Exercices corrigés : Loi binomiale — Terminale STMG

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)=0\times 0,2+1\times 0,4+2\times 0,3+3\times 0,1$E(X) = 0 × 0,2 + 1 × 0,4 + 2 × 0,3 + 3 × 0,1.

2. 2

   $E(X)=0+0,4+0,6+0,3=1,3$E(X) = 0 + 0,4 + 0,6 + 0,3 = 1,3.

3. 3

   Sur un grand nombre de répétitions, la moyenne des valeurs de $X$X se rapproche de $1,3$1,3.

Rappel de cours : $E(X)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n$E(X) = x₁ p₁ + x₂ p₂ + … + xₙ pₙ.

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1. 1

   Le gain brut moyen vaut $12\times \frac{1}{6}+0\times \frac{5}{6}=2$12 × 1/6 + 0 × 5/6 = 2 €.

2. 2

   Le jeu est équitable si le gain net moyen est nul, c'est-à-dire si la mise vaut $2$2 €.

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1. 1

   Une épreuve de Bernoulli a exactement deux issues.

2. 2

   a) Oui, de paramètre $p=0,5$p = 0,5 (succès : « pile »). c) Oui, de paramètre $p=0,85$p = 0,85.

3. 3

   b) Non : six issues sont possibles.

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1. 1

   $P(X=2)=0,4^2=0,16$P(X = 2) = 0,4² = 0,16 (un chemin).

2. 2

   $P(X=1)=2\times 0,4\times 0,6=0,48$P(X = 1) = 2 × 0,4 × 0,6 = 0,48 (deux chemins).

3. 3

   $P(X=0)=0,6^2=0,36$P(X = 0) = 0,6² = 0,36.

   Contrôle : $0,16+0,48+0,36=1$0,16 + 0,48 + 0,36 = 1.

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1. 1

   Un seul chemin sans succès et un seul avec uniquement des succès : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{7}\right)=1$C(7, 0) = C(7, 7) = 1.

2. 2

   Un chemin à un succès est fixé par la place de ce succès : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}\right)=7$C(7, 1) = 7.

3. 3

   Par symétrie, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{6}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}\right)=7$C(7, 6) = C(7, 1) = 7 (on choisit la place de l'unique échec).

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1. 1

   On lit $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$C(5, 2) = 10 et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$C(5, 3) = 10.

2. 2

   Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli à $5$5 épreuves, $10$10 chemins comportent exactement $2$2 succès.

3. 3

   L'égalité $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)$C(5, 2) = C(5, 3) traduit la symétrie : $2$2 succès, c'est $3$3 échecs.

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1. 1

   Formule de Pascal : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=5+10=15$C(6, 2) = C(5, 1) + C(5, 2) = 5 + 10 = 15.

2. 2

   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10+10=20$C(6, 3) = C(5, 2) + C(5, 3) = 10 + 10 = 20.

3. 3

   Chaque nombre du triangle est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui.

Rappel de cours : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1}\right)$C(n+1, k+1) = C(n, k) + C(n, k+1).

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1. 1

   Avec remise, les $3$3 tirages sont identiques ($p=0,4$p = 0,4) et indépendants : $X$X suit la loi $\mathcal{B}(3;0,4)$B (3 ;0,4).

2. 2

   Sans remise, la probabilité de tirer une rouge change d'un tirage à l'autre : les tirages ne sont pas indépendants, $X$X ne suit pas une loi binomiale.

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1. 1

   La ligne $3$3 du triangle est $1331$1 3 3 1.

2. 2

   $P(X=0)=0,7^3=0,343$P(X = 0) = 0,7³ = 0,343 ; $P(X=1)=3\times 0,3\times 0,7^2=0,441$P(X = 1) = 3 × 0,3 × 0,7² = 0,441.

3. 3

   $P(X=2)=3\times 0,3^2\times 0,7=0,189$P(X = 2) = 3 × 0,3² × 0,7 = 0,189 ; $P(X=3)=0,3^3=0,027$P(X = 3) = 0,3³ = 0,027.

4. 4

   Contrôle : la somme vaut $1$1.

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1. 1

   Le nombre $X$X de pièces défectueuses suit la loi $\mathcal{B}(5;0,1)$B (5 ;0,1).

2. 2

   $P(X=0)=0,9^5\approx 0,5905$P(X = 0) = 0,9⁵ ≈ 0,5905.

3. 3

   $P(X⩾1)=1-P(X=0)\approx 0,4095$P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) ≈ 0,4095.

Rappel de cours : « Au moins un » : passer par l'événement contraire « aucun ».

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1. 1

   Le nombre $X$X de pièces défectueuses suit la loi $\mathcal{B}(50;0,04)$B (50 ;0,04).

2. 2

   $E(X)=n\times p=50\times 0,04=2$E(X) = n × p = 50 × 0,04 = 2.

3. 3

   En moyenne, sur un grand nombre de contrôles, on trouve $2$2 pièces défectueuses sur $50$50.

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1. 1

   $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\times 0,4^2\times 0,6^3$P(X = 2) = C(5, 2) × 0,4² × 0,6³.

2. 2

   $P(X=2)=10\times 0,16\times 0,216=0,3456$P(X = 2) = 10 × 0,16 × 0,216 = 0,3456.

Rappel de cours : $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\times p^k\times (1-p{)}^{n-k}$P(X = k) = C(n, k) × p^(k) × (1-p)^(n-k).

Erreur fréquente : Oublier le coefficient $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)$C(5, 2) : on obtiendrait la probabilité d'un seul chemin, $0,03456$0,03456.

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1. 1

   Le nombre $X$X de bonnes réponses suit la loi $\mathcal{B}(10;0,25)$B (10 ;0,25).

2. 2

   $P(X=0)=0,75^{10}\approx 0,0563$P(X = 0) = 0,75¹⁰ ≈ 0,0563.

3. 3

   $P(X=3)=120\times 0,25^3\times 0,75^7\approx 0,2503$P(X = 3) = 120 × 0,25³ × 0,75⁷ ≈ 0,2503.

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1. 1

   $X$X suit la loi $\mathcal{B}(8;0,05)$B (8 ;0,05).

2. 2

   $P(X⩽1)=0,95^8+8\times 0,05\times 0,95^7\approx 0,6634+0,2793$P(X ≤ 1) = 0,95⁸ + 8 × 0,05 × 0,95⁷ ≈ 0,6634 + 0,2793, soit environ $0,9428$0,9428 sans arrondi intermédiaire.

3. 3

   $P(X⩾2)=1-P(X⩽1)\approx 0,0572$P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) ≈ 0,0572.

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1. 1

   $X$X suit la loi $\mathcal{B}(7;0,6)$B (7 ;0,6).

2. 2

   $P(X=7)=0,6^7\approx 0,0280$P(X = 7) = 0,6⁷ ≈ 0,0280 et $P(X=6)=7\times 0,6^6\times 0,4\approx 0,1306$P(X = 6) = 7 × 0,6⁶ × 0,4 ≈ 0,1306.

3. 3

   $P(X⩾6)\approx 0,0280+0,1306=0,1586$P(X ≥ 6) ≈ 0,0280 + 0,1306 = 0,1586.

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1. 1

   Le gain net vaut $8$8, $48$48 ou $-2$-2 avec les probabilités $0,05$0,05, $0,01$0,01 et $0,94$0,94.

2. 2

   $E(G)=8\times 0,05+48\times 0,01-2\times 0,94=0,4+0,48-1,88=-1$E(G) = 8 × 0,05 + 48 × 0,01 - 2 × 0,94 = 0,4 + 0,48 - 1,88 = -1.

3. 3

   Un joueur perd en moyenne $1$1 € par ticket, soit la moitié de sa mise.

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1. 1

   L'espérance d'une loi binomiale est le produit $np$np : $E(X)=40\times 0,05=2$E(X) = 40 × 0,05 = 2.

2. 2

   Bon sens : $5\%$5 % de $40$40 essais donnent en moyenne $2$2 succès ; un résultat plus petit que $p$p ne peut pas convenir.

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1. 1

   Avec $n$n appels, $P(X⩾1)=1-0,9^n$P(X ≥ 1) = 1 - 0,9ⁿ.

   On veut $1-0,9^n⩾0,95$1 - 0,9ⁿ ≥ 0,95, soit $0,9^n⩽0,05$0,9ⁿ ≤ 0,05.

2. 2

   Avec le logarithme décimal : $n\log (0,9)⩽\log (0,05)$n log(0,9) ≤ log(0,05), et comme $\log (0,9)<0$log(0,9) < 0, $n⩾\frac{\log (0,05)}{\log (0,9)}\approx 28,4$n ≥ log(0,05)/log(0,9) ≈ 28,4.

3. 3

   Il faut au moins $29$29 appels.

   Vérification : $1-0,9^{28}\approx 0,948$1 - 0,9²⁸ ≈ 0,948 et $1-0,9^{29}\approx 0,953$1 - 0,9²⁹ ≈ 0,953.

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1. 1

   $X$X suit la loi $\mathcal{B}(52;0,95)$B (52 ;0,95), et $E(X)=52\times 0,95=49,4$E(X) = 52 × 0,95 = 49,4.

2. 2

   $P(X=52)=0,95^{52}\approx 0,0694$P(X = 52) = 0,95⁵² ≈ 0,0694 et $P(X=51)=52\times 0,95^{51}\times 0,05\approx 0,1901$P(X = 51) = 52 × 0,95⁵¹ × 0,05 ≈ 0,1901.

3. 3

   $P(X⩾51)\approx 0,2595$P(X ≥ 51) ≈ 0,2595 : dans environ un vol sur quatre, au moins un passager sera refusé.

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1. 1

   $X$X suit la loi $\mathcal{B}(10;0,2)$B (10 ;0,2), et $E(X)=10\times 0,2=2$E(X) = 10 × 0,2 = 2 ventes par heure en moyenne.

2. 2

   $P(X=2)=45\times 0,2^2\times 0,8^8\approx 0,302$P(X = 2) = 45 × 0,2² × 0,8⁸ ≈ 0,302 et $P(X=0)=0,8^{10}\approx 0,107$P(X = 0) = 0,8¹⁰ ≈ 0,107.

3. 3

   On veut $0,8^n⩽0,01$0,8ⁿ ≤ 0,01, soit $n⩾\frac{\log (0,01)}{\log (0,8)}\approx 20,6$n ≥ log(0,01)/log(0,8) ≈ 20,6 : il faut au moins $21$21 appels.