Exercices corrigés : Ensemble de définition — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   $f$f est un polynôme : on peut calculer $f(x)$f(x) pour n'importe quel réel.

2. 2

   L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$ℝ.

Rappel de cours : Les fonctions polynômes sont définies sur $\mathbb{R}$ℝ tout entier (aucun interdit).

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1. 1

   On ne divise pas par $0$0 : il faut $x-2\ne 0$x-2≠ 0, soit $x\ne 2$x≠ 2.

2. 2

   $D_f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$D_f=ℝ\{2}.

Rappel de cours : Interdit : dénominateur nul. On exclut la (les) valeur(s) qui annule(nt) le dénominateur.

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1. 1

   On ne prend pas la racine d'un nombre négatif : il faut $x\ge 0$x≥ 0.

2. 2

   $D_f=[0;+\infty [$D_f=[0;+∞[.

Rappel de cours : Interdit : racine carrée d'un négatif. On impose (expression sous la racine) $\ge 0$≥ 0.

Correction détaillée

1. 1

   Il faut $2x-6\ne 0$2x-6≠ 0, soit $2x\ne 6$2x≠ 6, donc $x\ne 3$x≠ 3.

2. 2

   $D_f=\mathbb{R}\setminus \{3\}$D_f=ℝ\{3}.

Rappel de cours : On cherche où le dénominateur s'annule en résolvant (dénominateur) $=0$=0.

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1. 1

   Il faut $x-3\ge 0$x-3≥ 0, soit $x\ge 3$x≥ 3.

2. 2

   $D_f=[3;+\infty [$D_f=[3;+∞[.

Rappel de cours : Racine : on résout (expression sous la racine) $\ge 0$≥ 0. Ici une inéquation du premier degré.

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1. 1

   Il faut $6-2x\ge 0$6-2x≥ 0, soit $6\ge 2x$6≥ 2x, donc $x\le 3$x≤ 3.

2. 2

   $D_f=]-\infty ;3]$D_f= ]-∞;3].

Rappel de cours : En divisant par $-2$-2 (négatif), le sens de l'inégalité change : $-2x\ge -6⟺x\le 3$-2x≥ -6⇔ x≤ 3.

Erreur fréquente : Diviser par un nombre négatif inverse l'inégalité.

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1. 1

   Il faut $x^2-4\ne 0$x²-4≠ 0, soit $x^2\ne 4$x²≠ 4, donc $x\ne 2$x≠ 2 et $x\ne -2$x≠ -2.

2. 2

   $D_f=\mathbb{R}\setminus \{-2;2\}$D_f=ℝ\{-2 ;2}.

Rappel de cours : Un dénominateur du second degré peut avoir deux racines : on les exclut toutes les deux.

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1. 1

   On cherche où $x^2+1=0$x²+1=0, soit $x^2=-1$x²=-1 : impossible (un carré est positif).

2. 2

   Le dénominateur ne s'annule jamais : $D_f=\mathbb{R}$D_f=ℝ.

Rappel de cours : $x^2+1\ge 1>0$x²+1≥ 1>0 toujours : aucune valeur interdite, le domaine est $\mathbb{R}$ℝ.

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1. 1

   Il faut $x^2-9\ge 0$x²-9≥ 0.

   Racines $\pm 3$± 3, $a=1>0$a=1>0 : positif à l'extérieur.

2. 2

   $x^2-9\ge 0⟺x\le -3$x²-9≥ 0 ⇔ x≤ -3 ou $x\ge 3$x≥ 3.

3. 3

   $D_f=]-\infty ;-3]\cup [3;+\infty [$D_f= ]-∞;-3]∪[3;+∞[.

Rappel de cours : Domaine d'une racine de trinôme : on résout l'inéquation du second degré (expression) $\ge 0$≥ 0.

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1. 1

   Deux conditions : la racine impose $x\ge 0$x≥ 0, et le dénominateur impose $\sqrt{x}\ne 0$√x ≠ 0, soit $x\ne 0$x≠ 0.

2. 2

   En combinant : $x>0$x>0.

3. 3

   $D_f=]0;+\infty [$D_f= ]0;+∞[.

Rappel de cours : Racine AU dénominateur : on cumule $x\ge 0$x≥ 0 (racine) et $x\ne 0$x≠ 0 (division), d'où $x>0$x>0.

Erreur fréquente : Ici $0$0 est exclu : non seulement à cause de la racine, mais surtout car il annulerait le dénominateur.

Correction détaillée

1. 1

   Condition de la racine : $x-1\ge 0$x-1≥ 0, soit $x\ge 1$x≥ 1.

2. 2

   Condition du dénominateur : $x-4\ne 0$x-4≠ 0, soit $x\ne 4$x≠ 4.

3. 3

   On combine : $x\ge 1$x≥ 1 et $x\ne 4$x≠ 4, donc $D_f=[1;4[\cup ]4;+\infty [$D_f=[1;4[∪]4;+∞[.

Rappel de cours : Quand il y a racine ET quotient, on impose les deux conditions et on prend leur intersection.

Correction détaillée

1. 1

   Première racine : $x+2\ge 0$x+2≥ 0, soit $x\ge -2$x≥ -2.

2. 2

   Seconde racine : $5-x\ge 0$5-x≥ 0, soit $x\le 5$x≤ 5.

3. 3

   Les deux conditions doivent être vraies en même temps : $-2\le x\le 5$-2≤ x≤ 5.

4. 4

   $D_f=[-2;5]$D_f=[-2;5].

Rappel de cours : Plusieurs racines : chaque expression sous racine doit être $\ge 0$≥ 0 ; le domaine est l'intersection (un intervalle commun).

Correction détaillée

1. 1

   On cherche les racines du dénominateur : $x^2-3x+2=0$x²-3x+2=0.

   Somme $3$3, produit $2$2 : racines $1$1 et $2$2.

2. 2

   Le dénominateur s'annule en $1$1 et $2$2, qu'il faut exclure.

3. 3

   $D_f=\mathbb{R}\setminus \{1;2\}$D_f=ℝ\{1 ;2}.

Rappel de cours : On factorise ou on résout le dénominateur pour repérer toutes les valeurs interdites.

Correction détaillée

1. 1

   Mathématiquement, il faut $q\ne 0$q≠ 0 : $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$D=ℝ\{0}.

2. 2

   Dans le contexte, $q$q est un nombre d'objets, donc $q>0$q>0 (on produit au moins un objet).

3. 3

   L'ensemble de définition contextuel est $]0;+\infty [$]0;+∞[.

Rappel de cours : Le contexte (longueur, quantité, durée…) restreint souvent le domaine aux valeurs positives ou réalistes.