Exercices corrigés : Loi binomiale — Terminale spécialité

Correction détaillée

1. 1

   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)=1$C(5, 0) =1 et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}\right)=1$C(5, 5) =1 (une seule façon de choisir $0$0 ou $5$5 éléments).

2. 2

   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)=5$C(5, 1) =5 (cinq façons de choisir $1$1 élément parmi $5$5).

3. 3

   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5\times 4}{2}=10$C(5, 2) =(5× 4)/2=10.

Rappel de cours : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$C(n, k) compte les façons de choisir $k$k éléments parmi $n$n. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=1$C(n, 0) = C(n, n) =1, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)=n$C(n, 1) =n.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : succès « obtenir 6 » de probabilité $p=\frac{1}{6}$p=1/6, échec sinon.

2. 2

   Les $10$10 lancers sont identiques et indépendants, et $X$X compte les succès.

3. 3

   Donc $X$X suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(10,\frac{1}{6}\right)$B (10,1/6).

Rappel de cours : Conditions pour une loi binomiale : $n$n épreuves identiques, indépendantes, à deux issues (succès/échec), et $X$X = nombre de succès.

Correction détaillée

1. 1

   Formule : $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$P(X=k)= C(n, k) p^(k)(1-p)^(n-k).

2. 2

   $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)(0,5{)}^2(0,5{)}^2=6\times 0,25\times 0,25$P(X=2)= C(4, 2) (0,5)²(0,5)²=6× 0,25× 0,25.

3. 3

   $=6\times 0,0625=0,375$=6× 0,0625=0,375.

Rappel de cours : $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$P(X=k)= C(n, k) p^(k)(1-p)^(n-k) : coefficient binomial $\times$× (succès)${}^k$^(k) $\times$× (échec)${}^{n-k}$^(n-k).

Correction détaillée

1. 1

   $P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)(0,2{)}^0(0,8{)}^5=1\times 1\times 0,8^5$P(X=0)= C(5, 0) (0,2)⁰(0,8)⁵=1× 1× 0,8⁵.

2. 2

   $0,8^5=0,32768\approx 0,328$0,8⁵=0,32768≈ 0,328.

Rappel de cours : $P(X=0)=(1-p{)}^n$P(X=0)=(1-p)ⁿ : aucun succès = échec à chaque épreuve.

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)=np=20\times 0,3=6$E(X)=np=20× 0,3=6.

2. 2

   $V(X)=np(1-p)=20\times 0,3\times 0,7=4,2$V(X)=np(1-p)=20× 0,3× 0,7=4,2.

3. 3

   $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{4,2}\approx 2,05$σ(X)=√(V(X))=√(4,2)≈ 2,05.

Rappel de cours : Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$B (n,p) : $E(X)=np$E(X)=np, $V(X)=np(1-p)$V(X)=np(1-p), $\sigma (X)=\sqrt{np(1-p)}$σ(X)=√(np(1-p)).

Correction détaillée

1. 1

   On passe par l'événement contraire : $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$P(X≥ 1)=1-P(X=0).

2. 2

   $P(X=0)=(0,75{)}^8\approx 0,1001$P(X=0)=(0,75)⁸≈ 0,1001.

3. 3

   $P(X\ge 1)=1-0,1001\approx 0,900$P(X≥ 1)=1-0,1001≈ 0,900.

Rappel de cours : « Au moins un » se calcule par le contraire : $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$P(X≥ 1)=1-P(X=0). Évite une longue somme.

Erreur fréquente : Ne pas calculer $P(X=1)+P(X=2)+\cdots$P(X=1)+P(X=2)+… : le contraire $1-P(X=0)$1-P(X=0) est bien plus rapide.

Correction détaillée

1. 1

   $P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)$P(X≤ 1)=P(X=0)+P(X=1).

2. 2

   $P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}\right)(0,4{)}^0(0,6{)}^3=0,216$P(X=0)=binom30(0,4)⁰(0,6)³=0,216.

3. 3

   $P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)(0,4{)}^1(0,6{)}^2=3\times 0,4\times 0,36=0,432$P(X=1)=binom31(0,4)¹(0,6)²=3× 0,4× 0,36=0,432.

4. 4

   $P(X\le 1)=0,216+0,432=0,648$P(X≤ 1)=0,216+0,432=0,648.

Rappel de cours : $P(X\le k)={\sum }_{i=0}^{k}P(X=i)$P(X≤ k)=Σ_i=0^(k) P(X=i). À la calculatrice : fonction « binomFRép » ou « binomcdf ».

Correction détaillée

1. 1

   $P(1\le X\le 2)=P(X=1)+P(X=2)$P(1≤ X≤ 2)=P(X=1)+P(X=2).

2. 2

   $P(X=1)=0,432$P(X=1)=0,432 (vu précédemment).

3. 3

   $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)(0,4{)}^2(0,6{)}^1=3\times 0,16\times 0,6=0,288$P(X=2)=binom32(0,4)²(0,6)¹=3× 0,16× 0,6=0,288.

4. 4

   $P(1\le X\le 2)=0,432+0,288=0,720$P(1≤ X≤ 2)=0,432+0,288=0,720.

Rappel de cours : On somme les $P(X=k)$P(X=k) pour les $k$k de l'intervalle, ou on calcule $P(X\le 2)-P(X\le 0)$P(X≤ 2)-P(X≤ 0).

Correction détaillée

1. 1

   Contraire de « $X\ge 2$X≥ 2 » : « $X\le 1$X≤ 1 ».

   Donc $P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$P(X≥ 2)=1-P(X=0)-P(X=1).

2. 2

   $P(X=0)=(0,5{)}^{10}=\frac{1}{1024}\approx 0,000977$P(X=0)=(0,5)¹⁰=1/1024≈ 0,000977.

3. 3

   $P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)(0,5{)}^1(0,5{)}^9=10\times (0,5{)}^{10}=\frac{10}{1024}\approx 0,00977$P(X=1)= C(10, 1) (0,5)¹(0,5)⁹=10×(0,5)¹⁰=10/1024≈ 0,00977.

4. 4

   $P(X\ge 2)=1-0,000977-0,00977\approx 0,989$P(X≥ 2)=1-0,000977-0,00977≈ 0,989.

Rappel de cours : « Au moins $2$2 » = $1-P(X=0)-P(X=1)$1-P(X=0)-P(X=1). Le contraire de « $\ge 2$≥ 2 » est « $\le 1$≤ 1 ».

Correction détaillée

1. 1

   Chaque pièce est défectueuse avec $p=0,05$p=0,05, indépendamment ; $X$X compte les défectueuses sur $20$20 : $X\sim \mathcal{B}(20;0,05)$X~ B (20 ;0,05).

2. 2

   $P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{1}\right)(0,05{)}^1(0,95{)}^{19}=20\times 0,05\times 0,95^{19}\approx 20\times 0,05\times 0,377\approx 0,377$P(X=1)= C(20, 1) (0,05)¹(0,95)¹⁹=20× 0,05× 0,95¹⁹≈ 20× 0,05× 0,377≈ 0,377.

3. 3

   $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(0,95{)}^{20}\approx 1-0,358=0,642$P(X≥ 1)=1-P(X=0)=1-(0,95)²⁰≈ 1-0,358=0,642.

Rappel de cours : Schéma type bac : (1) identifier la loi binomiale et ses paramètres, (2) appliquer la formule, (3) utiliser le contraire pour « au moins un ».

Correction détaillée

1. 1

   $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)(0,6{)}^2(0,4{)}^3=10\times 0,36\times 0,064=0,2304$P(X=2)=binom52(0,6)²(0,4)³=10× 0,36× 0,064=0,2304.

2. 2

   $P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)(0,6{)}^3(0,4{)}^2=10\times 0,216\times 0,16=0,3456$P(X=3)=binom53(0,6)³(0,4)²=10× 0,216× 0,16=0,3456.

3. 3

   $P(X=3)>P(X=2)$P(X=3)>P(X=2) : la valeur $3$3 est la plus probable des deux (cohérent avec $E(X)=np=3$E(X)=np=3).

Rappel de cours : La valeur la plus probable est généralement proche de l'espérance $E(X)=np$E(X)=np (ici $np=3$np=3).

Correction détaillée

1. 1

   Soit $X\sim \mathcal{B}(n;0,3)$X~ B (n ;0,3).

   On veut $P(X\ge 1)\ge 0,95$P(X≥ 1)≥ 0,95, soit $1-P(X=0)\ge 0,95$1-P(X=0)≥ 0,95.

2. 2

   $P(X=0)=(0,7{)}^n$P(X=0)=(0,7)ⁿ, donc la condition devient $(0,7{)}^n\le 0,05$(0,7)ⁿ≤ 0,05.

3. 3

   On applique $\ln$ln : $n\ln (0,7)\le \ln (0,05)$nln(0,7)≤ln(0,05), et comme $\ln (0,7)<0$ln(0,7)<0 : $n\ge \frac{\ln (0,05)}{\ln (0,7)}\approx \frac{-3,00}{-0,357}\approx 8,4$n≥ln(0,05)/ln(0,7)≈(-3,00)/(-0,357)≈ 8,4.

4. 4

   Le plus petit entier convenable est $n=9$n=9.

Rappel de cours : « Au moins un succès avec une proba donnée » : poser $1-(1-p{)}^n\ge s$1-(1-p)ⁿ≥ s, isoler $(1-p{)}^n$(1-p)ⁿ, passer au $\ln$ln (inversion du sens car $\ln (1-p)<0$ln(1-p)<0).

Erreur fréquente : Inverser le sens de l'inégalité en divisant par $\ln (0,7)<0$ln(0,7)<0, et arrondir à l'entier supérieur.

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)=np=100\times 0,5=50$E(X)=np=100× 0,5=50.

2. 2

   $V(X)=np(1-p)=100\times 0,5\times 0,5=25$V(X)=np(1-p)=100× 0,5× 0,5=25, donc $\sigma (X)=\sqrt{25}=5$σ(X)=√(25)=5.

3. 3

   Intervalle : $[50-2\times 5;50+2\times 5]=[40;60]$[50-2× 5 ;50+2× 5]=[40 ;60].

Rappel de cours : $E(X)=np$E(X)=np, $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$σ=√(np(1-p)). L'intervalle $[E-2\sigma ;E+2\sigma ]$[E-2σ;E+2σ] sert à juger si une observation est « habituelle ».

Correction détaillée

1. 1

   $P(X=0)=(1-0,02{)}^{50}=0,98^{50}\approx 0,364$P(X=0)=(1-0,02)⁵⁰=0,98⁵⁰≈ 0,364.

2. 2

   $P(X\ge 1)=1-P(X=0)\approx 1-0,364=0,636$P(X≥ 1)=1-P(X=0)≈ 1-0,364=0,636.

Rappel de cours : $P(X=0)=(1-p{)}^n$P(X=0)=(1-p)ⁿ ; « au moins un » $=1-P(X=0)$=1-P(X=0).

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)=np=200\times 0,01=2$E(X)=np=200× 0,01=2.

2. 2

   $V(X)=np(1-p)=200\times 0,01\times 0,99=1,98$V(X)=np(1-p)=200× 0,01× 0,99=1,98.

3. 3

   $\sigma (X)=\sqrt{1,98}\approx 1,41$σ(X)=√(1,98)≈ 1,41.

Rappel de cours : $\mathcal{B}(n,p)$B (n,p) : $E=np$E=np, $V=np(1-p)$V=np(1-p), $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$σ=√(np(1-p)).

Correction détaillée

1. 1

   On répète $20$20 fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli (« la pièce est défectueuse », succès de probabilité $p=0,05$p=0,05) : $X$X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,05)$B (20 ;0,05).

   $E(X)=np=20\times 0,05=1$E(X)=np=20×0,05=1 et $\sigma (X)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{20\times 0,05\times 0,95}=\sqrt{0,95}\approx 0,97$σ(X)=√(np(1-p))=√(20×0,05×0,95)=√(0,95)≈0,97.

2. 2

   $P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{0}\right)0,05^0\times 0,95^{20}=0,95^{20}\approx 0,36$P(X=0)= C(20, 0) 0,05⁰×0,95²⁰=0,95²⁰≈0,36.

3. 3

   $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0,95^{20}\approx 0,64$P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0,95²⁰≈0,64.

4. 4

   $P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).

   Avec $P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{1}\right)0,05\times 0,95^{19}\approx 0,377$P(X=1)= C(20, 1) 0,05×0,95¹⁹≈0,377 et $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)0,05^2\times 0,95^{18}\approx 0,189$P(X=2)= C(20, 2) 0,05²×0,95¹⁸≈0,189, on obtient $P(X\le 2)\approx 0,36+0,377+0,189\approx 0,92$P(X≤2)≈0,36+0,377+0,189≈0,92.

5. 5

   Pour un échantillon de $n$n pièces, « aucune défectueuse » a pour probabilité $0,95^n$0,95ⁿ.

   On veut $1-0,95^n>0,99$1-0,95ⁿ>0,99, soit $0,95^n<0,01$0,95ⁿ<0,01, c'est-à-dire $n>\frac{\ln (0,01)}{\ln (0,95)}\approx 89,8$n>ln(0,01)/ln(0,95)≈89,8.

   Le plus petit entier est $n=90$n=90.

Rappel de cours : Loi binomiale : $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$P(X=k)= C(n, k) p^(k)(1-p)^(n-k), $E=np$E=np, $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$σ=√(np(1-p)). Un seuil « au moins un » se traite par l'événement contraire.