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Exercices corrigés : Probabilités conditionnelles — Terminale STMG

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Probabilités conditionnelles

Niveau: Terminale STMG
Chapitre: Probabilités conditionnelles
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Application directe à type bac

Mis à jour le 12 octobre 2026

Un test positif signifie-t-il qu'on est malade ? Quelle part des pièces défectueuses vient de la machine la plus ancienne ? Les probabilités conditionnelles répondent à ces questions, au cœur de l'épreuve de Terminale STMG. Ces 20 exercices corrigés couvrent tout le chapitre : lire $P_{A} (B)$ P_A(B) dans un tableau croisé ou une phrase, construire un arbre pondéré, multiplier le long d'un chemin, appliquer la formule des probabilités totales, « inverser » un conditionnement, puis reconnaître deux événements indépendants. Les derniers exercices sont des problèmes complets de type bac.

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Exercice 1 — Lire un tableau croisé

Application directe

Une boutique a reçu $200$ 200 clients : $80$ 80 hommes, dont $48$ 48 ont acheté en ligne, et $120$ 120 femmes, dont $72$ 72 ont acheté en ligne.

On choisit un client au hasard ; on note $H$ H « c'est un homme » et $L$ L « il a acheté en ligne ».

Calcule $P (H \cap L)$ P(H ∩ L), $P_{H} (L)$ P_H(L) et $P_{L} (H)$ P_L(H).

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Correction détaillée

1
$P (H \cap L) = \frac{48}{200} = 0, 24$ P(H ∩ L) = 48/200 = 0,24 : on divise par l'effectif total.
2
$P_{H} (L) = \frac{48}{80} = 0, 6$ P_H(L) = 48/80 = 0,6 : parmi les hommes.
3
$120$ 120 clients ont acheté en ligne ( $48 + 72$ 48 + 72), donc $P_{L} (H) = \frac{48}{120} = 0, 4$ P_L(H) = 48/120 = 0,4 : parmi les acheteurs en ligne.

Réponse :

0, 24

0,24 ;

0, 6

0,6 ;

0, 4

0,4.

Rappel de cours : $P_{A} (B) = \frac{effectif de A \cap B}{effectif de A}$ P_A(B) = (effectif de A ∩ B)/(effectif de A) : l'événement « sachant » donne le dénominateur.

Exercice 2 — Appliquer la définition

Application directe

On sait que $P (A) = 0, 5$ P(A) = 0,5 et $P (A \cap B) = 0, 15$ P(A ∩ B) = 0,15.

Calcule $P_{A} (B)$ P_A(B) et $P_{A} (\overline{B})$ P_A(B̅).

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1
$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{0 , 15}{0 , 5} = 0, 3$ P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A) = 0,15/0,5 = 0,3.
2
$P_{A} (\overline{B}) = 1 - P_{A} (B) = 0, 7$ P_A(B̅) = 1 - P_A(B) = 0,7.

Réponse :

P_{A} (B) = 0, 3

P_A(B) = 0,3 ;

P_{A} (\overline{B}) = 0, 7

P_A(B̅) = 0,7.

Exercice 3 — Traduire un énoncé

Application directe

On choisit au hasard un salarié d'une entreprise ; $F$ F : « il suit une formation », $C$ C : « il est cadre ».

Traduis : a) $25 %$ 25 % des salariés sont cadres ; b) $60 %$ 60 % des cadres suivent une formation ; c) $15 %$ 15 % des salariés sont des cadres en formation.

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1
a) La référence est l'ensemble des salariés : $P (C) = 0, 25$ P(C) = 0,25.
2
b) La référence est l'ensemble des cadres : $P_{C} (F) = 0, 6$ P_C(F) = 0,6.
3
c) La référence est l'ensemble des salariés, et l'on parle des cadres **et** en formation : $P (C \cap F) = 0, 15$ P(C ∩ F) = 0,15.
On vérifie : $0, 25 \times 0, 6 = 0, 15$ 0,25 × 0,6 = 0,15.

Réponse :

P (C) = 0, 25

P(C) = 0,25 ;

P_{C} (F) = 0, 6

P_C(F) = 0,6 ;

P (C \cap F) = 0, 15

P(C ∩ F) = 0,15.

Exercice 4 — Calculer une intersection

Application directe

$35 %$ 35 % des clients d'une banque ont un crédit immobilier ; parmi eux, $60 %$ 60 % ont aussi une assurance habitation dans la banque.

Quelle est la probabilité qu'un client ait un crédit immobilier et une assurance habitation ?

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1
On note $I$ I « crédit immobilier » et $A$ A « assurance habitation » : $P (I) = 0, 35$ P(I) = 0,35 et $P_{I} (A) = 0, 6$ P_I(A) = 0,6.
2
$P (I \cap A) = P (I) \times P_{I} (A) = 0, 35 \times 0, 6 = 0, 21$ P(I ∩ A) = P(I) × P_I(A) = 0,35 × 0,6 = 0,21.

Réponse :

0, 21

0,21.

Exercice 5 — Deux conditionnements différents

Application directe

On tire une carte d'un jeu de $32$ 32 cartes.

$T$ T : « c'est un trèfle » ; $F$ F : « c'est une figure » (valet, dame ou roi).

Calcule $P_{T} (F)$ P_T(F) et $P_{F} (T)$ P_F(T).

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1
Il y a $8$ 8 trèfles, $12$ 12 figures et $3$ 3 figures de trèfle.
2
$P_{T} (F) = \frac{3}{8} = 0, 375$ P_T(F) = 3/8 = 0,375 : parmi les $8$ 8 trèfles, $3$ 3 figures.
3
$P_{F} (T) = \frac{3}{12} = 0, 25$ P_F(T) = 3/12 = 0,25 : parmi les $12$ 12 figures, $3$ 3 trèfles.
Inverser le conditionnement change le résultat.

Réponse :

P_{T} (F) = 0, 375

P_T(F) = 0,375 ;

P_{F} (T) = 0, 25

P_F(T) = 0,25.

Exercice 6 — Construire un arbre

À maîtriser

$35 %$ 35 % des visiteurs d'un site créent un compte ( $A$ A).

$60 %$ 60 % de ceux qui ont un compte achètent ( $B$ B), contre $20 %$ 20 % des autres.

Décris l'arbre pondéré et calcule la probabilité de chacun des quatre chemins.

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Correction détaillée

1
Premier niveau : $P (A) = 0, 35$ P(A) = 0,35, $P (\overline{A}) = 0, 65$ P(A̅) = 0,65.
Second niveau : $P_{A} (B) = 0, 6$ P_A(B) = 0,6, $P_{A} (\overline{B}) = 0, 4$ P_A(B̅) = 0,4, $P_{\overline{A}} (B) = 0, 2$ P_A̅(B) = 0,2, $P_{\overline{A}} (\overline{B}) = 0, 8$ P_A̅(B̅) = 0,8.
2
$P (A \cap B) = 0, 35 \times 0, 6 = 0, 21$ P(A ∩ B) = 0,35 × 0,6 = 0,21 ; $P (A \cap \overline{B}) = 0, 35 \times 0, 4 = 0, 14$ P(A ∩ B̅) = 0,35 × 0,4 = 0,14.
3
$P (\overline{A} \cap B) = 0, 65 \times 0, 2 = 0, 13$ P(A̅ ∩ B) = 0,65 × 0,2 = 0,13 ; $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 0, 65 \times 0, 8 = 0, 52$ P(A̅ ∩ B̅) = 0,65 × 0,8 = 0,52.
4
Contrôle : $0, 21 + 0, 14 + 0, 13 + 0, 52 = 1$ 0,21 + 0,14 + 0,13 + 0,52 = 1.

Réponse :

0, 21

0,21 ;

0, 14

0,14 ;

0, 13

0,13 ;

0, 52

0,52.

Rappel de cours : Probabilité d'un chemin = produit des probabilités de ses branches.

Exercice 7 — La probabilité totale

À maîtriser

Avec l'arbre de l'exercice précédent ( $P (A) = 0, 35$ P(A) = 0,35, $P_{A} (B) = 0, 6$ P_A(B) = 0,6, $P_{\overline{A}} (B) = 0, 2$ P_A̅(B) = 0,2), calcule la probabilité qu'un visiteur achète.

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1
$A$ A et $\overline{A}$ A̅ forment une partition : deux chemins mènent à $B$ B.
2
$P (B) = P (A \cap B) + P (\overline{A} \cap B) = 0, 21 + 0, 13 = 0, 34$ P(B) = P(A ∩ B) + P(A̅ ∩ B) = 0,21 + 0,13 = 0,34.

Réponse :

P (B) = 0, 34

P(B) = 0,34.

Rappel de cours : $P (B) = P (A) \times P_{A} (B) + P (\overline{A}) \times P_{\overline{A}} (B)$ P(B) = P(A) × P_A(B) + P(A̅) × P_A̅(B).

Exercice 8 — Inverser le conditionnement

À maîtriser

Toujours avec $P (A \cap B) = 0, 21$ P(A ∩ B) = 0,21 et $P (B) = 0, 34$ P(B) = 0,34 : un visiteur a acheté.

Quelle est la probabilité qu'il ait un compte ?

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Correction détaillée

1
On cherche $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ P_B(A) = (P(A ∩ B))/P(B).
2
$P_{B} (A) = \frac{0 , 21}{0 , 34} \approx 0, 618$ P_B(A) = 0,21/0,34 ≈ 0,618.
3
Environ $62 %$ 62 % des acheteurs ont un compte, alors que seulement $35 %$ 35 % des visiteurs en ont un.

Réponse :

P_{B} (A) \approx 0, 618

P_B(A) ≈ 0,618.

Exercice 9 — Compléter un arbre

À maîtriser

Dans un arbre « $A$ A puis $B$ B », on connaît $P (\overline{A}) = 0, 6$ P(A̅) = 0,6, $P_{A} (\overline{B}) = 0, 25$ P_A(B̅) = 0,25 et $P_{\overline{A}} (B) = 0, 5$ P_A̅(B) = 0,5.

Donne toutes les autres pondérations, puis $P (A \cap B)$ P(A ∩ B).

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1
Règle des nœuds : $P (A) = 1 - 0, 6 = 0, 4$ P(A) = 1 - 0,6 = 0,4 ; $P_{A} (B) = 1 - 0, 25 = 0, 75$ P_A(B) = 1 - 0,25 = 0,75 ; $P_{\overline{A}} (\overline{B}) = 1 - 0, 5 = 0, 5$ P_A̅(B̅) = 1 - 0,5 = 0,5.
2
$P (A \cap B) = 0, 4 \times 0, 75 = 0, 3$ P(A ∩ B) = 0,4 × 0,75 = 0,3.

Réponse :

P (A) = 0, 4

P(A) = 0,4 ;

P_{A} (B) = 0, 75

P_A(B) = 0,75 ;

P_{\overline{A}} (\overline{B}) = 0, 5

P_A̅(B̅) = 0,5 ;

P (A \cap B) = 0, 3

P(A ∩ B) = 0,3.

Exercice 10 — Un tirage sans remise

À maîtriser

Une urne contient $4$ 4 boules rouges et $2$ 2 boules bleues.

On tire successivement deux boules sans remise.

Calcule la probabilité d'obtenir deux boules rouges.

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Correction détaillée

1
Au premier tirage, $P (R_{1}) = \frac{4}{6}$ P(R₁) = 4/6.
2
Si la première est rouge, il reste $3$ 3 rouges sur $5$ 5 boules : $P_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{3}{5}$ P_R₁(R₂) = 3/5.
3
$P (R_{1} \cap R_{2}) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = 0, 4$ P(R₁ ∩ R₂) = 4/6 × 3/5 = 12/30 = 0,4.

Réponse :

0, 4

0,4.

Exercice 11 — Tester une indépendance

À maîtriser

On sait que $P (A) = 0, 5$ P(A) = 0,5, $P (B) = 0, 3$ P(B) = 0,3 et $P (A \cap B) = 0, 15$ P(A ∩ B) = 0,15.

Les événements $A$ A et $B$ B sont-ils indépendants ?

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Correction détaillée

1
On compare $P (A \cap B)$ P(A ∩ B) au produit $P (A) \times P (B) = 0, 5 \times 0, 3 = 0, 15$ P(A) × P(B) = 0,5 × 0,3 = 0,15.
2
Les deux sont égaux : $A$ A et $B$ B sont indépendants.
3
On le vérifie aussi avec $P_{A} (B) = \frac{0 , 15}{0 , 5} = 0, 3 = P (B)$ P_A(B) = 0,15/0,5 = 0,3 = P(B).

Réponse : Oui :

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Rappel de cours : $A$ A et $B$ B indépendants $⟺ P_{A} (B) = P (B) ⟺ P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ ⇔ P_A(B) = P(B) ⇔ P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Exercice 12 — D'où viennent les défauts ?

Type contrôle

Une machine ancienne produit $25 %$ 25 % des pièces, avec $8 %$ 8 % de défauts ; une machine récente produit le reste, avec $3 %$ 3 % de défauts.

1.Calcule la proportion de pièces défectueuses.
2.Une pièce est défectueuse : quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine ancienne ?

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Correction détaillée

1
Avec $A$ A « machine ancienne » et $D$ D « défectueuse » : $P (D) = 0, 25 \times 0, 08 + 0, 75 \times 0, 03 = 0, 02 + 0, 0225 = 0, 0425$ P(D) = 0,25 × 0,08 + 0,75 × 0,03 = 0,02 + 0,0225 = 0,0425.
2
$P_{D} (A) = \frac{0 , 02}{0 , 0425} \approx 0, 471$ P_D(A) = 0,02/0,0425 ≈ 0,471.
3
La machine ancienne fait un quart des pièces mais près de la moitié des défauts.

Réponse :

0, 0425

0,0425 ;

\approx 0, 471

≈ 0,471.

Exercice 13 — Trois fournisseurs

Type contrôle

Trois fournisseurs livrent $50 %$ 50 %, $30 %$ 30 % et $20 %$ 20 % des colis, avec des taux de retard de $6 %$ 6 %, $5 %$ 5 % et $10 %$ 10 %.

1.Quelle est la probabilité qu'un colis soit en retard ?
2.Un colis est en retard : quelle est la probabilité qu'il vienne du troisième fournisseur ?

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1
Partition en trois : $P (R) = 0, 5 \times 0, 06 + 0, 3 \times 0, 05 + 0, 2 \times 0, 1 = 0, 03 + 0, 015 + 0, 02 = 0, 065$ P(R) = 0,5 × 0,06 + 0,3 × 0,05 + 0,2 × 0,1 = 0,03 + 0,015 + 0,02 = 0,065.
2
$P_{R} (F_{3}) = \frac{0 , 02}{0 , 065} \approx 0, 308$ P_R(F₃) = 0,02/0,065 ≈ 0,308.

Réponse :

0, 065

0,065 ;

\approx 0, 308

≈ 0,308.

Exercice 14 — Un test de dépistage

Type contrôle

Une maladie touche $1 %$ 1 % de la population.

Le test est positif chez $90 %$ 90 % des malades et chez $5 %$ 5 % des personnes saines.

1.Calcule la probabilité qu'un test soit positif.
2.Le test est positif : quelle est la probabilité d'être malade ? Commente.

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Correction détaillée

1
$P (T) = 0, 01 \times 0, 9 + 0, 99 \times 0, 05 = 0, 009 + 0, 0495 = 0, 0585$ P(T) = 0,01 × 0,9 + 0,99 × 0,05 = 0,009 + 0,0495 = 0,0585.
2
$P_{T} (M) = \frac{0 , 009}{0 , 0585} \approx 0, 154$ P_T(M) = 0,009/0,0585 ≈ 0,154.
3
Seulement $15 %$ 15 % environ des tests positifs correspondent à des malades : la maladie est rare et les faux positifs sont nombreux.

Réponse :

0, 0585

0,0585 ;

\approx 0, 154

≈ 0,154.

Erreur fréquente : Confondre $P_{M} (T) = 0, 9$ P_M(T) = 0,9 avec $P_{T} (M)$ P_T(M).

Exercice 15 — Une indépendance dans un tableau

Type contrôle

On reprend la boutique de l'exercice 1 : $200$ 200 clients, $80$ 80 hommes dont $48$ 48 acheteurs en ligne, $120$ 120 femmes dont $72$ 72 acheteuses en ligne.

Les événements $H$ H et $L$ L sont-ils indépendants ?

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Correction détaillée

1
$P_{H} (L) = \frac{48}{80} = 0, 6$ P_H(L) = 48/80 = 0,6 et $P (L) = \frac{120}{200} = 0, 6$ P(L) = 120/200 = 0,6.
2
$P_{H} (L) = P (L)$ P_H(L) = P(L) : les événements sont indépendants.
3
Chez les femmes aussi, $\frac{72}{120} = 0, 6$ 72/120 = 0,6 : la proportion d'achats en ligne est la même dans les deux groupes.

Réponse : Oui :

P_{H} (L) = P (L) = 0, 6

P_H(L) = P(L) = 0,6.

Exercice 16 — Incompatibles ou indépendants ?

Type contrôle

On lance un dé équilibré.

$A$ A : « on obtient $1$ 1 ou $2$ 2 » ; $B$ B : « on obtient $6$ 6 ».

Les événements $A$ A et $B$ B sont-ils incompatibles ? indépendants ?

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Correction détaillée

1
$A \cap B = \emptyset$ A ∩ B = ∅ : les événements sont incompatibles, et $P (A \cap B) = 0$ P(A ∩ B) = 0.
2
$P (A) \times P (B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18} \neq = 0$ P(A) × P(B) = 1/3 × 1/6 = 1/18 ≠ 0 : ils ne sont pas indépendants.
3
Savoir que $A$ A est réalisé rend $B$ B impossible : c'est le contraire de l'indépendance.

Réponse : Incompatibles, mais pas indépendants.

Exercice 17 — Retrouver P(A)

Type contrôle

On sait que $P_{A} (B) = 0, 9$ P_A(B) = 0,9, $P_{\overline{A}} (B) = 0, 4$ P_A̅(B) = 0,4 et $P (B) = 0, 6$ P(B) = 0,6.

Calcule $P (A)$ P(A).

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Correction détaillée

1
On note $x = P (A)$ x = P(A).
Probabilités totales : $0, 9 x + 0, 4 (1 - x) = 0, 6$ 0,9x + 0,4(1 - x) = 0,6.
2
$0, 5 x + 0, 4 = 0, 6$ 0,5x + 0,4 = 0,6, donc $x = 0, 4$ x = 0,4.
3
Contrôle : $0, 4 \times 0, 9 + 0, 6 \times 0, 4 = 0, 36 + 0, 24 = 0, 6$ 0,4 × 0,9 + 0,6 × 0,4 = 0,36 + 0,24 = 0,6.

Réponse :

P (A) = 0, 4

P(A) = 0,4.

Exercice 18 — Deux contrôles indépendants

Type bac / défi

Deux contrôles indépendants détectent un défaut avec les probabilités $0, 85$ 0,85 et $0, 9$ 0,9.

On considère une pièce défectueuse.

1.Quelle est la probabilité que les deux contrôles détectent le défaut ?
2.Quelle est la probabilité qu'au moins un contrôle le détecte ?

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Correction détaillée

1
Par indépendance : $0, 85 \times 0, 9 = 0, 765$ 0,85 × 0,9 = 0,765.
2
Aucun ne détecte avec la probabilité $0, 15 \times 0, 1 = 0, 015$ 0,15 × 0,1 = 0,015 (les contraires sont aussi indépendants).
3
Au moins un contrôle détecte le défaut avec la probabilité $1 - 0, 015 = 0, 985$ 1 - 0,015 = 0,985.

Réponse :

0, 765

0,765 ;

0, 985

0,985.

Exercice 19 — Problème : une campagne d'e-mails

Type bac / défi

Une enseigne envoie un e-mail promotionnel.

$40 %$ 40 % des clients l'ouvrent ( $O$ O).

$15 %$ 15 % de ceux qui l'ouvrent achètent ( $A$ A), contre $2 %$ 2 % de ceux qui ne l'ouvrent pas.

1.Calcule la probabilité qu'un client achète.
2.Un client a acheté : quelle est la probabilité qu'il ait ouvert l'e-mail ?
3.Les événements $O$ O et $A$ A sont-ils indépendants ?

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Correction détaillée

1
$P (A) = 0, 4 \times 0, 15 + 0, 6 \times 0, 02 = 0, 06 + 0, 012 = 0, 072$ P(A) = 0,4 × 0,15 + 0,6 × 0,02 = 0,06 + 0,012 = 0,072.
2
$P_{A} (O) = \frac{0 , 06}{0 , 072} \approx 0, 833$ P_A(O) = 0,06/0,072 ≈ 0,833 : cinq acheteurs sur six ont ouvert l'e-mail.
3
$P_{O} (A) = 0, 15 \neq = 0, 072 = P (A)$ P_O(A) = 0,15 ≠ 0,072 = P(A) : non indépendants.
Ouvrir l'e-mail multiplie la probabilité d'achat par plus de $2$ 2 par rapport à la moyenne.

Réponse :

0, 072

0,072 ;

\approx 0, 833

≈ 0,833 ; non.

Exercice 20 — Problème : une question sensible

Type bac / défi

Pour savoir quelle proportion $p$ p d'élèves a déjà copié sur un voisin, chacun lance une pièce en secret : sur « pile », il répond honnêtement ; sur « face », il répond « oui » quoi qu'il arrive.

On obtient $62 %$ 62 % de « oui ».

1.Exprime la probabilité de répondre « oui » en fonction de $p$ p.
2.Estime $p$ p.

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Correction détaillée

1
Arbre « pile / face » puis « oui / non » : $P (oui) = 0, 5 \times p + 0, 5 \times 1 = 0, 5 p + 0, 5$ P( oui ) = 0,5 × p + 0,5 × 1 = 0,5p + 0,5.
2
$0, 5 p + 0, 5 = 0, 62 ⟺ 0, 5 p = 0, 12 ⟺ p = 0, 24$ 0,5p + 0,5 = 0,62 ⇔ 0,5p = 0,12 ⇔ p = 0,24.
3
Environ $24 %$ 24 % des élèves ont déjà copié.
Un « oui » ne trahit personne, puisqu'il peut venir de la pièce.