Exercices corrigés : Image et antécédent — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   L'image de $4$4 est $f(4)=2\times 4-3=8-3=5$f(4)=2× 4-3=8-3=5.

Rappel de cours : Image de $a$a : on calcule $f(a)$f(a) en remplaçant $x$x par $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   $f(-3)=(-3{)}^2+1=9+1=10$f(-3)=(-3)²+1=9+1=10.

Rappel de cours : $(-3{)}^2=9$(-3)²=9. Les parenthèses évitent l'erreur de signe.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $f(x)=5$f(x)=5 : $2x-3=5$2x-3=5, donc $2x=8$2x=8 et $x=4$x=4.

Rappel de cours : Antécédent de $k$k : on résout $f(x)=k$f(x)=k.

Correction détaillée

1. 1

   $f(2)=\frac{6}{2}=3$f(2)=6/2=3.

2. 2

   $f(-3)=\frac{6}{-3}=-2$f(-3)=6/(-3)=-2.

Rappel de cours : On remplace $x$x au dénominateur (qui doit être non nul).

Correction détaillée

1. 1

   On résout $\frac{6}{x}=2$6/x=2.

   En multipliant par $x$x : $6=2x$6=2x, donc $x=3$x=3.

Rappel de cours : On résout l'équation $f(x)=k$f(x)=k en multipliant par le dénominateur.

Correction détaillée

1. 1

   Pour l'image de $-1$-1 : on part de $-1$-1 sur l'axe des abscisses, on rejoint la courbe, on lit l'ordonnée : $f(-1)=2$f(-1)=2.

2. 2

   Pour l'image de $2$2 : de même, $f(2)=2,5$f(2)=2,5.

Rappel de cours : Lire une image : monter (ou descendre) verticalement depuis l'axe des $x$x jusqu'à la courbe, puis lire sur l'axe des $y$y.

Correction détaillée

1. 1

   Pour trouver les antécédents de $3$3, on part de $3$3 sur l'axe des ordonnées et on regarde où la droite horizontale $y=3$y=3 coupe la courbe.

2. 2

   Elle coupe en deux points, d'abscisses $-2$-2 et $2$2 : ce sont les antécédents de $3$3.

Rappel de cours : Lire un antécédent : partir de la valeur sur l'axe des $y$y, tracer une horizontale, lire les abscisses des intersections.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $x^2-4=0$x²-4=0, soit $x^2=4$x²=4.

2. 2

   $x=\pm 2$x=± 2 : deux antécédents, $-2$-2 et $2$2.

Rappel de cours : Une équation $x^2=k$x²=k ($k>0$k>0) a deux solutions : on n'oublie pas la négative.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $f(x)=0$f(x)=0, soit $x^2+1=0$x²+1=0, donc $x^2=-1$x²=-1.

2. 2

   Un carré ne peut pas être négatif : l'équation n'a pas de solution.

3. 3

   Donc $0$0 n'a aucun antécédent par $f$f.

Rappel de cours : Tous les nombres n'ont pas forcément d'antécédent : cela dépend des valeurs prises par $f$f.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $x(x-3)=0$x(x-3)=0.

   Un produit est nul si l'un des facteurs l'est.

2. 2

   $x=0$x=0 ou $x-3=0$x-3=0, donc $x=0$x=0 ou $x=3$x=3.

Rappel de cours : Équation produit : $A\times B=0⟺A=0$A× B=0⇔ A=0 ou $B=0$B=0.

Correction détaillée

1. 1

   Image de $-3$-3 : $f(-3)=2\times (-3)+5=-6+5=-1$f(-3)=2×(-3)+5=-6+5=-1.

2. 2

   Antécédent de $-3$-3 : on résout $2x+5=-3$2x+5=-3, soit $2x=-8$2x=-8, donc $x=-4$x=-4.

Rappel de cours : Image et antécédent sont des opérations « inverses » : l'une remplace, l'autre résout. Ne pas les confondre.

Erreur fréquente : « Image de $-3$-3 » $\ne$≠ « antécédent de $-3$-3 » : la question précise dans quel sens on travaille.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $x^2-2x-3=0$x²-2x-3=0.

   On cherche deux nombres de somme $2$2 et produit $-3$-3 : $3$3 et $-1$-1.

2. 2

   Donc $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$x²-2x-3=(x-3)(x+1)=0, d'où $x=3$x=3 ou $x=-1$x=-1.

Rappel de cours : Chercher les antécédents de $0$0, c'est résoudre $f(x)=0$f(x)=0 : on factorise ou on utilise les racines.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $x^2=5$x²=5.

2. 2

   $x=\pm \sqrt{5}$x=± √5 : deux antécédents, $-\sqrt{5}$- √5 et $\sqrt{5}$√5.

Rappel de cours : $x^2=k$x²=k ($k>0$k>0) donne $x=\pm \sqrt{k}$x=± √k. La réponse peut contenir une racine carrée.

Correction détaillée

1. 1

   $T(1)=-1+4+15=18$T(1)=-1+4+15=18 : il fait $18$18 °C à $h=1$h=1.

2. 2

   On cherche les antécédents de $15$15 : $-h^2+4h+15=15$-h²+4h+15=15, soit $-h^2+4h=0$-h²+4h=0, donc $-h(h-4)=0$-h(h-4)=0.

3. 3

   $h=0$h=0 ou $h=4$h=4 : il fait $15$15 °C à $h=0$h=0 et $h=4$h=4.

Rappel de cours : « Quelle valeur à tel instant » = image ; « à quel instant telle valeur » = antécédent (équation à résoudre).