Exercices corrigés : Image et antécédent — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   L'image de $4$4 est $f(4)=2\times 4-3=8-3=5$f(4)=2× 4-3=8-3=5.

Rappel de cours : Image de $a$a : on calcule $f(a)$f(a) en remplaçant $x$x par $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   $f(-3)=(-3{)}^2+1=9+1=10$f(-3)=(-3)²+1=9+1=10.

Rappel de cours : $(-3{)}^2=9$(-3)²=9. Les parenthèses évitent l'erreur de signe.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $f(x)=5$f(x)=5 : $2x-3=5$2x-3=5, donc $2x=8$2x=8 et $x=4$x=4.

Rappel de cours : Antécédent de $k$k : on résout $f(x)=k$f(x)=k.

Correction détaillée

1. 1

   $f\left(\frac{1}{3}\right)=3\times \frac{1}{9}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0$f (1/3)=3×1/9-1/3=1/3-1/3=0.

2. 2

   $f\left(-\frac{1}{2}\right)=3\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$f (-1/2)=3×1/4-(-1/2)=3/4+1/2=5/4.

Rappel de cours : Le carré porte sur toute la fraction : ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$(1/3)²=1/9, puis on multiplie par $3$3.

Erreur fréquente : $3x^2\ne (3x{)}^2$3x²≠(3x)² : avec $x=\frac{1}{3}$x=1/3, $3x^2=\frac{1}{3}$3x²=1/3 alors que $(3x{)}^2=1$(3x)²=1.

Correction détaillée

1. 1

   $f(2)=\frac{6}{2}=3$f(2)=6/2=3.

2. 2

   $f(-3)=\frac{6}{-3}=-2$f(-3)=6/(-3)=-2.

Rappel de cours : On remplace $x$x au dénominateur (qui doit être non nul).

Correction détaillée

1. 1

   On résout $\frac{6}{x}=2$6/x=2.

   En multipliant par $x$x : $6=2x$6=2x, donc $x=3$x=3.

Rappel de cours : On résout l'équation $f(x)=k$f(x)=k en multipliant par le dénominateur.

Correction détaillée

1. 1

   Pour l'image de $-1$-1 : on part de $-1$-1 sur l'axe des abscisses, on rejoint la courbe, on lit l'ordonnée : $f(-1)=2$f(-1)=2.

2. 2

   Pour l'image de $2$2 : de même, $f(2)=2,5$f(2)=2,5.

Rappel de cours : Lire une image : monter (ou descendre) verticalement depuis l'axe des $x$x jusqu'à la courbe, puis lire sur l'axe des $y$y.

Correction détaillée

1. 1

   Image de $3$3 : on lit la colonne $x=3$x=3, $f(3)=4$f(3)=4.

2. 2

   Antécédents de $0$0 dans le tableau : les colonnes où $f(x)=0$f(x)=0, soit $x=-1$x=-1 et $x=2$x=2.

3. 3

   Un tableau ne montre que quelques valeurs.

   Pour être sûr, on résout $x^2-x-2=0$x²-x-2=0.

   Or $(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$(x+1)(x-2)=x²-2x+x-2=x²-x-2, donc l'équation équivaut à $(x+1)(x-2)=0$(x+1)(x-2)=0 : $x=-1$x=-1 ou $x=2$x=2.

   Le tableau les donnait bien tous.

Rappel de cours : Un nombre a une seule image, mais peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=9⟺(x-2{)}^2=9⟺x-2=3$f(x)=9⇔(x-2)²=9⇔ x-2=3 ou $x-2=-3$x-2=-3, donc $x=5$x=5 ou $x=-1$x=-1.

2. 2

   $f(x)=0⟺(x-2{)}^2=0⟺x=2$f(x)=0⇔(x-2)²=0⇔ x=2 : un seul antécédent.

3. 3

   $f(x)=-1$f(x)=-1 : impossible, un carré n'est jamais négatif.

   $-1$-1 n'a pas d'antécédent.

Rappel de cours : $X^2=k$X²=k avec $k>0$k>0 donne $X=\sqrt{k}$X= √k ou $X=-\sqrt{k}$X=- √k.

Erreur fréquente : Oublier la solution $x-2=-3$x-2=-3 : on ne trouverait que $5$5.

Correction détaillée

1. 1

   Pour trouver les antécédents de $3$3, on part de $3$3 sur l'axe des ordonnées et on regarde où la droite horizontale $y=3$y=3 coupe la courbe.

2. 2

   Elle coupe en deux points, d'abscisses $-2$-2 et $2$2 : ce sont les antécédents de $3$3.

Rappel de cours : Lire un antécédent : partir de la valeur sur l'axe des $y$y, tracer une horizontale, lire les abscisses des intersections.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $x^2-4=0$x²-4=0, soit $x^2=4$x²=4.

2. 2

   $x=\pm 2$x=± 2 : deux antécédents, $-2$-2 et $2$2.

Rappel de cours : Une équation $x^2=k$x²=k ($k>0$k>0) a deux solutions : on n'oublie pas la négative.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $f(x)=0$f(x)=0, soit $x^2+1=0$x²+1=0, donc $x^2=-1$x²=-1.

2. 2

   Un carré ne peut pas être négatif : l'équation n'a pas de solution.

3. 3

   Donc $0$0 n'a aucun antécédent par $f$f.

Rappel de cours : Tous les nombres n'ont pas forcément d'antécédent : cela dépend des valeurs prises par $f$f.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $x(x-3)=0$x(x-3)=0.

   Un produit est nul si l'un des facteurs l'est.

2. 2

   $x=0$x=0 ou $x-3=0$x-3=0, donc $x=0$x=0 ou $x=3$x=3.

Rappel de cours : Équation produit : $A\times B=0⟺A=0$A× B=0⇔ A=0 ou $B=0$B=0.

Correction détaillée

1. 1

   1) $P(0,5)=3$P(0,5)=3 et $P(1)=3$P(1)=3 (forfait).

   $P(4)=3+1,5\times 3=7,5$P(4)=3+1,5× 3=7,5 €.

2. 2

   2) $9>3$9>3 : on est au-delà d'une heure.

   $3+1,5(t-1)=9⟺1,5(t-1)=6⟺t-1=4⟺t=5$3+1,5(t-1)=9⇔ 1,5(t-1)=6⇔ t-1=4⇔ t=5.

   Pour $9$9 €, on stationne $5$5 heures.

3. 3

   3) Le prix minimum est $3$3 € : $P(t)=2$P(t)=2 n'a pas de solution, $2$2 n'a pas d'antécédent.

Rappel de cours : Pour une fonction définie par morceaux, on choisit la bonne formule selon l'intervalle où se trouve $x$x.

Erreur fréquente : Croire qu'un nombre n'a qu'un antécédent : ici, tous les nombres de $]0;1]$]0 ;1] sont des antécédents de $3$3.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=3⟺\frac{2x+1}{x-3}=3$f(x)=3⇔(2x+1)/(x-3)=3.

   Pour $x\ne 3$x≠ 3, on multiplie par $x-3$x-3 : $2x+1=3x-9$2x+1=3x-9, donc $x=10$x=10.

   Comme $10\ne 3$10≠ 3, c'est bien l'antécédent.

2. 2

   Vérification : $f(10)=\frac{21}{7}=3$f(10)=21/7=3.

3. 3

   $f(x)=2⟺2x+1=2(x-3)=2x-6⟺1=-6$f(x)=2⇔ 2x+1=2(x-3)=2x-6⇔ 1=-6 : impossible.

   $2$2 n'a pas d'antécédent.

Rappel de cours : Avant de multiplier par le dénominateur, on note la valeur interdite, puis on vérifie que la solution trouvée n'est pas interdite.

Correction détaillée

1. 1

   Image de $-3$-3 : $f(-3)=2\times (-3)+5=-6+5=-1$f(-3)=2×(-3)+5=-6+5=-1.

2. 2

   Antécédent de $-3$-3 : on résout $2x+5=-3$2x+5=-3, soit $2x=-8$2x=-8, donc $x=-4$x=-4.

Rappel de cours : Image et antécédent sont des opérations « inverses » : l'une remplace, l'autre résout. Ne pas les confondre.

Erreur fréquente : « Image de $-3$-3 » $\ne$≠ « antécédent de $-3$-3 » : la question précise dans quel sens on travaille.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $x^2-2x-3=0$x²-2x-3=0.

   On cherche deux nombres de somme $2$2 et produit $-3$-3 : $3$3 et $-1$-1.

2. 2

   Donc $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$x²-2x-3=(x-3)(x+1)=0, d'où $x=3$x=3 ou $x=-1$x=-1.

Rappel de cours : Chercher les antécédents de $0$0, c'est résoudre $f(x)=0$f(x)=0 : on factorise ou on utilise les racines.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $x^2=5$x²=5.

2. 2

   $x=\pm \sqrt{5}$x=± √5 : deux antécédents, $-\sqrt{5}$- √5 et $\sqrt{5}$√5.

Rappel de cours : $x^2=k$x²=k ($k>0$k>0) donne $x=\pm \sqrt{k}$x=± √k. La réponse peut contenir une racine carrée.

Correction détaillée

1. 1

   $T(1)=-1+4+15=18$T(1)=-1+4+15=18 : il fait $18$18 °C à $h=1$h=1.

2. 2

   On cherche les antécédents de $15$15 : $-h^2+4h+15=15$-h²+4h+15=15, soit $-h^2+4h=0$-h²+4h=0, donc $-h(h-4)=0$-h(h-4)=0.

3. 3

   $h=0$h=0 ou $h=4$h=4 : il fait $15$15 °C à $h=0$h=0 et $h=4$h=4.

Rappel de cours : « Quelle valeur à tel instant » = image ; « à quel instant telle valeur » = antécédent (équation à résoudre).

Correction détaillée

1. 1

   1) $(x-3{)}^2-9=x^2-6x+9-9=x^2-6x=f(x)$(x-3)²-9=x²-6x+9-9=x²-6x=f(x).

2. 2

   2) $f(x)=-9⟺(x-3{)}^2=0⟺x=3$f(x)=-9⇔(x-3)²=0⇔ x=3 (un seul antécédent).

3. 3

   $f(x)=-10⟺(x-3{)}^2=-1$f(x)=-10⇔(x-3)²=-1 : impossible, pas d'antécédent.

4. 4

   $f(x)=7⟺(x-3{)}^2=16⟺x-3=4$f(x)=7⇔(x-3)²=16⇔ x-3=4 ou $x-3=-4⟺x=7$x-3=-4⇔ x=7 ou $x=-1$x=-1.

5. 5

   3) $f(x)=k⟺(x-3{)}^2=k+9$f(x)=k⇔(x-3)²=k+9.

   Si $k<-9$k<-9, aucun antécédent ; si $k=-9$k=-9, un seul ($3$3) ; si $k>-9$k>-9, deux : $3-\sqrt{k+9}$3-√(k+9) et $3+\sqrt{k+9}$3+√(k+9).

Rappel de cours : La forme $(x-a{)}^2+b$(x-a)²+b montre le minimum $b$b de la fonction : les valeurs inférieures à $b$b n'ont aucun antécédent.