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Exercices corrigés : Fonctions exponentielles — Terminale STMG

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Fonctions exponentielles

Niveau: Terminale STMG
Chapitre: Fonctions exponentielles
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Application directe à type bac

Mis à jour le 12 octobre 2026

Un capital placé à $4 %$ 4 % par an, une voiture qui perd $12 %$ 12 % de sa valeur chaque année, une population qui gagne $0, 5 %$ 0,5 % par an : toutes ces grandeurs évoluent d'un pourcentage constant, et la fonction $x \mapsto a^{x}$ x ↦ a^(x) permet de les calculer à tout instant, y compris après deux ans et demi ou trois ans en arrière. Ces 20 exercices corrigés installent le calcul de $a^{x}$ a^(x) pour des exposants décimaux ou négatifs, le sens de variation de $k \times a^{x}$ k × a^(x), les propriétés algébriques, puis le taux d'évolution moyen, outil central de la filière. Les derniers exercices sont des problèmes de gestion et d'économie complets.

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Exercice 1 — Calculer des puissances

Application directe

Calcule, arrondis à $1 0^{- 4}$ 10⁻⁴ : $1, 0 8^{0}$ 1,08⁰, $1, 0 8^{2}$ 1,08², $1, 0 8^{- 1}$ 1,08⁻¹ et $1, 0 8^{0, 5}$ 1,08^(0,5).

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Correction détaillée

1
$1, 0 8^{0} = 1$ 1,08⁰ = 1 : toute puissance d'exposant $0$ 0 vaut $1$ 1.
2
$1, 0 8^{2} = 1, 1664$ 1,08² = 1,1664.
3
$1, 0 8^{- 1} = \frac{1}{1 , 08} \approx 0, 9259$ 1,08⁻¹ = 1/1,08 ≈ 0,9259 : l'exposant négatif correspond à l'inverse.
4
$1, 0 8^{0, 5} = 1, 08 \approx 1, 0392$ 1,08^(0,5) = √(1,08) ≈ 1,0392.

Réponse :

1

1 ;

1, 1664

1,1664 ;

\approx 0, 9259

≈ 0,9259 ;

\approx 1, 0392

≈ 1,0392.

Rappel de cours : $a^{0} = 1$ a⁰ = 1, $a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}$ a^(-x) = 1/a^(x), $a^{\frac{1}{2}} = a$ a^(1/2) = √(a).

Exercice 2 — Des valeurs exactes

Application directe

Donne la valeur exacte de $1 6^{0, 5}$ 16^(0,5), $2 7^{\frac{1}{3}}$ 27^(1/3) et $0, 2 5^{- 1}$ 0,25⁻¹.

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1
$1 6^{0, 5} = 16 = 4$ 16^(0,5) = √(16) = 4.
2
$2 7^{\frac{1}{3}}$ 27^(1/3) est le nombre dont le cube vaut $27$ 27 : $3$ 3, car $3^{3} = 27$ 3³ = 27.
3
$0, 2 5^{- 1} = \frac{1}{0 , 25} = 4$ 0,25⁻¹ = 1/0,25 = 4.

Réponse :

4

4 ;

3

3 ;

4

Exercice 3 — Un placement de durée non entière

Application directe

Un capital de $2500$ 2500 € est placé à $4 %$ 4 % par an : $C (x) = 2500 \times 1, 0 4^{x}$ C(x) = 2500 × 1,04^(x), $x$ x en années.

1.Calcule sa valeur après $1$ 1 an et $6$ 6 mois.
2.Calcule sa valeur après $3$ 3 ans et $3$ 3 mois.

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1
Un an et six mois font $x = 1, 5$ x = 1,5 : $C (1, 5) = 2500 \times 1, 0 4^{1, 5} \approx 2651, 49$ C(1,5) = 2500 × 1,04^(1,5) ≈ 2651,49 €.
2
Trois ans et trois mois font $x = 3 + \frac{3}{12} = 3, 25$ x = 3 + 3/12 = 3,25 : $C (3, 25) = 2500 \times 1, 0 4^{3, 25} \approx 2839, 87$ C(3,25) = 2500 × 1,04^(3,25) ≈ 2839,87 €.
3
On convertit toujours les mois en fraction d'année, puisque le coefficient $1, 04$ 1,04 est annuel.

Réponse : Environ

2651, 49

2651,49 € et

2839, 87

2839,87 €.

Exercice 4 — Sens de variation

Application directe

Donne le sens de variation de $f (x) = 1, 0 5^{x}$ f(x) = 1,05^(x), $g (x) = 0, 7^{x}$ g(x) = 0,7^(x), $h (x) = - 3 \times 1, 2^{x}$ h(x) = -3 × 1,2^(x) et $m (x) = 500 \times 0, 9^{x}$ m(x) = 500 × 0,9^(x).

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Correction détaillée

1
$f$ f : base $1, 05 > 1$ 1,05 > 1, donc croissante.
2
$g$ g : base $0, 7 < 1$ 0,7 < 1, donc décroissante.
3
$h$ h : $1, 2^{x}$ 1,2^(x) est croissante, mais le coefficient $- 3$ -3 est négatif et inverse le sens : $h$ h est décroissante.
4
$m$ m : base $0, 9 < 1$ 0,9 < 1 et coefficient $500 > 0$ 500 > 0 : décroissante.

Réponse :

f

f croissante ;

g

h

h et

m

m décroissantes.

Erreur fréquente : Oublier le signe de $k$ k : un coefficient négatif inverse le sens de variation de $a^{x}$ a^(x).

Exercice 5 — Regrouper des puissances

Application directe

Écris $1, 0 7^{3} \times 1, 0 7^{2}$ 1,07³ × 1,07² sous la forme d'une seule puissance et calcule-la.

Interprète pour un prix qui augmente de $7 %$ 7 % par an.

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Correction détaillée

1
On additionne les exposants : $1, 0 7^{3} \times 1, 0 7^{2} = 1, 0 7^{5} \approx 1, 4026$ 1,07³ × 1,07² = 1,07⁵ ≈ 1,4026.
2
Trois années puis deux années de hausse à $7 %$ 7 % équivalent à cinq années de hausse : le prix augmente d'environ $40, 26 %$ 40,26 %.

Réponse :

1, 0 7^{5} \approx 1, 4026

1,07⁵ ≈ 1,4026, soit

+ 40, 26 %

+40,26 % en

5

5 ans.

Rappel de cours : $a^{x} \times a^{y} = a^{x + y}$ a^(x) × a^(y) = a^(x+y).

Exercice 6 — Le rôle de la base

À maîtriser

Compare sans calculatrice : $1, 3^{2, 5}$ 1,3^(2,5) et $1, 3^{4}$ 1,3⁴ ; $0, 6^{- 1}$ 0,6⁻¹ et $0, 6^{2}$ 0,6².

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Correction détaillée

1
$1, 3 > 1$ 1,3 > 1 : la fonction $x \mapsto 1, 3^{x}$ x ↦ 1,3^(x) est croissante, et $2, 5 < 4$ 2,5 < 4, donc $1, 3^{2, 5} < 1, 3^{4}$ 1,3^(2,5) < 1,3⁴.
2
$0, 6 < 1$ 0,6 < 1 : la fonction $x \mapsto 0, 6^{x}$ x ↦ 0,6^(x) est décroissante, et $- 1 < 2$ -1 < 2, donc l'ordre s'inverse : $0, 6^{- 1} > 0, 6^{2}$ 0,6⁻¹ > 0,6².
3
Contrôle : $0, 6^{- 1} \approx 1, 67$ 0,6⁻¹ ≈ 1,67 et $0, 6^{2} = 0, 36$ 0,6² = 0,36.

Réponse :

1, 3^{2, 5} < 1, 3^{4}

1,3^(2,5) < 1,3⁴ ;

0, 6^{- 1} > 0, 6^{2}

0,6⁻¹ > 0,6².

Exercice 7 — Une voiture qui se déprécie

À maîtriser

Une voiture achetée $7000$ 7000 € perd $12 %$ 12 % de sa valeur par an.

Écris le modèle $V (x)$ V(x) et estime sa valeur au bout de $2$ 2 ans et demi, puis de $4$ 4 ans.

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1
Perdre $12 %$ 12 % par an, c'est multiplier par $0, 88$ 0,88 : $V (x) = 7000 \times 0, 8 8^{x}$ V(x) = 7000 × 0,88^(x).
2
$V (2, 5) = 7000 \times 0, 8 8^{2, 5} \approx 5085, 16$ V(2,5) = 7000 × 0,88^(2,5) ≈ 5085,16 €.
3
$V (4) = 7000 \times 0, 8 8^{4} \approx 4197, 87$ V(4) = 7000 × 0,88⁴ ≈ 4197,87 € : en quatre ans, la voiture a perdu environ $40 %$ 40 % de sa valeur.

Réponse :

V (x) = 7000 \times 0, 8 8^{x}

V(x) = 7000 × 0,88^(x) ; environ

5085, 16

5085,16 € et

4197, 87

4197,87 €.

Exercice 8 — Simplifier une expression

À maîtriser

Montre que, pour tout réel $x$ x, $\frac{3 ^{x + 2}}{3 ^{x}} = 9$ (3^(x+2))/3^(x) = 9 et que $(2^{x})^{3} = 8^{x}$ (2^(x))³ = 8^(x).

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Correction détaillée

1
$\frac{3 ^{x + 2}}{3 ^{x}} = 3^{(x + 2) - x} = 3^{2} = 9$ (3^(x+2))/3^(x) = 3^((x+2) - x) = 3² = 9 : on soustrait les exposants.
2
$(2^{x})^{3} = 2^{3 x} = (2^{3})^{x} = 8^{x}$ (2^(x))³ = 2^(3x) = (2³)^(x) = 8^(x) : on multiplie les exposants, puis on regroupe la base.

Réponse :

\frac{3 ^{x + 2}}{3 ^{x}} = 9

(3^(x+2))/3^(x) = 9 et

(2^{x})^{3} = 8^{x}

(2^(x))³ = 8^(x).

Rappel de cours : $\frac{a ^{x}}{a ^{y}} = a^{x - y}$ a^(x)/a^(y) = a^(x-y) et $(a^{x})^{n} = a^{n x}$ (a^(x))ⁿ = a^(nx).

Exercice 9 — Taux moyen sur deux et trois ans

À maîtriser

Calcule le taux annuel moyen dans chaque cas.

1.Un prix a augmenté de $44 %$ 44 % en $2$ 2 ans.
2.Un capital a été multiplié par $1, 331$ 1,331 en $3$ 3 ans.

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1
Premier cas : $1 + t_{m} = 1, 4 4^{\frac{1}{2}} = 1, 44 = 1, 2$ 1 + t_m = 1,44^(1/2) = √(1,44) = 1,2, soit $+ 20 %$ +20 % par an.
2
Second cas : $1 + t_{m} = 1, 33 1^{\frac{1}{3}} = 1, 1$ 1 + t_m = 1,331^(1/3) = 1,1, soit $+ 10 %$ +10 % par an.
3
Contrôles : $1, 2^{2} = 1, 44$ 1,2² = 1,44 et $1, 1^{3} = 1, 331$ 1,1³ = 1,331.

Réponse :

20 %

20 % et

10 %

10 % par an.

Rappel de cours : Taux moyen sur $n$ n périodes : $1 + t_{m} = (C M_{global})^{\frac{1}{n}}$ 1 + t_m = (CM_global)^(1/n).

Exercice 10 — Taux moyen d'une hausse de 60 %

À maîtriser

Le prix d'un logement a augmenté de $60 %$ 60 % en $5$ 5 ans.

Calcule le taux annuel moyen, puis le taux mensuel équivalent à $6 %$ 6 % par an.

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1
$1 + t_{m} = 1, 6^{\frac{1}{5}} = 1, 6^{0, 2} \approx 1, 09856$ 1 + t_m = 1,6^(1/5) = 1,6^(0,2) ≈ 1,09856, soit environ $9, 86 %$ 9,86 % par an, et non $\frac{60}{5} = 12 %$ 60/5 = 12 %.
2
Pour $6 %$ 6 % par an, le coefficient mensuel est $1, 0 6^{\frac{1}{12}} \approx 1, 004868$ 1,06^(1/12) ≈ 1,004868, soit environ $0, 49 %$ 0,49 % par mois.

Réponse : Environ

9, 86 %

9,86 % par an ; environ

0, 49 %

0,49 % par mois.

Erreur fréquente : Diviser le taux global par le nombre de périodes : les évolutions se composent, elles ne s'additionnent pas.

Exercice 11 — Une baisse moyenne

Type contrôle

Les ventes d'un magazine ont baissé de $19 %$ 19 % en deux ans.

Calcule le taux annuel moyen de baisse.

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Correction détaillée

1
Le coefficient global est $0, 81$ 0,81, sur deux ans : $1 + t_{m} = 0, 8 1^{\frac{1}{2}} = 0, 9$ 1 + t_m = 0,81^(1/2) = 0,9.
2
Le taux annuel moyen vaut $0, 9 - 1 = - 0, 1$ 0,9 - 1 = -0,1 : les ventes ont baissé en moyenne de $10 %$ 10 % par an.
3
Contrôle : $0, 9 \times 0, 9 = 0, 81$ 0,9 × 0,9 = 0,81.

Réponse :

- 10 %

-10 % par an.

Exercice 12 — Trois années contrastées

Type contrôle

Un chiffre d'affaires a évolué de $+ 20 %$ +20 %, $- 10 %$ -10 % puis $+ 15 %$ +15 %.

Calcule le coefficient global et le taux annuel moyen.

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1
$C M_{global} = 1, 2 \times 0, 9 \times 1, 15 = 1, 242$ CM_global = 1,2 × 0,9 × 1,15 = 1,242, soit $+ 24, 2 %$ +24,2 % en trois ans.
2
$1 + t_{m} = 1, 24 2^{\frac{1}{3}} \approx 1, 07491$ 1 + t_m = 1,242^(1/3) ≈ 1,07491 : environ $+ 7, 49 %$ +7,49 % par an.
3
Le taux moyen est inférieur à la moyenne des trois taux, $\frac{20 - 10 + 15}{3} \approx 8, 33 %$ (20 - 10 + 15)/3 ≈ 8,33 %.

Réponse :

1, 242

1,242 ; environ

7, 49 %

7,49 % par an.

Exercice 13 — Passé et futur d'un salaire

Type contrôle

Un salaire annuel de $40000$ 40 000 € augmente de $2, 5 %$ 2,5 % par an.

Quel était-il il y a $4$ 4 ans ?

Quel sera-t-il dans $2$ 2 ans et demi ?

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1
Avec $S (x) = 40000 \times 1, 02 5^{x}$ S(x) = 40 000 × 1,025^(x), il y a quatre ans correspond à $x = - 4$ x = -4 : $S (- 4) = \frac{40 000}{1 , 02 5 ^{4}} \approx 36238, 03$ S(-4) = (40 000)/1,025⁴ ≈ 36 238,03 €.
2
Dans deux ans et demi : $S (2, 5) = 40000 \times 1, 02 5^{2, 5} \approx 42547, 07$ S(2,5) = 40 000 × 1,025^(2,5) ≈ 42 547,07 €.
3
L'exposant négatif traduit un retour dans le passé : on divise par le coefficient.

Réponse : Environ

36238, 03

36 238,03 € il y a

4

4 ans ;

42547, 07

42 547,07 € dans

2, 5

2,5 ans.

Exercice 14 — Repérer une erreur

Type contrôle

Un élève affirme : « $2^{3} \times 2^{5} = 4^{8}$ 2³ × 2⁵ = 4⁸ » et « $f (x) = - 2 \times 0, 5^{x}$ f(x) = -2 × 0,5^(x) est décroissante car $0, 5 < 1$ 0,5 < 1 ».

Corrige.

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1
Première erreur : pour un produit de même base, on garde la base et on additionne les exposants, $2^{3} \times 2^{5} = 2^{8} = 256$ 2³ × 2⁵ = 2⁸ = 256 ; $4^{8} = 65536$ 4⁸ = 65 536 est faux.
2
Seconde erreur : $0, 5^{x}$ 0,5^(x) est décroissante, mais le coefficient $- 2$ -2 est négatif et inverse le sens.
$f$ f est croissante.
3
Contrôle : $f (0) = - 2$ f(0) = -2 et $f (1) = - 1$ f(1) = -1, donc $f (1) > f (0)$ f(1) > f(0).

Réponse :

2^{3} \times 2^{5} = 2^{8}

2³ × 2⁵ = 2⁸ ;

f

f est croissante.

Exercice 15 — Une demi-vie

Type contrôle

La masse d'un produit radioactif de $3000$ 3000 mg est divisée par $2$ 2 tous les $6$ 6 jours : $M (t) = 3000 \times 0, 5^{\frac{t}{6}}$ M(t) = 3000 × 0,5^(t/6), $t$ t en jours.

Calcule la masse restante après $10$ 10 jours.

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1
En $t$ t jours, il s'écoule $\frac{t}{6}$ t/6 demi-vies : on multiplie autant de fois par $0, 5$ 0,5.
2
$M (10) = 3000 \times 0, 5^{\frac{10}{6}} \approx 944, 94$ M(10) = 3000 × 0,5^(10/6) ≈ 944,94 mg.
3
Contrôle : après $6$ 6 jours, il reste $1500$ 1500 mg, et après $12$ 12 jours $750$ 750 mg ; $944, 94$ 944,94 mg est bien entre les deux.

Réponse : Environ

944, 94

944,94 mg.

Exercice 16 — Deux placements

Type bac / défi

Le placement A, de $1000$ 1000 €, rapporte $5 %$ 5 % par an ; le placement B, de $1300$ 1300 €, rapporte $2 %$ 2 % par an.

1.Écris les modèles $A (t)$ A(t) et $B (t)$ B(t).
2.À l'aide des valeurs pour $t = 8$ t = 8, $9$ 9 et $10$ 10, détermine à partir de quelle année A vaut plus que B.

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1
$A (t) = 1000 \times 1, 0 5^{t}$ A(t) = 1000 × 1,05^(t) et $B (t) = 1300 \times 1, 0 2^{t}$ B(t) = 1300 × 1,02^(t), toutes deux croissantes.
2
$A (8) \approx 1477, 46$ A(8) ≈ 1477,46 et $B (8) \approx 1523, 16$ B(8) ≈ 1523,16 ; $A (9) \approx 1551, 33$ A(9) ≈ 1551,33 et $B (9) \approx 1553, 62$ B(9) ≈ 1553,62 ; $A (10) \approx 1628, 89$ A(10) ≈ 1628,89 et $B (10) \approx 1584, 69$ B(10) ≈ 1584,69.
3
A rattrape B au cours de la dixième année : à partir de $t = 10$ t = 10, le placement A vaut plus.
Le taux plus élevé finit par compenser l'écart de départ de $300$ 300 €.

Réponse : A dépasse B à partir de la dixième année.

Exercice 17 — Un coefficient semestriel

Type bac / défi

Une population augmente de $30 %$ 30 % en un an.

Quel est le coefficient multiplicateur semestriel équivalent ?

Et le taux semestriel ?

Vérifie avec une hausse annuelle de $69 %$ 69 %.

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1
Le coefficient semestriel $c$ c vérifie $c^{2} = 1, 3$ c² = 1,3, donc $c = 1, 3^{\frac{1}{2}} \approx 1, 1402$ c = 1,3^(1/2) ≈ 1,1402 : environ $+ 14, 02 %$ +14,02 % par semestre, et non $15 %$ 15 %.
2
Pour une hausse annuelle de $69 %$ 69 % : $c = 1, 6 9^{\frac{1}{2}} = 1, 3$ c = 1,69^(1/2) = 1,3, soit exactement $+ 30 %$ +30 % par semestre, puisque $1, 3^{2} = 1, 69$ 1,3² = 1,69.

Réponse :

c \approx 1, 1402

c ≈ 1,1402, soit

+ 14, 02 %

+14,02 % par semestre ;

1, 6 9^{\frac{1}{2}} = 1, 3

1,69^(1/2) = 1,3.

Exercice 18 — Un médicament heure par heure

Type bac / défi

Un médicament a une demi-vie de $24$ 24 heures.

On en injecte $100$ 100 mg.

1.Quel est le coefficient multiplicateur horaire ?
2.Quelle quantité reste-t-il au bout de $36$ 36 heures ?

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1
Toutes les $24$ 24 heures, la quantité est multipliée par $0, 5$ 0,5.
Le coefficient horaire $c$ c vérifie $c^{24} = 0, 5$ c²⁴ = 0,5, donc $c = 0, 5^{\frac{1}{24}} \approx 0, 97153$ c = 0,5^(1/24) ≈ 0,97153 : environ $2, 85 %$ 2,85 % de moins chaque heure.
2
Au bout de $36$ 36 heures : $100 \times 0, 5^{\frac{36}{24}} = 100 \times 0, 5^{1, 5} \approx 35, 36$ 100 × 0,5^(36/24) = 100 × 0,5^(1,5) ≈ 35,36 mg.

Réponse :

c \approx 0, 97153

c ≈ 0,97153 ; environ

35, 36

35,36 mg.

Exercice 19 — Doublement et taux moyen

Type bac / défi

Un capital placé à $4 %$ 4 % par an est multiplié par $1, 0 4^{10}$ 1,04¹⁰ en dix ans.

Une autre banque promet $+ 20 %$ +20 % en quatre ans.

Compare les deux offres à l'aide de leurs taux annuels moyens.

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1
Première offre : $4 %$ 4 % par an, soit $1, 0 4^{10} \approx 1, 4802$ 1,04¹⁰ ≈ 1,4802 en dix ans.
2
Seconde offre : $1 + t_{m} = 1, 2^{\frac{1}{4}} \approx 1, 04664$ 1 + t_m = 1,2^(1/4) ≈ 1,04664, soit environ $4, 66 %$ 4,66 % par an.
3
La seconde offre est plus intéressante : $4, 66 %$ 4,66 % par an contre $4 %$ 4 %.
Comparer des taux sur des durées différentes impose de les ramener à un taux annuel moyen.

Réponse : Seconde offre : environ

4, 66 %

4,66 % par an contre

4 %

4 %.

Exercice 20 — Synthèse : la valeur d'une entreprise

Type bac / défi

La valeur d'une entreprise, $150000$ 150 000 € aujourd'hui, augmente de $3 %$ 3 % par an : $V (x) = 150000 \times 1, 0 3^{x}$ V(x) = 150 000 × 1,03^(x).

1.Justifie que $V$ V est croissante.
2.Calcule $V (4)$ V(4) et $V (- 2)$ V(-2), et interprète.
3.Calcule le coefficient mensuel équivalent et le coefficient sur dix ans.

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Correction détaillée

1
$k = 150000 > 0$ k = 150 000 > 0 et $a = 1, 03 > 1$ a = 1,03 > 1 : $V$ V est strictement croissante.
2
$V (4) \approx 168826, 32$ V(4) ≈ 168 826,32 € : valeur dans quatre ans.
$V (- 2) = \frac{150 000}{1 , 0 3 ^{2}} \approx 141389, 39$ V(-2) = (150 000)/1,03² ≈ 141 389,39 € : valeur il y a deux ans.
3
Coefficient mensuel : $1, 0 3^{\frac{1}{12}} \approx 1, 002466$ 1,03^(1/12) ≈ 1,002466, soit environ $0, 25 %$ 0,25 % par mois.
Sur dix ans : $1, 0 3^{10} \approx 1, 3439$ 1,03¹⁰ ≈ 1,3439, soit environ $+ 34, 39 %$ +34,39 %.

Réponse :

V

V croissante ·

\approx 168826, 32

≈ 168 826,32 € et

141389, 39

141 389,39 € ·

\approx 1, 002466

≈ 1,002466 et

1, 3439

1,3439.

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