Statistiques descriptives en Seconde

Statistiques descriptives en seconde : cours complet

En seconde, tu approfondis les statistiques descriptives : tu calcules moyenne pondérée, médiane, quartiles, écart interquartile, et tu utilises des diagrammes en boîte pour visualiser une série. C'est aussi le point de départ de la statistique inférentielle.

Vocabulaire et rappels

• Série statistique : ensemble de valeurs.
• Caractère quantitatif : numérique (taille, note…).
• Caractère qualitatif : non numérique (couleur, sport).
• Effectif d'une valeur : nombre d'apparitions.

Indicateurs de position

Moyenne

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$$x̅ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n

Moyenne pondérée

$$\overline{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^p{n}_i{x}_i}{{\sum }_{i=1}^p{n}_i}$$x̅ = (Σ_i=1^(p) nᵢ xᵢ)/(Σ_i=1^(p) nᵢ)

où $n_i$nᵢ est l'effectif de la valeur $x_i$xᵢ.

Médiane

Valeur qui partage la série en deux parts égales. Méthode :

1. Trier les valeurs.
2. Si $n$n impair : médiane = valeur centrale (rang $\frac{n+1}{2}$(n+1)/2).
3. Si $n$n pair : médiane = moyenne des deux valeurs centrales.

Mode

Valeur la plus fréquente dans la série.

Quartiles et déciles

Premier quartile $Q_1$Q₁

C'est la valeur en dessous de laquelle se trouvent au moins $25\%$25% des valeurs.

Troisième quartile $Q_3$Q₃

C'est la valeur en dessous de laquelle se trouvent au moins $75\%$75% des valeurs.

Méthode pratique

Pour une série triée de $n$n valeurs :

• $Q_1$Q₁ : valeur de rang $\lceil \frac{n}{4}\rceil$⌈ n/4 ⌉ (arrondi au supérieur).
• $Q_3$Q₃ : valeur de rang $\lceil \frac{3n}{4}\rceil$⌈ 3n/4 ⌉.

Déciles

Les déciles $D_1,D_2,\dots ,D_9$D₁, D₂, …, D₉ partagent la série en 10 parts.

Indicateurs de dispersion

Étendue

$$\text{Eˊtendue}=\text{max}-\text{min}$$Étendue = max - min

Écart interquartile

$$\text{EIQ}=Q_3-Q_1$$EIQ = Q₃ - Q₁

Plus l'EIQ est petit, plus les $50\%$50% centrales des valeurs sont concentrées.

Diagramme en boîte (« boîte à moustaches »)

Structure

Les « moustaches » s'étendent du min à $Q_1$Q₁ et de $Q_3$Q₃ au max.

Utilité

• Vision rapide de la dispersion.
• Comparaison facile de plusieurs séries.

Tableau de fréquences cumulées

Fréquence cumulée croissante

Somme des fréquences depuis le début.

Utilité

Pour calculer rapidement médiane et quartiles : on cherche la valeur où la fréquence cumulée dépasse $25\%,50\%,75\%$25%, 50%, 75%.

Comparaison moyenne / médiane

Quand utiliser ?

• Données homogènes : moyenne suffit.
• Présence de valeurs extrêmes : préférer la médiane.

Représentation graphique

Diagramme en bâtons

Données discrètes (peu de valeurs distinctes).

Histogramme

Données continues ou regroupées en classes.

Diagramme circulaire

Visualiser des parts d'un tout.

Polygone des fréquences cumulées

Tracé qui aide à déterminer médiane et quartiles graphiquement.

Exemple complet

Énoncé

Notes : $5,7,8,9,10,11,12,12,13,14,15,16,17,18,20$5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20. ($n=15$n = 15)

• Moyenne : $\overline{x}=\frac{5+7+8+9+10+11+12+12+13+14+15+16+17+18+20}{15}=\frac{187}{15}\approx 12,5$x̅ = (5+7+8+9+10+11+12+12+13+14+15+16+17+18+20)/15 = 187/15 ≈ 12,5.
• Médiane : valeur de rang $8$8 → $12$12.
• $Q_1$Q₁ : rang $\lceil 15/4\rceil =4$⌈ 15/4 ⌉ = 4 → $9$9.
• $Q_3$Q₃ : rang $\lceil 45/4\rceil =12$⌈ 45/4 ⌉ = 12 → $16$16.
• EIQ : $16-9=7$16 - 9 = 7.
• Étendue : $20-5=15$20 - 5 = 15.

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier de trier avant de calculer la médiane et les quartiles.
• Oublier la pondération dans la moyenne.
• Confondre $Q_1$Q₁ et la première valeur : $Q_1$Q₁ n'est pas le minimum.
• Mauvaise lecture du diagramme en boîte.

FAQ — Les statistiques descriptives en seconde

Pourquoi calculer plusieurs indicateurs ?

Un seul indicateur ne suffit pas à décrire une série. Moyenne + médiane + dispersion donnent une image complète.

Comment comparer deux séries ?

Avec des diagrammes en boîte côte à côte : on voit immédiatement les positions et les dispersions.

Quelle est la différence entre étendue et écart-type ?

L'étendue est juste max - min. L'écart-type (vu plus tard) mesure la dispersion autour de la moyenne.

À quoi servent les statistiques ?

À résumer des données, à détecter des tendances, à comparer des groupes, à estimer des grandeurs (sondages, qualité, médecine).