Exercices corrigés : Variables aléatoires — Terminale spécialité

Correction détaillée

1. 1

   La somme des probabilités d'une loi vaut toujours $1$1.

2. 2

   $0,2+0,5+p=1$0,2+0,5+p=1, donc $p=1-0,7=0,3$p=1-0,7=0,3.

Rappel de cours : Dans une loi de probabilité, ${\sum }_{i}P(X=x_i)=1$Σᵢ P(X=xᵢ)=1 et chaque probabilité est entre $0$0 et $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)={\sum }_i{x}_{i}P(X=x_i)=1\times 0,2+2\times 0,5+3\times 0,3$E(X)=Σᵢ xᵢ P(X=xᵢ)=1× 0,2+2× 0,5+3× 0,3.

2. 2

   $=0,2+1,0+0,9=2,1$=0,2+1,0+0,9=2,1.

Rappel de cours : Espérance : $E(X)={\sum }_i{x}_i{p}_i$E(X)=Σᵢ xᵢ pᵢ. C'est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités.

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1. 1

   $E(X)=5\times 0,3+(-2)\times 0,7=1,5-1,4=0,1$E(X)=5× 0,3+(-2)× 0,7=1,5-1,4=0,1.

2. 2

   $E(X)=0,1>0$E(X)=0,1>0 : en moyenne le joueur gagne $0,10$0,10 € par partie, le jeu lui est favorable.

Rappel de cours : $E(X)>0$E(X)>0 : favorable au joueur. $E(X)=0$E(X)=0 : jeu équitable. $E(X)<0$E(X)<0 : défavorable.

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1. 1

   Les issues équiprobables sont PP, PF, FP, FF (chacune $\frac{1}{4}$1/4).

2. 2

   $X=0$X=0 (FF) : $P(X=0)=\frac{1}{4}$P(X=0)=1/4.

   $X=1$X=1 (PF ou FP) : $P(X=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$P(X=1)=2/4=1/2.

   $X=2$X=2 (PP) : $P(X=2)=\frac{1}{4}$P(X=2)=1/4.

3. 3

   Vérification : $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1$1/4+1/2+1/4=1. ✓

Rappel de cours : Pour construire une loi : lister les issues, compter les cas favorables à chaque valeur, diviser par le nombre total d'issues.

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1. 1

   $E(X)=0\times \frac{1}{4}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{4}=0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$E(X)=0×1/4+1×1/2+2×1/4=0+1/2+1/2=1.

Rappel de cours : On retrouve $E(X)=np=2\times 0,5=1$E(X)=np=2× 0,5=1 (loi binomiale $\mathcal{B}(2;0,5)$B (2;0,5)).

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1. 1

   $V(X)={\sum }_i(x_i-E(X){)}^2{p}_i$V(X)=Σᵢ (xᵢ-E(X))²pᵢ.

2. 2

   $=0,2(1-2,1{)}^2+0,5(2-2,1{)}^2+0,3(3-2,1{)}^2$=0,2(1-2,1)²+0,5(2-2,1)²+0,3(3-2,1)².

3. 3

   $=0,2\times 1,21+0,5\times 0,01+0,3\times 0,81=0,242+0,005+0,243=0,49$=0,2× 1,21+0,5× 0,01+0,3× 0,81=0,242+0,005+0,243=0,49.

Rappel de cours : Variance (définition) : $V(X)={\sum }_i(x_i-E(X){)}^2{p}_i$V(X)=Σᵢ (xᵢ-E(X))²pᵢ, moyenne des carrés des écarts à l'espérance.

Correction détaillée

1. 1

   Formule : $V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$V(X)=E(X²)-(E(X))².

2. 2

   $E(X^2)=1^2\times 0,2+2^2\times 0,5+3^2\times 0,3=0,2+2,0+2,7=4,9$E(X²)=1²× 0,2+2²× 0,5+3²× 0,3=0,2+2,0+2,7=4,9.

3. 3

   $V(X)=4,9-2,1^2=4,9-4,41=0,49$V(X)=4,9-2,1²=4,9-4,41=0,49 (cohérent avec la définition).

Rappel de cours : König-Huygens : $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$V(X)=E(X²)-E(X)², souvent plus rapide. Attention : $E(X^2)=\sum x_i^2{p}_i$E(X²)=Σ xᵢ²pᵢ, pas $E(X{)}^2$E(X)².

Erreur fréquente : Ne pas confondre $E(X^2)$E(X²) (carrés des valeurs) et $E(X{)}^2$E(X)² (carré de l'espérance) : leur différence EST la variance.

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1. 1

   $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{0,49}=0,7$σ(X)=√(V(X))=√(0,49)=0,7.

Rappel de cours : L'écart-type $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$σ(X)=√(V(X)) s'exprime dans la même unité que $X$X : plus parlant que la variance.

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1. 1

   Linéarité de l'espérance : $E(2X+3)=2E(X)+3=2\times 2,1+3=7,2$E(2X+3)=2E(X)+3=2× 2,1+3=7,2.

2. 2

   Variance : $V(2X+3)=2^{2}V(X)=4\times 0,49=1,96$V(2X+3)=2²V(X)=4× 0,49=1,96 (la constante $+3$+3 disparaît).

Rappel de cours : $E(aX+b)=aE(X)+b$E(aX+b)=aE(X)+b ; $V(aX+b)=a^{2}V(X)$V(aX+b)=a²V(X) (la constante $b$b ne change pas la dispersion).

Erreur fréquente : Pour la variance, le $+b$+b disparaît et le coefficient passe au carré : $V(2X+3)=4V(X)$V(2X+3)=4V(X), pas $2V(X)+3$2V(X)+3.

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1. 1

   Gain net : si on gagne, $10-3=7$10-3=7 € (proba $0,25$0,25) ; sinon $0-3=-3$0-3=-3 € (proba $0,75$0,75).

2. 2

   $E(G)=7\times 0,25+(-3)\times 0,75=1,75-2,25=-0,5$E(G)=7× 0,25+(-3)× 0,75=1,75-2,25=-0,5.

3. 3

   $E(G)<0$E(G)<0 : en moyenne le joueur perd $0,50$0,50 € par partie.

Rappel de cours : Le gain net retranche la mise à chaque issue. Un $E(G)<0$E(G)<0 signifie que le jeu profite à l'organisateur.

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1. 1

   Gain net : $8-m$8-m avec proba $0,3$0,3, et $-m$-m avec proba $0,7$0,7.

2. 2

   $E(G)=(8-m)\times 0,3+(-m)\times 0,7=2,4-0,3m-0,7m=2,4-m$E(G)=(8-m)× 0,3+(-m)× 0,7=2,4-0,3m-0,7m=2,4-m.

3. 3

   Jeu équitable : $E(G)=0$E(G)=0, donc $2,4-m=0$2,4-m=0, soit $m=2,4$m=2,4 €.

Rappel de cours : Jeu équitable $⟺E(\text{gain net})=0⟺\text{mise}=E(\text{gain brut})$⇔ E( gain net )=0 ⇔ mise =E( gain brut ).

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1. 1

   Somme $=1$=1 : $0,5+a+0,2=1$0,5+a+0,2=1, donc $a=0,3$a=0,3.

2. 2

   $E(X)=0\times 0,5+1\times 0,3+2\times 0,2=0+0,3+0,4=0,7$E(X)=0× 0,5+1× 0,3+2× 0,2=0+0,3+0,4=0,7.

3. 3

   $E(X^2)=0\times 0,5+1\times 0,3+4\times 0,2=0,3+0,8=1,1$E(X²)=0× 0,5+1× 0,3+4× 0,2=0,3+0,8=1,1.

   $V(X)=1,1-0,7^2=1,1-0,49=0,61$V(X)=1,1-0,7²=1,1-0,49=0,61.

Rappel de cours : On trouve d'abord le paramètre par $\sum p_i=1$Σ pᵢ=1, puis on applique $E(X)=\sum x_i{p}_i$E(X)=Σ xᵢpᵢ et König-Huygens.

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1. 1

   Par linéarité de l'espérance, $E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)$E(X₁+X₂)=E(X₁)+E(X₂) (vrai même sans indépendance).

2. 2

   $E(S)=1,5+1,5=3$E(S)=1,5+1,5=3.

Rappel de cours : L'espérance est linéaire : $E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)$E(X₁+X₂)=E(X₁)+E(X₂), toujours. (Pour la variance, l'égalité $V(X_1+X_2)=V(X_1)+V(X_2)$V(X₁+X₂)=V(X₁)+V(X₂) exige l'indépendance.)

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1. 1

   Sans sinistre (proba $0,95$0,95) : l'assureur garde la prime, $B=120$B=120.

2. 2

   Avec sinistre (proba $0,05$0,05) : $B=120-2000=-1880$B=120-2000=-1880.

3. 3

   $E(B)=120\times 0,95+(-1880)\times 0,05=114-94=20$E(B)=120× 0,95+(-1880)× 0,05=114-94=20.

4. 4

   $E(B)=20>0$E(B)=20>0 : en moyenne l'assureur gagne $20$20 € par client et par an, le contrat est rentable pour lui.

Rappel de cours : L'espérance sert à décider : un $E(B)>0$E(B)>0 indique une opération rentable en moyenne sur un grand nombre de clients (loi des grands nombres).

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)=3\times 0,4+(-2)\times 0,6=1,2-1,2=0$E(X)=3× 0,4+(-2)× 0,6=1,2-1,2=0 : le jeu est équitable.

2. 2

   $E(X^2)=3^2\times 0,4+(-2{)}^2\times 0,6=3,6+2,4=6$E(X²)=3²× 0,4+(-2)²× 0,6=3,6+2,4=6.

3. 3

   $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=6-0=6$V(X)=E(X²)-E(X)²=6-0=6.

Rappel de cours : $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$V(X)=E(X²)-E(X)². Un jeu équitable ($E=0$E=0) peut avoir une grande variance (risque).

Correction détaillée

1. 1

   $G$G prend les valeurs $0$0, $2$2, $6$6.

   $P(G=6)=\frac{1}{6}$P(G=6)=1/6 (face $6$6) ; $P(G=2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$P(G=2)=2/6=1/3 (faces $4$4 ou $5$5) ; $P(G=0)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$P(G=0)=3/6=1/2 (faces $1,2,3$1,2,3).

2. 2

   $E(G)=6\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{3}+0\times \frac{1}{2}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\approx 1,67$E(G)=6×1/6+2×1/3+0×1/2=1+2/3=5/3≈1,67 €.

3. 3

   Le jeu est équitable lorsque l'espérance du gain net est nulle, soit $E(G)-m=0$E(G)-m=0 : la mise équitable est $m=E(G)=\frac{5}{3}\approx 1,67$m=E(G)=5/3≈1,67 €.

4. 4

   $E(G^2)=6^2\times \frac{1}{6}+2^2\times \frac{1}{3}+0=6+\frac{4}{3}=\frac{22}{3}$E(G²)=6²×1/6+2²×1/3+0=6+4/3=22/3.

   Donc $V(G)=E(G^2)-E(G{)}^2=\frac{22}{3}-\frac{25}{9}=\frac{66-25}{9}=\frac{41}{9}\approx 4,56$V(G)=E(G²)-E(G)²=22/3-25/9=(66-25)/9=41/9≈4,56, et $\sigma (G)=\sqrt{V(G)}\approx 2,13$σ(G)=√(V(G))≈2,13 €.

5. 5

   Avec $m=2$m=2, le gain net moyen est $E(G)-2=\frac{5}{3}-2=-\frac{1}{3}\approx -0,33$E(G)-2=5/3-2=-1/3≈-0,33 € : en moyenne le joueur perd $33$33 centimes par partie (jeu défavorable au joueur).

Rappel de cours : $E(aG+b)=aE(G)+b$E(aG+b)=aE(G)+b ; jeu équitable $⟺$⇔ espérance du gain net nulle ; $V(G)=E(G^2)-E(G{)}^2$V(G)=E(G²)-E(G)².