Probabilités (introduction) en Seconde

Probabilités (introduction) en seconde : cours complet

En seconde, tu formalises la notion de probabilité vue au collège. Tu manipules univers, événements, probabilité d'un événement, et tu calcules avec les réunions et intersections d'événements. C'est la base solide pour les Premières et Terminales.

Vocabulaire

Expérience aléatoire et univers

• Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
• L'univers $\Omega$Ω est l'ensemble des issues possibles.

Exemples

• Lancer un dé : $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Tirer une carte : $\Omega$Ω a $52$52 éléments.

Événements

Un événement $A$A est un sous-ensemble de $\Omega$Ω.

• L'événement impossible $\varnothing$emptyset : aucune issue.
• L'événement certain $\Omega$Ω : toutes les issues.
• L'événement contraire $\bar{A}$barA : les issues qui ne sont pas dans $A$A.

Probabilité d'un événement

Définition

Une loi de probabilité sur $\Omega$Ω associe à chaque issue $\omega$ω un nombre $p(\omega )\ge 0$p(ω) ≥ 0, tel que la somme de toutes les probabilités vaut $1$1.

$$\sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1$$Σ_ω ∈ Ω p(ω) = 1

Probabilité d'un événement

$$P(A)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )$$P(A) = Σ_ω ∈ A p(ω)

Équiprobabilité

Si toutes les issues sont équiprobables (probabilité $\frac{1}{|\Omega |}$1/|Ω| chacune) :

$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{\text{issues favorables}}{\text{issues totales}}$$P(A) = |A|/|Ω| = (issues favorables)/(issues totales)

Propriétés des probabilités

Encadrement

$$0\le P(A)\le 1$$0 ≤ P(A) ≤ 1

Probabilité de l'événement contraire

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$P(barA) = 1 - P(A)

Événement impossible et certain

$$P(\varnothing )=0P(\Omega )=1$$P(emptyset) = 0 P(Ω) = 1

Réunion et intersection d'événements

Notations

• $A\cup B$A ∪ B : « $A$A ou $B$B » (au moins l'un des deux).
• $A\cap B$A ∩ B : « $A$A et $B$B » (les deux).

Formule fondamentale

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles si $A\cap B=\varnothing$A ∩ B = emptyset (ils ne peuvent pas se produire en même temps). Dans ce cas :

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Exemple

Dans un jeu de $52$52 cartes :

• $A$A = « tirer un cœur » : $P(A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$P(A) = 13/52 = 1/4.
• $B$B = « tirer un as » : $P(B)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$P(B) = 4/52 = 1/13.
• $A\cap B$A ∩ B = « tirer l'as de cœur » : $P(A\cap B)=\frac{1}{52}$P(A ∩ B) = 1/52.
• $A\cup B$A ∪ B = « tirer un cœur ou un as » : $P(A\cup B)=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$P(A ∪ B) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13.

Tableau d'effectifs croisés

Quand on étudie deux caractères dans une population :

Calcul d'une probabilité

On choisit au hasard une personne. Probabilité qu'elle soit dans la case « A et X » :

$$P(A\cap X)=\frac{a}{N}$$P(A ∩ X) = a/N

Loi des grands nombres (intuitivement)

Si on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité théorique.

Conséquence pratique

On peut estimer une probabilité par la fréquence observée sur un grand nombre d'essais.

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier le terme $-P(A\cap B)$-P(A ∩ B) dans la formule de la réunion (sauf si incompatibles).
• Croire que les expériences successives s'influencent : les lancers de dé sont indépendants.
• Probabilité > 1 ou < 0 : impossible, c'est forcément une erreur.
• Confondre événement et issue : l'issue est un résultat précis, l'événement un ensemble d'issues.

FAQ — Les probabilités en seconde

Quelle est la différence entre probabilité et fréquence ?

La probabilité est théorique (calculée par le modèle). La fréquence est observée lors d'expériences réelles. Elles se rapprochent par la loi des grands nombres.

Pourquoi soustraire $P(A\cap B)$P(A ∩ B) ?

Pour ne pas compter deux fois les issues qui sont dans $A$A et dans $B$B. Si on ajoute simplement $P(A)+P(B)$P(A) + P(B), on les compte deux fois.

Comment savoir si deux événements sont incompatibles ?

S'ils ne peuvent pas se produire ensemble : $A\cap B=\varnothing$A ∩ B = emptyset.

À quoi sert la probabilité dans la vie ?

À prendre des décisions sous incertitude : météo, assurance, médecine, jeux, sondages, intelligence artificielle.