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Exercices corrigés : Fonction inverse — Terminale STMG

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Fonction inverse

Niveau: Terminale STMG
Chapitre: Fonction inverse
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Application directe à type bac

Mis à jour le 12 octobre 2026

Partager une somme entre $n$ n personnes, répartir des coûts fixes sur une production, calculer la durée d'un trajet selon la vitesse : chaque fois, une quantité divise un montant, et la fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ x ↦ 1/x entre en jeu. Ces 20 exercices corrigés couvrent tout le chapitre de Terminale STMG : images et ordres de grandeur, comportement près de $0$ 0 et à l'infini, dérivée $- \frac{1}{x ^{2}}$ -1/x² et sens de variation, tangentes, puis l'étude de fonctions comme $x + \frac{9}{x}$ x + 9/x et la recherche du coût moyen minimal. Les derniers exercices sont des problèmes complets de type bac.

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Exercice 1 — Calculer des images

Application directe

Soit $f (x) = \frac{1}{x}$ f(x) = 1/x.

Calcule $f (5)$ f(5), $f (- 0, 5)$ f(-0,5), $f (0, 25)$ f(0,25) et $f (\frac{2}{3})$ f(2/3).

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1
$f (5) = \frac{1}{5} = 0, 2$ f(5) = 1/5 = 0,2 et $f (- 0, 5) = \frac{1}{- 0 , 5} = - 2$ f(-0,5) = 1/(-0,5) = -2.
2
$f (0, 25) = \frac{1}{0 , 25} = 4$ f(0,25) = 1/0,25 = 4.
3
$f (\frac{2}{3}) = \frac{3}{2} = 1, 5$ f(2/3) = 3/2 = 1,5 : l'inverse d'une fraction s'obtient en la retournant.

Réponse :

0, 2

0,2 ;

- 2

-2 ;

4

4 ;

1, 5

1,5.

Rappel de cours : $\frac{1}{x}$ 1/x a le signe de $x$ x, et l'inverse de $\frac{a}{b}$ a/b est $\frac{b}{a}$ b/a.

Exercice 2 — Ensemble de définition et équations

Application directe

Donne l'ensemble de définition de la fonction inverse, puis résous $\frac{1}{x} = 4$ 1/x = 4, $\frac{1}{x} = - 0, 2$ 1/x = -0,2 et $\frac{1}{x} = 0$ 1/x = 0.

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1
On ne divise pas par $0$ 0 : la fonction inverse est définie sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ ]-∞ ;0[ ∪ ]0 ;+∞[.
2
$\frac{1}{x} = 4 ⟺ x = \frac{1}{4} = 0, 25$ 1/x = 4 ⇔ x = 1/4 = 0,25 ; $\frac{1}{x} = - 0, 2 ⟺ x = \frac{1}{- 0 , 2} = - 5$ 1/x = -0,2 ⇔ x = 1/(-0,2) = -5.
3
$\frac{1}{x} = 0$ 1/x = 0 n'a aucune solution : un quotient de numérateur $1$ 1 n'est jamais nul.

Réponse :

R

ℝ privé de

0

0 ;

x = 0, 25

x = 0,25 ;

x = - 5

x = -5 ; aucune solution.

Exercice 3 — Des ordres de grandeur

Application directe

Calcule l'inverse de $1 0^{4}$ 10⁴, de $0, 0001$ 0,0001 et de $5 \times 1 0^{- 3}$ 5 × 10⁻³.

Que devient l'inverse d'un nombre positif très grand ? très petit ?

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1
$\frac{1}{1 0 ^{4}} = 1 0^{- 4}$ 1/10⁴ = 10⁻⁴ et $\frac{1}{0 , 0001} = \frac{1}{1 0 ^{- 4}} = 1 0^{4}$ 1/0,0001 = 1/10⁻⁴ = 10⁴.
2
$\frac{1}{5 \times 1 0 ^{- 3}} = 0, 2 \times 1 0^{3} = 200$ 1/(5 × 10⁻³) = 0,2 × 10³ = 200.
3
L'inverse d'un nombre positif très grand est très proche de $0$ 0 ; l'inverse d'un nombre positif très proche de $0$ 0 est très grand.

Réponse :

1 0^{- 4}

10⁻⁴ ;

1 0^{4}

10⁴ ;

200

200.

Exercice 4 — Des points sur l'hyperbole

Application directe

Les points $A (5; 0, 2)$ A(5 ;0,2), $B (- 4; 0, 25)$ B(-4 ;0,25) et $C (0, 1; 10)$ C(0,1 ;10) sont-ils sur la courbe de la fonction inverse ?

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1
Un point $(x; y)$ (x ;y) est sur l'hyperbole si et seulement si $x \times y = 1$ x × y = 1.
2
$5 \times 0, 2 = 1$ 5 × 0,2 = 1 : $A$ A est sur la courbe ; $0, 1 \times 10 = 1$ 0,1 × 10 = 1 : $C$ C aussi.
3
$- 4 \times 0, 25 = - 1 \neq = 1$ -4 × 0,25 = -1 ≠ 1 : $B$ B n'y est pas (le point d'abscisse $- 4$ -4 a pour ordonnée $- 0, 25$ -0,25).

Réponse :

A

A et

C

C oui ;

B

B non.

Exercice 5 — Une somme partagée

Application directe

Un gain de $900$ 900 € est partagé à parts égales entre $n$ n personnes.

Exprime la part $p (n)$ p(n) de chacune, calcule-la pour $3$ 3, $6$ 6 et $30$ 30 personnes, puis décris ce qui se passe quand $n$ n double.

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1
$p (n) = \frac{900}{n}$ p(n) = 900/n : $p (3) = 300$ p(3) = 300 €, $p (6) = 150$ p(6) = 150 € et $p (30) = 30$ p(30) = 30 €.
2
$p (2 n) = \frac{900}{2 n} = \frac{p ( n )}{2}$ p(2n) = 900/2n = p(n)/2 : quand le nombre de personnes double, la part est divisée par $2$ 2.
3
La part et le nombre de personnes sont inversement proportionnels.

Réponse :

300

300 € ;

150

150 € ;

30

30 € ; la part est divisée par

2

Exercice 6 — Des nombres dérivés

À maîtriser

Soit $f (x) = \frac{1}{x}$ f(x) = 1/x.

Calcule $f^{'} (2)$ f'(2), $f^{'} (- 1)$ f'(-1) et $f^{'} (0, 1)$ f'(0,1), puis explique pourquoi ils sont tous négatifs.

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1
$f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ f'(x) = -1/x².
2
$f^{'} (2) = - \frac{1}{4} = - 0, 25$ f'(2) = -1/4 = -0,25 ; $f^{'} (- 1) = - 1$ f'(-1) = -1 ; $f^{'} (0, 1) = - \frac{1}{0 , 01} = - 100$ f'(0,1) = -1/0,01 = -100.
3
Un carré non nul est positif, donc $- \frac{1}{x ^{2}}$ -1/x² est toujours négatif.
Près de $0$ 0, la pente est très forte.

Réponse :

- 0, 25

-0,25 ;

- 1

-1 ;

- 100

-100.

Rappel de cours : $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ (1/x)' = -1/x² et $(\frac{k}{x})^{'} = - \frac{k}{x ^{2}}$ (k/x)' = -k/x².

Exercice 7 — Une équation de tangente

À maîtriser

Détermine une équation de la tangente à la courbe de $f (x) = \frac{1}{x}$ f(x) = 1/x au point d'abscisse $3$ 3.

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1
$f (3) = \frac{1}{3}$ f(3) = 1/3 et $f^{'} (3) = - \frac{1}{9}$ f'(3) = -1/9.
2
$y = f^{'} (3) (x - 3) + f (3) = - \frac{1}{9} (x - 3) + \frac{1}{3} = - \frac{x}{9} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ y = f'(3)(x - 3) + f(3) = -1/9(x-3) + 1/3 = -x/9 + 1/3 + 1/3.
3
Donc $y = - \frac{x}{9} + \frac{2}{3}$ y = -x/9 + 2/3.
Vérification : pour $x = 3$ x = 3, $y = - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ y = -1/3 + 2/3 = 1/3.

Réponse :

y = - \frac{x}{9} + \frac{2}{3}

y = -x/9 + 2/3.

Exercice 8 — Le sens de variation et son piège

À maîtriser

Donne le sens de variation de la fonction inverse.

Peut-on dire qu'elle est décroissante sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ ]-∞ ;0[ ∪ ]0 ;+∞[ ?

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1
$f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} < 0$ f'(x) = -1/x² < 0 : $f$ f est strictement décroissante sur $] - \infty; 0 [$ ]-∞ ;0[ et strictement décroissante sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[.
2
Mais pas sur la réunion : $- 1 < 1$ -1 < 1 et pourtant $f (- 1) = - 1 < f (1) = 1$ f(-1) = -1 < f(1) = 1.
3
La décroissance vaut sur chaque intervalle séparément ; d'une branche à l'autre, la courbe « remonte ».

Réponse : Décroissante sur chacun des deux intervalles, mais pas sur leur réunion.

Erreur fréquente : Conclure à une décroissance « sur $R^{*}$ ℝ^(*) » parce que la dérivée est négative.

Exercice 9 — Dériver des combinaisons

À maîtriser

Calcule la dérivée de $f (x) = 3 x + \frac{2}{x}$ f(x) = 3x + 2/x, de $g (x) = x^{2} - \frac{5}{x}$ g(x) = x² - 5/x et de $h (x) = x^{3} + 4 + \frac{1}{x}$ h(x) = x³ + 4 + 1/x sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[.

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Correction détaillée

1
$f^{'} (x) = 3 - \frac{2}{x ^{2}}$ f'(x) = 3 - 2/x².
2
$g^{'} (x) = 2 x - 5 \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = 2 x + \frac{5}{x ^{2}}$ g'(x) = 2x - 5 × (-1/x²) = 2x + 5/x² : attention aux deux signes moins.
3
$h^{'} (x) = 3 x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}$ h'(x) = 3x² - 1/x².

Réponse :

3 - \frac{2}{x ^{2}}

3 - 2/x² ;

2 x + \frac{5}{x ^{2}}

2x + 5/x² ;

3 x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}

3x² - 1/x².

Exercice 10 — Les asymptotes

À maîtriser

Soit $g (x) = \frac{5}{x}$ g(x) = 5/x sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[.

Calcule $g (0, 001)$ g(0,001) et $g (1000)$ g(1000), puis décris les deux asymptotes de sa courbe.

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Correction détaillée

1
$g (0, 001) = 5000$ g(0,001) = 5000 et $g (1000) = 0, 005$ g(1000) = 0,005.
2
Quand $x$ x se rapproche de $0$ 0, $g (x)$ g(x) devient aussi grand que l'on veut : la courbe longe l'axe des ordonnées, asymptote verticale.
3
Quand $x$ x devient très grand, $g (x)$ g(x) se rapproche de $0$ 0 en restant positif : l'axe des abscisses est asymptote horizontale.

Réponse :

5000

5000 ;

0, 005

0,005 ; asymptotes : les deux axes.

Exercice 11 — Encadrer un inverse

À maîtriser

On sait que $4 ⩽ x ⩽ 8$ 4 ≤ x ≤ 8.

Encadre $\frac{1}{x}$ 1/x, puis $\frac{20}{x}$ 20/x.

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Correction détaillée

1
La fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[ : elle inverse l'ordre.
2
Donc $\frac{1}{8} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{4}$ 1/8 ≤ 1/x ≤ 1/4, soit $0, 125 ⩽ \frac{1}{x} ⩽ 0, 25$ 0,125 ≤ 1/x ≤ 0,25.
3
En multipliant par $20 > 0$ 20 > 0 : $2, 5 ⩽ \frac{20}{x} ⩽ 5$ 2,5 ≤ 20/x ≤ 5.

Réponse :

0, 125 ⩽ \frac{1}{x} ⩽ 0, 25

0,125 ≤ 1/x ≤ 0,25 et

2, 5 ⩽ \frac{20}{x} ⩽ 5

2,5 ≤ 20/x ≤ 5.

Exercice 12 — Étudier 2x + 18/x

Type contrôle

Soit $f (x) = 2 x + \frac{18}{x}$ f(x) = 2x + 18/x sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[.

Étudie ses variations et donne son minimum.

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Correction détaillée

1
$f^{'} (x) = 2 - \frac{18}{x ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - 18}{x ^{2}} = \frac{2 ( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ^{2}}$ f'(x) = 2 - 18/x² = (2x² - 18)/x² = (2(x-3)(x+3))/x².
2
Sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[, $x^{2} > 0$ x² > 0 et $x + 3 > 0$ x + 3 > 0 : $f^{'} (x)$ f'(x) a le signe de $x - 3$ x - 3.
3
$f$ f est décroissante sur $] 0; 3]$ ]0 ;3], croissante sur $[3; + \infty [$ [3 ;+∞[, et son minimum vaut $f (3) = 6 + 6 = 12$ f(3) = 6 + 6 = 12.
4
Contrôle : $f (1) = 20$ f(1) = 20 et $f (6) = 15$ f(6) = 15.

Réponse : Minimum

12

12, atteint en

x = 3

x = 3.

Rappel de cours : On réduit la dérivée au même dénominateur $x^{2} > 0$ x² > 0 : elle a le signe du numérateur.

Exercice 13 — Avec un carré

Type contrôle

Soit $f (x) = x^{2} + \frac{54}{x}$ f(x) = x² + 54/x sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[.

Montre que $f^{'} (x) = \frac{2 x ^{3} - 54}{x ^{2}}$ f'(x) = (2x³ - 54)/x², puis détermine le minimum de $f$ f.

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Correction détaillée

1
$f^{'} (x) = 2 x - \frac{54}{x ^{2}} = \frac{2 x ^{3} - 54}{x ^{2}}$ f'(x) = 2x - 54/x² = (2x³ - 54)/x².
2
$2 x^{3} - 54 > 0 ⟺ x^{3} > 27 ⟺ x > 3$ 2x³ - 54 > 0 ⇔ x³ > 27 ⇔ x > 3, car la fonction cube est croissante et $3^{3} = 27$ 3³ = 27.
3
$f$ f décroît sur $] 0; 3]$ ]0 ;3] puis croît : son minimum vaut $f (3) = 9 + 18 = 27$ f(3) = 9 + 18 = 27.

Réponse : Minimum

27

27, atteint en

x = 3

x = 3.

Exercice 14 — Le coût moyen minimal

Type contrôle

Le coût total de production de $q$ q objets est $C (q) = q^{2} + 40 q + 1600$ C(q) = q² + 40q + 1600 euros.

Détermine la production qui minimise le coût moyen $C_{M} (q) = \frac{C ( q )}{q}$ C_M(q) = C(q)/q, et ce coût.

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Correction détaillée

1
$C_{M} (q) = q + 40 + \frac{1600}{q}$ C_M(q) = q + 40 + 1600/q.
2
$C_{M}^{'} (q) = 1 - \frac{1600}{q ^{2}} = \frac{( q - 40 ) ( q + 40 )}{q ^{2}}$ C_M'(q) = 1 - 1600/q² = ((q-40)(q+40))/q², du signe de $q - 40$ q - 40 pour $q > 0$ q > 0.
3
Le coût moyen est minimal pour $40$ 40 objets : $C_{M} (40) = 40 + 40 + 40 = 120$ C_M(40) = 40 + 40 + 40 = 120 € par objet.
4
Contrôle : $C_{M} (10) = 210$ C_M(10) = 210 € et $C_{M} (80) = 140$ C_M(80) = 140 €.

Réponse :

40

40 objets, pour un coût moyen de

120

120 €.

Exercice 15 — Le prix par personne

Type contrôle

Une salle se loue $1500$ 1500 € pour une soirée, et le traiteur facture $20$ 20 € par invité.

Exprime le prix par invité $p (n)$ p(n) pour $n$ n invités.

Combien faut-il d'invités pour que ce prix ne dépasse pas $65$ 65 € ?

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Correction détaillée

1
$p (n) = 20 + \frac{1500}{n}$ p(n) = 20 + 1500/n : la location est partagée, le repas ne l'est pas.
2
$20 + \frac{1500}{n} ⩽ 65 ⟺ \frac{1500}{n} ⩽ 45 ⟺ n ⩾ \frac{1500}{45} \approx 33, 3$ 20 + 1500/n ≤ 65 ⇔ 1500/n ≤ 45 ⇔ n ≥ 1500/45 ≈ 33,3.
3
Il faut au moins $34$ 34 invités.
Par exemple $p (30) = 70$ p(30) = 70 € et $p (34) \approx 64, 12$ p(34) ≈ 64,12 €.

Réponse :

p (n) = 20 + \frac{1500}{n}

p(n) = 20 + 1500/n ; au moins

34

34 invités.

Exercice 16 — Une pente imposée

Type contrôle

En quels points de la courbe de $f (x) = \frac{1}{x}$ f(x) = 1/x la tangente a-t-elle pour coefficient directeur $- 4$ -4 ?

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Correction détaillée

1
On résout $f^{'} (a) = - 4$ f'(a) = -4 : $- \frac{1}{a ^{2}} = - 4 ⟺ a^{2} = \frac{1}{4} ⟺ a = 0, 5$ -1/a² = -4 ⇔ a² = 1/4 ⇔ a = 0,5 ou $a = - 0, 5$ a = -0,5.
2
Les points de contact sont $(0, 5; 2)$ (0,5 ;2) et $(- 0, 5; - 2)$ (-0,5 ;-2), symétriques par rapport à l'origine.
3
Les tangentes ont pour équations $y = - 4 x + 4$ y = -4x + 4 et $y = - 4 x - 4$ y = -4x - 4.

Réponse : Aux points

(0, 5; 2)

(0,5 ;2) et

(- 0, 5; - 2)

(-0,5 ;-2).

Exercice 17 — Une inéquation

Type contrôle

Résous l'inéquation $\frac{3}{x} ⩾ 0, 5$ 3/x ≥ 0,5 sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[.

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Correction détaillée

1
Pour $x > 0$ x > 0, on peut multiplier par $x$ x sans changer le sens : $3 ⩾ 0, 5 x ⟺ x ⩽ 6$ 3 ≥ 0,5x ⇔ x ≤ 6.
2
Avec la condition $x > 0$ x > 0, l'ensemble des solutions est $] 0; 6]$ ]0 ;6].
3
Contrôle : la fonction $x \mapsto \frac{3}{x}$ x ↦ 3/x est décroissante et vaut $0, 5$ 0,5 en $x = 6$ x = 6.

Réponse :

] 0; 6]

]0 ;6].

Exercice 18 — Un enclos le long d'un mur

Type bac / défi

On veut clôturer un enclos rectangulaire de $50$ 50 m² adossé à un mur : seuls trois côtés sont grillagés.

On note $x$ x la profondeur de l'enclos (en m).

1.Montre que la longueur de grillage est $L (x) = 2 x + \frac{50}{x}$ L(x) = 2x + 50/x.
2.Détermine les dimensions qui minimisent la longueur de grillage.

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Correction détaillée

1
Le côté parallèle au mur mesure $\frac{50}{x}$ 50/x ; on grillage deux profondeurs et ce côté : $L (x) = 2 x + \frac{50}{x}$ L(x) = 2x + 50/x.
2
$L^{'} (x) = 2 - \frac{50}{x ^{2}} = \frac{2 ( x - 5 ) ( x + 5 )}{x ^{2}}$ L'(x) = 2 - 50/x² = (2(x-5)(x+5))/x², du signe de $x - 5$ x - 5 pour $x > 0$ x > 0.
3
Le minimum est atteint pour $x = 5$ x = 5 m : l'enclos mesure $5$ 5 m sur $10$ 10 m, et il faut $L (5) = 10 + 10 = 20$ L(5) = 10 + 10 = 20 m de grillage.

Réponse :

5

5 m de profondeur sur

10

10 m de long ;

20

20 m de grillage.

Exercice 19 — Coût moyen ou bénéfice ?

Type bac / défi

On reprend $C (q) = q^{2} + 40 q + 1600$ C(q) = q² + 40q + 1600, dont le coût moyen est minimal pour $q = 40$ q = 40.

Chaque objet est vendu $150$ 150 €.

1.Montre que le bénéfice est $B (q) = - q^{2} + 110 q - 1600$ B(q) = -q² + 110q - 1600.
2.Détermine la production qui maximise le bénéfice et compare avec $B (40)$ B(40).

Voir la correction

Correction détaillée

1
$B (q) = 150 q - (q^{2} + 40 q + 1600) = - q^{2} + 110 q - 1600$ B(q) = 150q - (q² + 40q + 1600) = -q² + 110q - 1600.
2
$B^{'} (q) = - 2 q + 110$ B'(q) = -2q + 110, positive pour $q < 55$ q < 55 et négative ensuite : le bénéfice est maximal pour $55$ 55 objets, avec $B (55) = 1425$ B(55) = 1425 €.
3
Pour $40$ 40 objets, $B (40) = 1200$ B(40) = 1200 € seulement : minimiser le coût moyen n'est pas maximiser le bénéfice.

Réponse :

55

55 objets,

1425

1425 € de bénéfice (contre

1200

1200 € pour

40

40 objets).

Exercice 20 — Problème : la vitesse la plus économique

Type bac / défi

Un camion parcourt $400$ 400 km à la vitesse $v$ v (en km/h), avec $40 ⩽ v ⩽ 110$ 40 ≤ v ≤ 110.

Le coût du trajet est $C (v) = 2 v + \frac{12 800}{v}$ C(v) = 2v + (12 800)/v euros : $\frac{12 800}{v}$ (12 800)/v pour le salaire du chauffeur, $2 v$ 2v pour le carburant.

1.Explique pourquoi le salaire est représenté par un terme en $\frac{1}{v}$ 1/v.
2.Dresse le tableau de variations de $C$ C sur $[40; 110]$ [40 ;110].
3.Quelle vitesse faut-il conseiller ?

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Correction détaillée

1
La durée du trajet est $\frac{400}{v}$ 400/v heures : plus le camion roule vite, moins le chauffeur est payé longtemps.
À $32$ 32 €/h, cela fait $\frac{12 800}{v}$ (12 800)/v.
2
$C^{'} (v) = 2 - \frac{12 800}{v ^{2}} = \frac{2 ( v - 80 ) ( v + 80 )}{v ^{2}}$ C'(v) = 2 - (12 800)/v² = (2(v-80)(v+80))/v², du signe de $v - 80$ v - 80 : $C$ C décroît de $C (40) = 400$ C(40) = 400 € à $C (80) = 320$ C(80) = 320 €, puis croît jusqu'à $C (110) \approx 336, 36$ C(110) ≈ 336,36 €.
3
Le coût est minimal à $80$ 80 km/h : $320$ 320 € pour le trajet.