 : $x=-\frac{2}{3}$x=-2/3.

   C'est l'unique valeur interdite.

2. 2

   $1$1 annule le numérateur ($f(1)=0$f(1)=0), ce qui est autorisé : seul le dénominateur compte.

Rappel de cours : Un numérateur nul donne un quotient nul ; seul un dénominateur nul est interdit.

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1. 1

   Une racine carrée n'existe que pour un nombre positif ou nul : il faut $2x+8\ge 0$2x+8≥ 0.

2. 2

   $2x\ge -8⟺x\ge -4$2x≥ -8⇔ x≥ -4 (on divise par $2>0$2>0, le sens ne change pas).

Rappel de cours : $\sqrt{A}$√(A) existe si et seulement si $A\ge 0$A≥ 0. La borne est incluse (crochet fermé) car $\sqrt{0}=0$sqrt0=0.

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1. 1

   Il faut $x^2-4\ne 0$x²-4≠ 0, soit $x^2\ne 4$x²≠ 4, donc $x\ne 2$x≠ 2 et $x\ne -2$x≠ -2.

2. 2

   $D_f=\mathbb{R}\setminus \{-2;2\}$D_f=ℝ\{-2 ;2}.

Rappel de cours : Un dénominateur du second degré peut avoir deux racines : on les exclut toutes les deux.

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1. 1

   On cherche où $x^2+1=0$x²+1=0, soit $x^2=-1$x²=-1 : impossible (un carré est positif).

2. 2

   Le dénominateur ne s'annule jamais : $D_f=\mathbb{R}$D_f=ℝ.

Rappel de cours : $x^2+1\ge 1>0$x²+1≥ 1>0 toujours : aucune valeur interdite, le domaine est $\mathbb{R}$ℝ.

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1. 1

   Il faut $x^2-9\ge 0$x²-9≥ 0.

   Racines $\pm 3$± 3, $a=1>0$a=1>0 : positif à l'extérieur.

2. 2

   $x^2-9\ge 0⟺x\le -3$x²-9≥ 0 ⇔ x≤ -3 ou $x\ge 3$x≥ 3.

3. 3

   $D_f=]-\infty ;-3]\cup [3;+\infty [$D_f= ]-∞;-3]∪[3;+∞[.

Rappel de cours : Domaine d'une racine de trinôme : on résout l'inéquation du second degré (expression) $\ge 0$≥ 0.

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1. 1

   Deux conditions : la racine impose $x\ge 0$x≥ 0, et le dénominateur impose $\sqrt{x}\ne 0$√x ≠ 0, soit $x\ne 0$x≠ 0.

2. 2

   En combinant : $x>0$x>0.

3. 3

   $D_f=]0;+\infty [$D_f= ]0;+∞[.

Rappel de cours : Racine AU dénominateur : on cumule $x\ge 0$x≥ 0 (racine) et $x\ne 0$x≠ 0 (division), d'où $x>0$x>0.

Erreur fréquente : Ici $0$0 est exclu : non seulement à cause de la racine, mais surtout car il annulerait le dénominateur.

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1. 1

   Il faut $(x-1)(x+3)\ge 0$(x-1)(x+3)≥ 0.

   On dresse le tableau de signes du produit.

2. 2

   $x-1$x-1 s'annule en $1$1 (négatif avant, positif après) ; $x+3$x+3 s'annule en $-3$-3 (négatif avant, positif après).

3. 3

   Produit : positif sur $]-\infty ;-3[$]-∞ ;-3[, négatif sur $]-3;1[$]-3 ;1[, positif sur $]1;+\infty [$]1 ;+∞[, nul en $-3$-3 et $1$1.

4. 4

   On garde les valeurs où le produit est positif ou nul.

Rappel de cours : Le signe d'un produit se lit dans un tableau de signes : règle des signes colonne par colonne.

Erreur fréquente : $x\ge 1$x≥ 1 seul est incomplet : pour $x\le -3$x≤ -3, les deux facteurs sont négatifs et leur produit est positif.

Correction détaillée

1. 1

   Le fond de la boîte est un carré de côté $20-2x$20-2x (on retire $x$x de chaque côté), et la hauteur est $x$x.

2. 2

   $V(x)=x(20-2x{)}^2$V(x)=x(20-2x)².

3. 3

   Contraintes concrètes : $x>0$x>0 (sinon pas de bord) et $20-2x>0⟺x<10$20-2x>0⇔ x<10 (sinon pas de fond).

Rappel de cours : Dans un problème concret, l'ensemble de définition vient aussi du contexte, pas seulement de la formule.

Erreur fréquente : La formule a un sens pour tout réel, mais une longueur négative ou un fond de côté nul n'ont pas de sens physique.

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1. 1

   Condition de la racine : $x-1\ge 0$x-1≥ 0, soit $x\ge 1$x≥ 1.

2. 2

   Condition du dénominateur : $x-4\ne 0$x-4≠ 0, soit $x\ne 4$x≠ 4.

3. 3

   On combine : $x\ge 1$x≥ 1 et $x\ne 4$x≠ 4, donc $D_f=[1;4[\cup ]4;+\infty [$D_f=[1;4[∪]4;+∞[.

Rappel de cours : Quand il y a racine ET quotient, on impose les deux conditions et on prend leur intersection.

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1. 1

   Première racine : $x+2\ge 0$x+2≥ 0, soit $x\ge -2$x≥ -2.

2. 2

   Seconde racine : $5-x\ge 0$5-x≥ 0, soit $x\le 5$x≤ 5.

3. 3

   Les deux conditions doivent être vraies en même temps : $-2\le x\le 5$-2≤ x≤ 5.

4. 4

   $D_f=[-2;5]$D_f=[-2;5].

Rappel de cours : Plusieurs racines : chaque expression sous racine doit être $\ge 0$≥ 0 ; le domaine est l'intersection (un intervalle commun).

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1. 1

   On cherche les racines du dénominateur : $x^2-3x+2=0$x²-3x+2=0.

   Somme $3$3, produit $2$2 : racines $1$1 et $2$2.

2. 2

   Le dénominateur s'annule en $1$1 et $2$2, qu'il faut exclure.

3. 3

   $D_f=\mathbb{R}\setminus \{1;2\}$D_f=ℝ\{1 ;2}.

Rappel de cours : On factorise ou on résout le dénominateur pour repérer toutes les valeurs interdites.

Correction détaillée

1. 1

   Mathématiquement, il faut $q\ne 0$q≠ 0 : $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$D=ℝ\{0}.

2. 2

   Dans le contexte, $q$q est un nombre d'objets, donc $q>0$q>0 (on produit au moins un objet).

3. 3

   L'ensemble de définition contextuel est $]0;+\infty [$]0;+∞[.

Rappel de cours : Le contexte (longueur, quantité, durée…) restreint souvent le domaine aux valeurs positives ou réalistes.

Correction détaillée

1. 1

   $f$f : il faut à la fois $x\ge 0$x≥ 0 et $x-2\ge 0$x-2≥ 0, soit $x\ge 2$x≥ 2.

   ${\mathcal{D}}_f=[2;+\infty [$D _f=[2 ;+∞[.

2. 2

   $g$g : il faut $x(x-2)\ge 0$x(x-2)≥ 0.

   Tableau de signes : produit positif ou nul pour $x\le 0$x≤ 0 ou $x\ge 2$x≥ 2.

   ${\mathcal{D}}_g=]-\infty ;0]\cup [2;+\infty [$D _g= ]-∞ ;0]∪[2 ;+∞[.

3. 3

   Sur $[2;+\infty [$[2 ;+∞[, $f(x)=g(x)$f(x)=g(x) (car $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$√a √b =√(ab) pour $a,b\ge 0$a,b≥ 0).

   Mais $g(-1)=\sqrt{3}$g(-1)=sqrt3 existe alors que $f(-1)$f(-1) n'existe pas.

Rappel de cours : Deux fonctions sont égales si elles ont le même ensemble de définition et les mêmes images en tout point.

Erreur fréquente : La règle $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$√a √b =√(ab) n'est valable que pour $a\ge 0$a≥ 0 et $b\ge 0$b≥ 0.