Exercices corrigés : Variables aléatoires et loi binomiale — Terminale spécialité

Correction détaillée

1. 1

   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)=1$C(5, 0) =1 et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}\right)=1$C(5, 5) =1 (une seule façon de choisir $0$0 ou $5$5 éléments).

2. 2

   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)=5$C(5, 1) =5 (cinq façons de choisir $1$1 élément parmi $5$5).

3. 3

   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5\times 4}{2}=10$C(5, 2) =(5× 4)/2=10.

Rappel de cours : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$C(n, k) compte les façons de choisir $k$k éléments parmi $n$n. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=1$C(n, 0) = C(n, n) =1, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)=n$C(n, 1) =n.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : succès « obtenir 6 » de probabilité $p=\frac{1}{6}$p=1/6, échec sinon.

2. 2

   Les $10$10 lancers sont identiques et indépendants, et $X$X compte les succès.

3. 3

   Donc $X$X suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(10,\frac{1}{6}\right)$B (10,1/6).

Rappel de cours : Conditions pour une loi binomiale : $n$n épreuves identiques, indépendantes, à deux issues (succès/échec), et $X$X = nombre de succès.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque question est une épreuve de Bernoulli de succès « bonne réponse », de probabilité $\frac{1}{4}$1/4.

2. 2

   Les $10$10 épreuves sont identiques et indépendantes : $X$X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10;0,25)$B (10 ;0,25).

3. 3

   $E(X)=np=10\times 0,25=2,5$E(X)=np=10× 0,25=2,5.

Rappel de cours : Schéma de Bernoulli : $n$n épreuves identiques, indépendantes, à deux issues. Le nombre de succès suit $\mathcal{B}(n;p)$B (n ;p).

Correction détaillée

1. 1

   La somme des probabilités d'une loi vaut toujours $1$1.

2. 2

   $0,2+0,5+p=1$0,2+0,5+p=1, donc $p=1-0,7=0,3$p=1-0,7=0,3.

Rappel de cours : Dans une loi de probabilité, ${\sum }_{i}P(X=x_i)=1$Σᵢ P(X=xᵢ)=1 et chaque probabilité est entre $0$0 et $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)={\sum }_i{x}_{i}P(X=x_i)=1\times 0,2+2\times 0,5+3\times 0,3$E(X)=Σᵢ xᵢ P(X=xᵢ)=1× 0,2+2× 0,5+3× 0,3.

2. 2

   $=0,2+1,0+0,9=2,1$=0,2+1,0+0,9=2,1.

Rappel de cours : Espérance : $E(X)={\sum }_i{x}_i{p}_i$E(X)=Σᵢ xᵢ pᵢ. C'est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités.

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)=5\times 0,3+(-2)\times 0,7=1,5-1,4=0,1$E(X)=5× 0,3+(-2)× 0,7=1,5-1,4=0,1.

2. 2

   $E(X)=0,1>0$E(X)=0,1>0 : en moyenne le joueur gagne $0,10$0,10 € par partie, le jeu lui est favorable.

Rappel de cours : $E(X)>0$E(X)>0 : favorable au joueur. $E(X)=0$E(X)=0 : jeu équitable. $E(X)<0$E(X)<0 : défavorable.

Correction détaillée

1. 1

   Les $4$4 issues sont équiprobables : $P(X=k)=\frac{1}{4}$P(X=k)=1/4 pour $k=1,2,3,4$k=1,2,3,4.

2. 2

   $E(X)=\frac{1+2+3+4}{4}=\frac{10}{4}=2,5$E(X)=(1+2+3+4)/4=10/4=2,5.

Rappel de cours : Pour une loi uniforme, l'espérance est la moyenne des valeurs.

Correction détaillée

1. 1

   Formule : $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$P(X=k)= C(n, k) p^(k)(1-p)^(n-k).

2. 2

   $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)(0,5{)}^2(0,5{)}^2=6\times 0,25\times 0,25$P(X=2)= C(4, 2) (0,5)²(0,5)²=6× 0,25× 0,25.

3. 3

   $=6\times 0,0625=0,375$=6× 0,0625=0,375.

Rappel de cours : $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$P(X=k)= C(n, k) p^(k)(1-p)^(n-k) : coefficient binomial $\times$× (succès)${}^k$^(k) $\times$× (échec)${}^{n-k}$^(n-k).

Correction détaillée

1. 1

   $P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)(0,2{)}^0(0,8{)}^5=1\times 1\times 0,8^5$P(X=0)= C(5, 0) (0,2)⁰(0,8)⁵=1× 1× 0,8⁵.

2. 2

   $0,8^5=0,32768\approx 0,328$0,8⁵=0,32768≈ 0,328.

Rappel de cours : $P(X=0)=(1-p{)}^n$P(X=0)=(1-p)ⁿ : aucun succès = échec à chaque épreuve.

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)=np=20\times 0,3=6$E(X)=np=20× 0,3=6.

2. 2

   $V(X)=np(1-p)=20\times 0,3\times 0,7=4,2$V(X)=np(1-p)=20× 0,3× 0,7=4,2.

3. 3

   $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{4,2}\approx 2,05$σ(X)=√(V(X))=√(4,2)≈ 2,05.

Rappel de cours : Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$B (n,p) : $E(X)=np$E(X)=np, $V(X)=np(1-p)$V(X)=np(1-p), $\sigma (X)=\sqrt{np(1-p)}$σ(X)=√(np(1-p)).

Correction détaillée

1. 1

   $P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\times 0,5^3\times 0,5^3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\times 0,5^6$P(X=3)=binom63× 0,5³× 0,5³=binom63× 0,5⁶.

2. 2

   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$binom63=(6× 5× 4)/(3× 2× 1)=20 et $0,5^6=\frac{1}{64}$0,5⁶=1/64.

3. 3

   $P(X=3)=\frac{20}{64}=0,3125$P(X=3)=20/64=0,3125.

Rappel de cours : $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$P(X=k)= C(n, k) p^(k)(1-p)^(n-k).

Correction détaillée

1. 1

   Les issues équiprobables sont PP, PF, FP, FF (chacune $\frac{1}{4}$1/4).

2. 2

   $X=0$X=0 (FF) : $P(X=0)=\frac{1}{4}$P(X=0)=1/4.

   $X=1$X=1 (PF ou FP) : $P(X=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$P(X=1)=2/4=1/2.

   $X=2$X=2 (PP) : $P(X=2)=\frac{1}{4}$P(X=2)=1/4.

3. 3

   Vérification : $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1$1/4+1/2+1/4=1. ✓

Rappel de cours : Pour construire une loi : lister les issues, compter les cas favorables à chaque valeur, diviser par le nombre total d'issues.

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)=0\times \frac{1}{4}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{4}=0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$E(X)=0×1/4+1×1/2+2×1/4=0+1/2+1/2=1.

Rappel de cours : On retrouve $E(X)=np=2\times 0,5=1$E(X)=np=2× 0,5=1 (loi binomiale $\mathcal{B}(2;0,5)$B (2;0,5)).

Correction détaillée

1. 1

   $V(X)={\sum }_i(x_i-E(X){)}^2{p}_i$V(X)=Σᵢ (xᵢ-E(X))²pᵢ.

2. 2

   $=0,2(1-2,1{)}^2+0,5(2-2,1{)}^2+0,3(3-2,1{)}^2$=0,2(1-2,1)²+0,5(2-2,1)²+0,3(3-2,1)².

3. 3

   $=0,2\times 1,21+0,5\times 0,01+0,3\times 0,81=0,242+0,005+0,243=0,49$=0,2× 1,21+0,5× 0,01+0,3× 0,81=0,242+0,005+0,243=0,49.

Rappel de cours : Variance (définition) : $V(X)={\sum }_i(x_i-E(X){)}^2{p}_i$V(X)=Σᵢ (xᵢ-E(X))²pᵢ, moyenne des carrés des écarts à l'espérance.

Correction détaillée

1. 1

   On passe par l'événement contraire : $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$P(X≥ 1)=1-P(X=0).

2. 2

   $P(X=0)=(0,75{)}^8\approx 0,1001$P(X=0)=(0,75)⁸≈ 0,1001.

3. 3

   $P(X\ge 1)=1-0,1001\approx 0,900$P(X≥ 1)=1-0,1001≈ 0,900.

Rappel de cours : « Au moins un » se calcule par le contraire : $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$P(X≥ 1)=1-P(X=0). Évite une longue somme.

Erreur fréquente : Ne pas calculer $P(X=1)+P(X=2)+\cdots$P(X=1)+P(X=2)+… : le contraire $1-P(X=0)$1-P(X=0) est bien plus rapide.

Correction détaillée

1. 1

   $P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)$P(X≤ 1)=P(X=0)+P(X=1).

2. 2

   $P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}\right)(0,4{)}^0(0,6{)}^3=0,216$P(X=0)=binom30(0,4)⁰(0,6)³=0,216.

3. 3

   $P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)(0,4{)}^1(0,6{)}^2=3\times 0,4\times 0,36=0,432$P(X=1)=binom31(0,4)¹(0,6)²=3× 0,4× 0,36=0,432.

4. 4

   $P(X\le 1)=0,216+0,432=0,648$P(X≤ 1)=0,216+0,432=0,648.

Rappel de cours : $P(X\le k)={\sum }_{i=0}^{k}P(X=i)$P(X≤ k)=Σ_i=0^(k) P(X=i). À la calculatrice : fonction « binomFRép » ou « binomcdf ».

Correction détaillée

1. 1

   $P(1\le X\le 2)=P(X=1)+P(X=2)$P(1≤ X≤ 2)=P(X=1)+P(X=2).

2. 2

   $P(X=1)=0,432$P(X=1)=0,432 (vu précédemment).

3. 3

   $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)(0,4{)}^2(0,6{)}^1=3\times 0,16\times 0,6=0,288$P(X=2)=binom32(0,4)²(0,6)¹=3× 0,16× 0,6=0,288.

4. 4

   $P(1\le X\le 2)=0,432+0,288=0,720$P(1≤ X≤ 2)=0,432+0,288=0,720.

Rappel de cours : On somme les $P(X=k)$P(X=k) pour les $k$k de l'intervalle, ou on calcule $P(X\le 2)-P(X\le 0)$P(X≤ 2)-P(X≤ 0).

Correction détaillée

1. 1

   Contraire de « $X\ge 2$X≥ 2 » : « $X\le 1$X≤ 1 ».

   Donc $P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$P(X≥ 2)=1-P(X=0)-P(X=1).

2. 2

   $P(X=0)=(0,5{)}^{10}=\frac{1}{1024}\approx 0,000977$P(X=0)=(0,5)¹⁰=1/1024≈ 0,000977.

3. 3

   $P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)(0,5{)}^1(0,5{)}^9=10\times (0,5{)}^{10}=\frac{10}{1024}\approx 0,00977$P(X=1)= C(10, 1) (0,5)¹(0,5)⁹=10×(0,5)¹⁰=10/1024≈ 0,00977.

4. 4

   $P(X\ge 2)=1-0,000977-0,00977\approx 0,989$P(X≥ 2)=1-0,000977-0,00977≈ 0,989.

Rappel de cours : « Au moins $2$2 » = $1-P(X=0)-P(X=1)$1-P(X=0)-P(X=1). Le contraire de « $\ge 2$≥ 2 » est « $\le 1$≤ 1 ».

Correction détaillée

1. 1

   $P(X\ge 5)=1-P(X\le 4)$P(X≥ 5)=1-P(X≤ 4).

2. 2

   À la calculatrice (loi binomiale cumulée) : $P(X\le 4)\approx 0,9219$P(X≤ 4)≈ 0,9219.

3. 3

   $P(X\ge 5)\approx 1-0,9219=0,0781$P(X≥ 5)≈ 1-0,9219=0,0781.

Rappel de cours : « Au moins $k$k » : passer par le contraire $1-P(X\le k-1)$1-P(X≤ k-1), que donne la calculatrice.

Correction détaillée

1. 1

   Formule : $V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$V(X)=E(X²)-(E(X))².

2. 2

   $E(X^2)=1^2\times 0,2+2^2\times 0,5+3^2\times 0,3=0,2+2,0+2,7=4,9$E(X²)=1²× 0,2+2²× 0,5+3²× 0,3=0,2+2,0+2,7=4,9.

3. 3

   $V(X)=4,9-2,1^2=4,9-4,41=0,49$V(X)=4,9-2,1²=4,9-4,41=0,49 (cohérent avec la définition).

Rappel de cours : König-Huygens : $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$V(X)=E(X²)-E(X)², souvent plus rapide. Attention : $E(X^2)=\sum x_i^2{p}_i$E(X²)=Σ xᵢ²pᵢ, pas $E(X{)}^2$E(X)².

Erreur fréquente : Ne pas confondre $E(X^2)$E(X²) (carrés des valeurs) et $E(X{)}^2$E(X)² (carré de l'espérance) : leur différence EST la variance.

Correction détaillée

1. 1

   $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{0,49}=0,7$σ(X)=√(V(X))=√(0,49)=0,7.

Rappel de cours : L'écart-type $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$σ(X)=√(V(X)) s'exprime dans la même unité que $X$X : plus parlant que la variance.

Correction détaillée

1. 1

   Linéarité de l'espérance : $E(2X+3)=2E(X)+3=2\times 2,1+3=7,2$E(2X+3)=2E(X)+3=2× 2,1+3=7,2.

2. 2

   Variance : $V(2X+3)=2^{2}V(X)=4\times 0,49=1,96$V(2X+3)=2²V(X)=4× 0,49=1,96 (la constante $+3$+3 disparaît).

Rappel de cours : $E(aX+b)=aE(X)+b$E(aX+b)=aE(X)+b ; $V(aX+b)=a^{2}V(X)$V(aX+b)=a²V(X) (la constante $b$b ne change pas la dispersion).

Erreur fréquente : Pour la variance, le $+b$+b disparaît et le coefficient passe au carré : $V(2X+3)=4V(X)$V(2X+3)=4V(X), pas $2V(X)+3$2V(X)+3.

Correction détaillée

1. 1

   Gain net : si on gagne, $10-3=7$10-3=7 € (proba $0,25$0,25) ; sinon $0-3=-3$0-3=-3 € (proba $0,75$0,75).

2. 2

   $E(G)=7\times 0,25+(-3)\times 0,75=1,75-2,25=-0,5$E(G)=7× 0,25+(-3)× 0,75=1,75-2,25=-0,5.

3. 3

   $E(G)<0$E(G)<0 : en moyenne le joueur perd $0,50$0,50 € par partie.

Rappel de cours : Le gain net retranche la mise à chaque issue. Un $E(G)<0$E(G)<0 signifie que le jeu profite à l'organisateur.

Correction détaillée

1. 1

   Linéarité de l'espérance (toujours vraie) : $E(X+Y)=2+3=5$E(X+Y)=2+3=5.

2. 2

   Variables indépendantes : les variances s'additionnent, $V(X+Y)=1+4=5$V(X+Y)=1+4=5.

3. 3

   $\sigma (X+Y)=\sqrt{5}\approx 2,24$σ(X+Y)=sqrt5≈ 2,24.

Rappel de cours : $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$V(X+Y)=V(X)+V(Y) si $X$X et $Y$Y sont indépendantes.

Erreur fréquente : Les écarts types ne s'additionnent pas : $\sigma (X+Y)\ne 1+2=3$σ(X+Y)≠ 1+2=3.

Correction détaillée

1. 1

   $M=\frac{X_1+\cdots +X_{25}}{25}$M=(X₁+…+X₂₅)/25.

   Linéarité : $E(M)=\frac{25\times 150}{25}=150$E(M)=(25× 150)/25=150.

2. 2

   Indépendance : $V(X_1+\cdots +X_{25})=25\times 400$V(X₁+…+X₂₅)=25× 400, et $V\left(\frac{S}{25}\right)=\frac{V(S)}{25^2}$V (S/25)=V(S)/25².

   Donc $V(M)=\frac{25\times 400}{625}=16$V(M)=(25× 400)/625=16.

3. 3

   $\sigma (M)=4$σ(M)=4 g, alors que $\sigma (X)=20$σ(X)=20 g pour une seule pomme.

Rappel de cours : Pour la moyenne de $n$n variables indépendantes de même loi : $E(M)=\mu$E(M)=μ, $V(M)=\frac{{\sigma }^2}{n}$V(M)=σ²/n, $\sigma (M)=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$σ(M)=σ/( √n ).

Correction détaillée

1. 1

   Chaque pièce est défectueuse avec $p=0,05$p=0,05, indépendamment ; $X$X compte les défectueuses sur $20$20 : $X\sim \mathcal{B}(20;0,05)$X~ B (20 ;0,05).

2. 2

   $P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{1}\right)(0,05{)}^1(0,95{)}^{19}=20\times 0,05\times 0,95^{19}\approx 20\times 0,05\times 0,377\approx 0,377$P(X=1)= C(20, 1) (0,05)¹(0,95)¹⁹=20× 0,05× 0,95¹⁹≈ 20× 0,05× 0,377≈ 0,377.

3. 3

   $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(0,95{)}^{20}\approx 1-0,358=0,642$P(X≥ 1)=1-P(X=0)=1-(0,95)²⁰≈ 1-0,358=0,642.

Rappel de cours : Schéma type bac : (1) identifier la loi binomiale et ses paramètres, (2) appliquer la formule, (3) utiliser le contraire pour « au moins un ».

Correction détaillée

1. 1

   $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)(0,6{)}^2(0,4{)}^3=10\times 0,36\times 0,064=0,2304$P(X=2)=binom52(0,6)²(0,4)³=10× 0,36× 0,064=0,2304.

2. 2

   $P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)(0,6{)}^3(0,4{)}^2=10\times 0,216\times 0,16=0,3456$P(X=3)=binom53(0,6)³(0,4)²=10× 0,216× 0,16=0,3456.

3. 3

   $P(X=3)>P(X=2)$P(X=3)>P(X=2) : la valeur $3$3 est la plus probable des deux (cohérent avec $E(X)=np=3$E(X)=np=3).

Rappel de cours : La valeur la plus probable est généralement proche de l'espérance $E(X)=np$E(X)=np (ici $np=3$np=3).

Correction détaillée

1. 1

   Soit $X\sim \mathcal{B}(n;0,3)$X~ B (n ;0,3).

   On veut $P(X\ge 1)\ge 0,95$P(X≥ 1)≥ 0,95, soit $1-P(X=0)\ge 0,95$1-P(X=0)≥ 0,95.

2. 2

   $P(X=0)=(0,7{)}^n$P(X=0)=(0,7)ⁿ, donc la condition devient $(0,7{)}^n\le 0,05$(0,7)ⁿ≤ 0,05.

3. 3

   On applique $\ln$ln : $n\ln (0,7)\le \ln (0,05)$nln(0,7)≤ln(0,05), et comme $\ln (0,7)<0$ln(0,7)<0 : $n\ge \frac{\ln (0,05)}{\ln (0,7)}\approx \frac{-3,00}{-0,357}\approx 8,4$n≥ln(0,05)/ln(0,7)≈(-3,00)/(-0,357)≈ 8,4.

4. 4

   Le plus petit entier convenable est $n=9$n=9.

Rappel de cours : « Au moins un succès avec une proba donnée » : poser $1-(1-p{)}^n\ge s$1-(1-p)ⁿ≥ s, isoler $(1-p{)}^n$(1-p)ⁿ, passer au $\ln$ln (inversion du sens car $\ln (1-p)<0$ln(1-p)<0).

Erreur fréquente : Inverser le sens de l'inégalité en divisant par $\ln (0,7)<0$ln(0,7)<0, et arrondir à l'entier supérieur.

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)=np=100\times 0,5=50$E(X)=np=100× 0,5=50.

2. 2

   $V(X)=np(1-p)=100\times 0,5\times 0,5=25$V(X)=np(1-p)=100× 0,5× 0,5=25, donc $\sigma (X)=\sqrt{25}=5$σ(X)=√(25)=5.

3. 3

   Intervalle : $[50-2\times 5;50+2\times 5]=[40;60]$[50-2× 5 ;50+2× 5]=[40 ;60].

Rappel de cours : $E(X)=np$E(X)=np, $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$σ=√(np(1-p)). L'intervalle $[E-2\sigma ;E+2\sigma ]$[E-2σ;E+2σ] sert à juger si une observation est « habituelle ».

Correction détaillée

1. 1

   $P(X=0)=(1-0,02{)}^{50}=0,98^{50}\approx 0,364$P(X=0)=(1-0,02)⁵⁰=0,98⁵⁰≈ 0,364.

2. 2

   $P(X\ge 1)=1-P(X=0)\approx 1-0,364=0,636$P(X≥ 1)=1-P(X=0)≈ 1-0,364=0,636.

Rappel de cours : $P(X=0)=(1-p{)}^n$P(X=0)=(1-p)ⁿ ; « au moins un » $=1-P(X=0)$=1-P(X=0).

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)=np=200\times 0,01=2$E(X)=np=200× 0,01=2.

2. 2

   $V(X)=np(1-p)=200\times 0,01\times 0,99=1,98$V(X)=np(1-p)=200× 0,01× 0,99=1,98.

3. 3

   $\sigma (X)=\sqrt{1,98}\approx 1,41$σ(X)=√(1,98)≈ 1,41.

Rappel de cours : $\mathcal{B}(n,p)$B (n,p) : $E=np$E=np, $V=np(1-p)$V=np(1-p), $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$σ=√(np(1-p)).

Correction détaillée

1. 1

   On répète $20$20 fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli (« la pièce est défectueuse », succès de probabilité $p=0,05$p=0,05) : $X$X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,05)$B (20 ;0,05).

   $E(X)=np=20\times 0,05=1$E(X)=np=20×0,05=1 et $\sigma (X)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{20\times 0,05\times 0,95}=\sqrt{0,95}\approx 0,97$σ(X)=√(np(1-p))=√(20×0,05×0,95)=√(0,95)≈0,97.

2. 2

   $P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{0}\right)0,05^0\times 0,95^{20}=0,95^{20}\approx 0,36$P(X=0)= C(20, 0) 0,05⁰×0,95²⁰=0,95²⁰≈0,36.

3. 3

   $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0,95^{20}\approx 0,64$P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0,95²⁰≈0,64.

4. 4

   $P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).

   Avec $P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{1}\right)0,05\times 0,95^{19}\approx 0,377$P(X=1)= C(20, 1) 0,05×0,95¹⁹≈0,377 et $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)0,05^2\times 0,95^{18}\approx 0,189$P(X=2)= C(20, 2) 0,05²×0,95¹⁸≈0,189, on obtient $P(X\le 2)\approx 0,36+0,377+0,189\approx 0,92$P(X≤2)≈0,36+0,377+0,189≈0,92.

5. 5

   Pour un échantillon de $n$n pièces, « aucune défectueuse » a pour probabilité $0,95^n$0,95ⁿ.

   On veut $1-0,95^n>0,99$1-0,95ⁿ>0,99, soit $0,95^n<0,01$0,95ⁿ<0,01, c'est-à-dire $n>\frac{\ln (0,01)}{\ln (0,95)}\approx 89,8$n>ln(0,01)/ln(0,95)≈89,8.

   Le plus petit entier est $n=90$n=90.