Ce que dit la formule
x, x², x³, √(x) tendent vers +∞ quand x → +∞. Pour un quotient avec dénominateur tendant vers 0⁺, la fonction tend vers +∞.
Une limite infinie en un point donne une asymptote verticale.
Ces limites de référence servent de briques : on ramène toute limite compliquée à une combinaison de celles-ci, en factorisant par le terme dominant.
Les vitesses de divergence diffèrent pourtant : x² grandit beaucoup plus vite que √(x). Cette comparaison devient essentielle dès qu'on rencontre une forme indéterminée.
Exemple
lim_x→+∞(x² + 1) = +∞ ; lim_x→ 2⁺1/(x-2) = +∞.
Deuxième exemple
lim_x→ 3⁻1/(x-3) = -∞ et lim_x→ 3⁺1/(x-3) = +∞ : le dénominateur tend vers 0 en changeant de signe, la limite change donc de signe selon le côté d'approche.
Piège à éviter
+∞ n'est pas un nombre : c'est une description du comportement (« ça grandit sans limite »).
Les autres formules de la limite infinie
Questions fréquentes
Comment un quotient peut-il tendre vers l'infini ?
Quand le dénominateur tend vers 0 sans que le numérateur ne s'annule : diviser par un nombre de plus en plus petit donne un résultat de plus en plus grand.
Pourquoi préciser si on approche par la gauche ou par la droite ?
Parce que le signe de la limite en dépend. Pour 1/(x-3), s'approcher de 3 par la gauche donne -∞, par la droite +∞.
Toutes les fonctions croissantes tendent-elles vers l'infini ?
Non. Une fonction peut croître en restant bornée, comme x ↦ 1 - 1/x, qui croît vers 1 sans jamais le dépasser.
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