Exercices corrigés : Fonction logarithme décimal — Terminale STMG

Correction détaillée

1. 1

   Par définition, $\log (b)$log(b) est l'exposant $x$x tel que $10^x=b$10^(x) = b.

2. 2

   $10^3=1000$10³ = 1000, donc $\log (1000)=3$log(1000) = 3 ; $10^{-3}=0,001$10⁻³ = 0,001, donc $\log (0,001)=-3$log(0,001) = -3.

3. 3

   $10^0=1$10⁰ = 1, donc $\log (1)=0$log(1) = 0 ; enfin $\log \left(10^5\right)=5$log(10⁵) = 5.

Rappel de cours : $\log \left(10^n\right)=n$log(10ⁿ) = n pour tout entier $n$n.

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1. 1

   La touche log donne $\log (2)\approx 0,3010$log(2) ≈ 0,3010, $\log (7)\approx 0,8451$log(7) ≈ 0,8451 et $\log (0,4)\approx -0,3979$log(0,4) ≈ -0,3979.

2. 2

   $0,4<1$0,4 < 1 et $\log (1)=0$log(1) = 0 : comme la fonction $\log$log est croissante, $\log (0,4)<\log (1)=0$log(0,4) < log(1) = 0.

3. 3

   Le logarithme d'un nombre compris entre $0$0 et $1$1 est toujours négatif.

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1. 1

   $\log (x)=c⟺x=10^c$log(x) = c ⇔ x = 10^(c).

2. 2

   $\log (x)=2⟺x=10^2=100$log(x) = 2 ⇔ x = 10² = 100 ; $\log (x)=-1⟺x=10^{-1}=0,1$log(x) = -1 ⇔ x = 10⁻¹ = 0,1.

3. 3

   $\log (x)=1,5⟺x=10^{1,5}\approx 31,62$log(x) = 1,5 ⇔ x = 10^(1,5) ≈ 31,62.

Correction détaillée

1. 1

   Par définition du logarithme décimal : $10^x=500⟺x=\log (500)$10^(x) = 500 ⇔ x = log(500).

2. 2

   À la calculatrice, $\log (500)\approx 2,699$log(500) ≈ 2,699.

3. 3

   Contrôle : $10^2=100<500<1000=10^3$10² = 100 < 500 < 1000 = 10³, donc la solution est bien entre $2$2 et $3$3.

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1. 1

   La fonction $\log$log est strictement croissante sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[ : elle conserve l'ordre.

2. 2

   $3>2,5$3 > 2,5, donc $\log (3)>\log (2,5)$log(3) > log(2,5).

3. 3

   $0,7<1$0,7 < 1, donc $\log (0,7)<0$log(0,7) < 0 ; $12>1$12 > 1, donc $\log (12)>0$log(12) > 0.

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1. 1

   $6=2\times 3$6 = 2 × 3, donc $\log (6)=\log (2)+\log (3)\approx 0,301+0,477=0,778$log(6) = log(2) + log(3) ≈ 0,301 + 0,477 = 0,778.

2. 2

   $8=2^3$8 = 2³, donc $\log (8)=3\log (2)\approx 0,903$log(8) = 3log(2) ≈ 0,903.

3. 3

   $1,5=\frac{3}{2}$1,5 = 3/2, donc $\log (1,5)=\log (3)-\log (2)\approx 0,176$log(1,5) = log(3) - log(2) ≈ 0,176.

4. 4

   La calculatrice confirme : $\log (6)\approx 0,7782$log(6) ≈ 0,7782, $\log (8)\approx 0,9031$log(8) ≈ 0,9031, $\log (1,5)\approx 0,1761$log(1,5) ≈ 0,1761.

Rappel de cours : $\log (ab)=\log a+\log b$log(ab) = log a + log b, $\log \left(a^n\right)=n\log a$log(aⁿ) = nlog a, $\log \left(\frac{a}{b}\right)=\log a-\log b$log(a/b) = log a - log b.

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1. 1

   $A=\log \left(\frac{200}{2}\right)=\log (100)=2$A = log(200/2) = log(100) = 2.

2. 2

   $B=\log (25\times 4)=\log (100)=2$B = log(25 × 4) = log(100) = 2.

3. 3

   $C=3(\log (5)+\log (2))=3\log (10)=3$C = 3(log(5) + log(2)) = 3log(10) = 3.

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1. 1

   On prend le logarithme des deux membres : $x\log (1,05)=\log (2)$xlog(1,05) = log(2).

2. 2

   Donc $x=\frac{\log (2)}{\log (1,05)}\approx 14,21$x = log(2)/log(1,05) ≈ 14,21.

3. 3

   Un capital placé à $5\%$5 % par an double en un peu plus de $14$14 ans, quel que soit le montant de départ.

Rappel de cours : $a^x=b⟺x=\frac{\log b}{\log a}$a^(x) = b ⇔ x = (log b)/(log a) ($a>0$a > 0, $a\ne 1$a ≠ 1, $b>0$b > 0).

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1. 1

   $x\log (0,9)=\log (0,5)$xlog(0,9) = log(0,5), donc $x=\frac{\log (0,5)}{\log (0,9)}\approx 6,58$x = log(0,5)/log(0,9) ≈ 6,58.

2. 2

   Le quotient de deux nombres négatifs est positif : la durée trouvée est bien positive.

3. 3

   La machine a perdu la moitié de sa valeur au bout d'environ $6,6$6,6 ans.

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1. 1

   L'inconnue est ici la base : on élève les deux membres à la puissance $\frac{1}{4}$1/4.

2. 2

   $x=50^{\frac{1}{4}}\approx 2,659$x = 50^(1/4) ≈ 2,659.

3. 3

   Vérification : $2,659^4\approx 49,99$2,659⁴ ≈ 49,99.

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1. 1

   $\log \left(3^{50}\right)=50\log (3)\approx 23,86$log(3⁵⁰) = 50log(3) ≈ 23,86.

2. 2

   Donc $23⩽\log \left(3^{50}\right)<24$23 ≤ log(3⁵⁰) < 24, c'est-à-dire $10^{23}⩽3^{50}<10^{24}$10²³ ≤ 3⁵⁰ < 10²⁴.

3. 3

   Un nombre compris entre $10^{23}$10²³ et $10^{24}$10²⁴ s'écrit avec $24$24 chiffres.

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1. 1

   On prend le logarithme, qui conserve l'ordre : $n\log (1,03)>\log (1,5)$nlog(1,03) > log(1,5).

2. 2

   $\log (1,03)>0$log(1,03) > 0, donc on divise sans changer le sens : $n>\frac{\log (1,5)}{\log (1,03)}\approx 13,72$n > log(1,5)/log(1,03) ≈ 13,72.

3. 3

   Le plus petit entier est $14$14.

   Vérification : $1,03^{13}\approx 1,4685$1,03¹³ ≈ 1,4685 et $1,03^{14}\approx 1,5126$1,03¹⁴ ≈ 1,5126.

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1. 1

   $n\log (0,85)<\log (0,2)$nlog(0,85) < log(0,2).

2. 2

   $\log (0,85)<0$log(0,85) < 0 : en divisant par ce nombre négatif, on **change le sens** : $n>\frac{\log (0,2)}{\log (0,85)}\approx 9,90$n > log(0,2)/log(0,85) ≈ 9,90.

3. 3

   Le plus petit entier est $10$10.

   Vérification : $0,85^9\approx 0,2316$0,85⁹ ≈ 0,2316 et $0,85^{10}\approx 0,1969$0,85¹⁰ ≈ 0,1969.

Erreur fréquente : Oublier de changer le sens de l'inégalité quand on divise par $\log (a)$log(a) avec $a<1$a < 1.

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1. 1

   Après $n$n années, le capital vaut $5000\times 1,025^n$5000 × 1,025ⁿ.

   On résout $5000\times 1,025^n>7000$5000 × 1,025ⁿ > 7000, soit $1,025^n>1,4$1,025ⁿ > 1,4.

2. 2

   $n>\frac{\log (1,4)}{\log (1,025)}\approx 13,63$n > log(1,4)/log(1,025) ≈ 13,63, donc $n=14$n = 14.

3. 3

   Vérification : $5000\times 1,025^{13}\approx 6892,56$5000 × 1,025¹³ ≈ 6892,56 € et $5000\times 1,025^{14}\approx 7064,87$5000 × 1,025¹⁴ ≈ 7064,87 €.

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1. 1

   Perdre plus de $20\%$20 %, c'est garder moins de $80\%$80 % : on résout $0,985^n<0,8$0,985ⁿ < 0,8.

2. 2

   $\log (0,985)<0$log(0,985) < 0, le sens change : $n>\frac{\log (0,8)}{\log (0,985)}\approx 14,76$n > log(0,8)/log(0,985) ≈ 14,76, donc $n=15$n = 15.

3. 3

   Vérification : $0,985^{14}\approx 0,8093$0,985¹⁴ ≈ 0,8093 et $0,985^{15}\approx 0,7972$0,985¹⁵ ≈ 0,7972.

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1. 1

   Deux haut-parleurs donnent l'intensité $2I$2I : $10\log \left(\frac{2I}{I_0}\right)=10\log (2)+10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)\approx 3,01+65=68,01$10log(2I/I₀) = 10log(2) + 10log(I/I₀) ≈ 3,01 + 65 = 68,01 dB.

2. 2

   Si l'intensité est multipliée par $k$k, le niveau augmente de $10\log (k)$10log(k).

   On résout $10\log (k)=20$10log(k) = 20 : $\log (k)=2$log(k) = 2, donc $k=100$k = 100.

3. 3

   Doubler la source n'ajoute qu'environ $3$3 dB ; gagner $20$20 dB demande une intensité cent fois plus grande.

Correction détaillée

1. 1

   $200\times 1,12^n>1000⟺1,12^n>5$200 × 1,12ⁿ > 1000 ⇔ 1,12ⁿ > 5.

2. 2

   $n>\frac{\log (5)}{\log (1,12)}\approx 14,20$n > log(5)/log(1,12) ≈ 14,20, donc $n=15$n = 15.

3. 3

   Vérification : $u_{14}\approx 977,4$u₁₄ ≈ 977,4 et $u_{15}\approx 1094,7$u₁₅ ≈ 1094,7.

   Le logarithme donne directement le rang que l'algorithme de seuil trouverait en calculant les termes un par un.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $50000\times 1,06^n>80000\times 1,02^n$50 000 × 1,06ⁿ > 80 000 × 1,02ⁿ.

   En divisant par $50000\times 1,02^n>0$50 000 × 1,02ⁿ > 0 : ${\left(\frac{1,06}{1,02}\right)}^n>1,6$(1,06/1,02)ⁿ > 1,6.

2. 2

   $\frac{1,06}{1,02}\approx 1,03922>1$1,06/1,02 ≈ 1,03922 > 1, donc $n>\frac{\log (1,6)}{\log \left(\frac{1,06}{1,02}\right)}\approx 12,22$n > log(1,6)/(log(1,06/1,02)) ≈ 12,22 : $n=13$n = 13.

3. 3

   Vérification : après $12$12 ans, A $\approx 100610$≈ 100 610 € et B $\approx 101459$≈ 101 459 € ; après $13$13 ans, A $\approx 106646$≈ 106 646 € et B $\approx 103489$≈ 103 489 €.

Correction détaillée

1. 1

   $N=10^{0,05x+2}=10^2\times {\left(10^{0,05}\right)}^x\approx 100\times 1,122^x$N = 10^(0,05x + 2) = 10² × (10^(0,05))^(x) ≈ 100 × 1,122^(x).

2. 2

   Le coefficient annuel est $10^{0,05}\approx 1,122$10^(0,05) ≈ 1,122 : une hausse d'environ $12,2\%$12,2 % par an.

3. 3

   $N>1000⟺\log (N)>3⟺0,05x+2>3⟺x>20$N > 1000 ⇔ log(N) > 3 ⇔ 0,05x + 2 > 3 ⇔ x > 20.

   Le modèle prévoit plus de $1000$1000 abonnés à partir du rang $21$21.

Correction détaillée

1. 1

   $Q(3)=20\times 0,8^3=10,24$Q(3) = 20 × 0,8³ = 10,24 : après $3$3 heures, il reste $10,24$10,24 mg de médicament.

2. 2

   $Q(t)<5⟺0,8^t<0,25⟺t>\frac{\log (0,25)}{\log (0,8)}\approx 6,21$Q(t) < 5 ⇔ 0,8^(t) < 0,25 ⇔ t > log(0,25)/log(0,8) ≈ 6,21 (sens changé, $\log (0,8)<0$log(0,8) < 0).

   En heures entières : $7$7 h, car $Q(6)\approx 5,243$Q(6) ≈ 5,243 et $Q(7)\approx 4,194$Q(7) ≈ 4,194.

3. 3

   La demi-vie vérifie $0,8^t=0,5$0,8^(t) = 0,5 : $t=\frac{\log (0,5)}{\log (0,8)}\approx 3,11$t = log(0,5)/log(0,8) ≈ 3,11 h, soit environ $3$3 h $06$06 min.

4. 4

   Cohérence : en $2$2 demi-vies ($\approx 6,21$≈ 6,21 h), la quantité est divisée par $4$4, de $20$20 à $5$5 mg, ce qui retrouve la question précédente.