Exercices corrigés : Fonctions affines — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   $f(0)=3\times 0-2=-2$f(0) = 3× 0 - 2 = -2.

2. 2

   $f(1)=3\times 1-2=1$f(1) = 3× 1 - 2 = 1.

3. 3

   $f(-2)=3\times (-2)-2=-6-2=-8$f(-2) = 3×(-2) - 2 = -6-2 = -8.

Rappel de cours : Calculer une image, c'est remplacer $x$x par la valeur donnée dans $f(x)=mx+p$f(x)=mx+p.

Erreur fréquente : $3\times (-2)=-6$3×(-2)=-6 : un signe $\times$× entre un positif et un négatif donne un négatif. Soigne les parenthèses.

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1. 1

   Dans la forme $f(x)=mx+p$f(x)=mx+p, le coefficient de $x$x est $m=-2$m=-2.

2. 2

   Le terme constant est $p=5$p=5 : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Rappel de cours : Dans $f(x)=mx+p$f(x)=mx+p : $m$m = pente, $p=f(0)$p=f(0) = ordonnée à l'origine.

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1. 1

   Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe du coefficient directeur $m$m.

2. 2

   Ici $m=-4<0$m=-4 < 0, donc $f$f est décroissante sur $\mathbb{R}$ℝ.

Rappel de cours : $m>0$m>0 : croissante · $m<0$m<0 : décroissante · $m=0$m=0 : constante.

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1. 1

   $f(x)=mx+p$f(x)=mx+p.

   Comme $f(0)=p$f(0)=p, on a directement $p=3$p=3.

2. 2

   $f(2)=2m+p=7$f(2)=2m+p=7, soit $2m+3=7$2m+3=7, donc $2m=4$2m=4 et $m=2$m=2.

3. 3

   Ainsi $f(x)=2x+3$f(x)=2x+3.

Rappel de cours : $f(0)$f(0) donne toujours $p$p. Ensuite une seconde valeur permet de trouver $m$m.

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1. 1

   On utilise $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$m = (y_B - y_A)/(x_B - x_A).

2. 2

   $m=\frac{11-2}{4-1}=\frac{9}{3}=3$m = (11-2)/(4-1) = 9/3 = 3.

Rappel de cours : Coefficient directeur entre deux points : $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$m=(Δ y)/(Δ x)=(y_B-y_A)/(x_B-x_A).

Erreur fréquente : Garder le même ordre en haut et en bas : si on met $y_B-y_A$y_B-y_A au numérateur, alors $x_B-x_A$x_B-x_A au dénominateur.

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1. 1

   Le coefficient directeur a été trouvé : $m=3$m=3.

   La droite a une équation $y=3x+p$y=3x+p.

2. 2

   On utilise un point, par exemple $A(1;2)$A(1;2) : $2=3\times 1+p$2 = 3× 1 + p, donc $p=2-3=-1$p = 2-3 = -1.

3. 3

   L'équation est $y=3x-1$y=3x-1. (Vérification avec $B$B : $3\times 4-1=11$3× 4 -1 = 11. ✓)

Rappel de cours : Méthode : trouver $m$m avec les deux points, puis $p$p en injectant les coordonnées d'un point dans $y=mx+p$y=mx+p.

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1. 1

   $f(x)=0⟺2x-6=0⟺2x=6⟺x=3$f(x)=0 ⇔ 2x-6=0 ⇔ 2x=6 ⇔ x=3.

2. 2

   Graphiquement, $x=3$x=3 est l'abscisse du point où la droite croise l'axe des abscisses.

Rappel de cours : L'antécédent de $0$0 (ou « racine ») d'une fonction affine $mx+p$mx+p est $x=-\frac{p}{m}$x=-p/m.

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1. 1

   $f$f s'annule pour $-3x+6=0$-3x+6=0, soit $x=2$x=2.

2. 2

   $m=-3<0$m=-3<0 : la fonction est décroissante, donc positive avant la racine et négative après.

3. 3

   Conclusion : $f(x)>0$f(x)>0 pour $x<2$x<2, $f(x)=0$f(x)=0 en $x=2$x=2, $f(x)<0$f(x)<0 pour $x>2$x>2.

Rappel de cours : Une fonction affine change de signe en sa racine. L'ordre des signes dépend du signe de $m$m.

Erreur fréquente : Avec $m<0$m<0, c'est « $+$+ puis $-$- ». Beaucoup inversent : retenir que le signe après la racine est celui de $m$m.

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1. 1

   Au point d'intersection, les deux $y$y sont égaux : $2x-1=-x+5$2x-1 = -x+5.

2. 2

   $2x+x=5+1$2x+x = 5+1, soit $3x=6$3x=6, donc $x=2$x=2.

3. 3

   On remplace dans l'une des équations : $y=2\times 2-1=3$y = 2× 2 - 1 = 3.

Rappel de cours : Pour l'intersection, on résout $m_{1}x+p_1=m_{2}x+p_2$m₁x+p₁ = m₂x+p₂, puis on calcule $y$y.

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1. 1

   Coefficient directeur de $(AB)$(AB) : $\frac{5-1}{2-0}=\frac{4}{2}=2$(5-1)/(2-0) = 4/2 = 2.

2. 2

   Coefficient directeur de $(AC)$(AC) : $\frac{7-1}{3-0}=\frac{6}{3}=2$(7-1)/(3-0) = 6/3 = 2.

3. 3

   Les deux coefficients sont égaux et les droites passent par $A$A : les points sont alignés.

Rappel de cours : Trois points sont alignés si les coefficients directeurs entre deux couples partageant un point sont égaux.

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1. 1

   On regroupe les $x$x à gauche : $2x+x\le 5+1$2x+x ≤ 5+1, soit $3x\le 6$3x ≤ 6.

2. 2

   On divise par $3>0$3>0 (le sens de l'inégalité ne change pas) : $x\le 2$x ≤ 2.

Erreur fréquente : Le sens de l'inégalité ne change QUE si on divise (ou multiplie) par un nombre négatif. Ici on divise par $3>0$3>0 : il ne change pas.

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1. 1

   Coût A : $A(x)=5x$A(x)=5x.

   Coût B : $B(x)=3x+20$B(x)=3x+20.

2. 2

   « B plus avantageuse » signifie $B(x)<A(x)$B(x) < A(x) : $3x+20<5x$3x+20 < 5x.

3. 3

   $20<5x-3x=2x$20 < 5x-3x = 2x, donc $x>10$x > 10.

4. 4

   Comme $x$x est un nombre entier de séances, B devient plus avantageuse à partir de $11$11 séances (à $10$10 séances, les deux coûtent $50$50 €).

Rappel de cours : Comparer deux tarifs = modéliser chaque tarif par une fonction affine, puis résoudre une inéquation.

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1. 1

   Coefficient directeur (par les deux points) : $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-2-4}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2$m = (y_B-y_A)/(x_B-x_A)=(-2-4)/(2-(-1)) = (-6)/3 = -2.

2. 2

   L'ordonnée à l'origine se lit sur le graphique : la droite coupe l'axe des ordonnées en $p=2$p=2.

   On vérifie avec $A$A : $4=-2\times (-1)+p=2+p$4=-2×(-1)+p=2+p, donc $p=2$p=2.

   Ainsi $f(x)=-2x+2$f(x)=-2x+2.

3. 3

   $f(5)=-2\times 5+2=-10+2=-8$f(5) = -2× 5 + 2 = -10+2 = -8.

Rappel de cours : Sur le graphique : $m$m = pente (variation verticale pour $+1$+1 en abscisse), $p$p = ordonnée du point où la droite croise l'axe des ordonnées.

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1. 1

   Recette : $R(x)=8x$R(x)=8x.

2. 2

   L'entreprise est bénéficiaire quand $R(x)\ge C(x)$R(x) ≥ C(x) : $8x\ge 2x+120$8x ≥ 2x+120.

3. 3

   $8x-2x\ge 120$8x-2x ≥ 120, soit $6x\ge 120$6x ≥ 120, donc $x\ge 20$x ≥ 20.

4. 4

   À $x=20$x=20, recette $=160$=160 € et coût $=160$=160 € : c'est le seuil de rentabilité.

   Au-delà, il y a bénéfice.

Rappel de cours : Le seuil de rentabilité est l'abscisse où recette et coût se croisent : on résout $R(x)=C(x)$R(x)=C(x).

Correction détaillée

1. 1

   On cherche $f=mc+p$f = mc + p.

   Avec $c=0,f=32$c=0, f=32 : $p=32$p=32.

2. 2

   Avec $c=100,f=212$c=100, f=212 : $212=100m+32$212 = 100m + 32, donc $100m=180$100m = 180 et $m=1,8$m = 1,8.

   Ainsi $f=1,8c+32$f = 1,8 c + 32.

3. 3

   Température identique : on cherche $f=c$f=c, soit $c=1,8c+32$c = 1,8 c + 32, donc $-0,8c=32$-0,8 c = 32 et $c=-40$c = -40.

4. 4

   Vérification : $1,8\times (-40)+32=-72+32=-40$1,8×(-40)+32 = -72+32 = -40. ✓ $-40°C=-40°F$-40 °C = -40 °F.

Rappel de cours : Deux points suffisent pour déterminer une fonction affine. « Même valeur dans les deux échelles » se traduit par l'équation $f(c)=c$f(c)=c.