Échantillonnage et fluctuation en Seconde

Échantillonnage et fluctuation en seconde : cours complet

L'échantillonnage consiste à étudier une partie d'une population pour en déduire des informations sur l'ensemble. La fluctuation d'échantillonnage est le constat que des échantillons différents donnent des résultats différents. C'est la base de la statistique inférentielle.

Vocabulaire

Population et échantillon

• La population est l'ensemble étudié (souvent très grand).
• Un échantillon est un sous-ensemble de la population.
• La taille $n$n de l'échantillon est le nombre d'individus.

Pourquoi un échantillon ?

Il est souvent impossible ou trop coûteux d'étudier toute la population. On en prend une partie et on généralise les résultats.

Fluctuation d'échantillonnage

Constat

Si l'on tire plusieurs échantillons de même taille dans une population, la fréquence observée d'un caractère varie d'un échantillon à l'autre.

Exemple

Dans un sondage sur les intentions de vote, deux échantillons de $1000$1000 personnes peuvent donner $52\%$52% et $48\%$48% pour le même candidat. C'est la fluctuation d'échantillonnage.

Conséquence

On ne peut pas savoir la fréquence exacte dans la population à partir d'un seul échantillon.

Loi des grands nombres

Énoncé

Plus la taille $n$n de l'échantillon est grande, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique (ou de la proportion dans la population).

Conséquence pratique

Pour estimer une proportion avec précision, il faut un grand échantillon.

Simulation d'une expérience aléatoire

On peut simuler une expérience avec :

• Une calculatrice : touche rand() ou randInt(1,6) pour un dé.
• Un tableur : =ALEA() ou =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6).
• Un programme en Python ou Scratch.

Intérêt

• Comparer les résultats observés à la théorie.
• Estimer une probabilité difficile à calculer directement.

Intervalle de fluctuation

Définition (approximation simple)

Si une population a une proportion $p$p d'un caractère, alors la fréquence observée dans un échantillon de taille $n$n « grand » se trouve dans l'intervalle :

$$\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$[ p - 1/√(n) ; p + 1/√(n) ]

avec une probabilité d'environ $95\%$95%.

Conditions de validité

• $n\ge 25$n ≥ 25
• $0,2\le p\le 0,8$0,2 ≤ p ≤ 0,8

Exemple

Une population a $40\%$40% de fumeurs. Pour un échantillon de $100$100 personnes :

$$\left[0,4-\frac{1}{10};0,4+\frac{1}{10}\right]=[0,3;0,5]$$[ 0,4 - 1/10 ; 0,4 + 1/10 ] = [0,3 ; 0,5]

→ La fréquence observée sera entre $30\%$30% et $50\%$50% dans environ $95\%$95% des cas.

Prise de décision

Utilisation de l'intervalle de fluctuation

Si l'on suspecte que la proportion dans la population vaut $p$p et qu'on observe une fréquence $f$f dans un échantillon, on compare :

• Si $f\in$f ∈ intervalle de fluctuation → on accepte l'hypothèse.
• Sinon → on rejette l'hypothèse.

Exemple

Hypothèse : la proportion de pièces défectueuses est $5\%$5%. Sur $400$400 pièces, on en trouve $30$30 défectueuses ($f=0,075=7,5\%$f = 0,075 = 7,5%). L'intervalle de fluctuation est :

$$[0,05-0,05;0,05+0,05]=[0;0,1]$$[0,05 - 0,05 ; 0,05 + 0,05] = [0 ; 0,1]

$f=0,075\in [0;0,1]$f = 0,075 ∈ [0 ; 0,1], on ne rejette pas l'hypothèse.

Méthode de Monte-Carlo

C'est une technique de simulation :

1. Reproduire l'expérience un grand nombre de fois.
2. Compter les issues favorables.
3. Estimer la probabilité par la fréquence obtenue.

Exemple

Estimer $\pi$π en simulant des tirs sur un carré contenant un disque inscrit : le ratio des tirs dans le disque par rapport au total se rapproche de $\frac{\pi }{4}$π/4.

Erreurs fréquentes à éviter

• Conclure à partir d'un petit échantillon : peu fiable.
• Croire que la fluctuation disparaît avec un grand échantillon : elle diminue mais ne disparaît jamais.
• Confondre proportion et probabilité : la proportion est dans la population, la probabilité est théorique.
• Mauvaise lecture de l'intervalle de fluctuation.

FAQ — Échantillonnage et fluctuation en seconde

Pourquoi un sondage avec $1000$1000 personnes peut-il prédire le vote ?

Parce que la fluctuation d'échantillonnage est petite sur des grands échantillons. À $1000$1000, l'erreur est environ $\frac{1}{\sqrt{1000}}\approx 3\%$1/√(1000) ≈ 3%.

Pourquoi simuler une expérience ?

Pour estimer une probabilité sans avoir à la calculer théoriquement, et pour visualiser la loi des grands nombres.

Comment choisir un bon échantillon ?

Il doit être représentatif de la population (sans biais), suffisamment grand pour limiter la fluctuation.

Que signifie « intervalle de fluctuation à $95\%$95% » ?

Cela signifie que dans $95\%$95% des échantillons de taille $n$n, la fréquence observée sera dans cet intervalle.