Pourquoi « non (a et b) » ne veut-il pas dire « non a et non b », et pourquoi cette erreur cause-t-elle tant de bugs ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En NSI, j'ai écrit une boucle censée continuer « tant qu'on n'a pas trouvé l'élément et qu'on n'est pas à la fin », et elle ne s'arrêtait jamais. J'avais mal traduit la négation de ma condition d'arrêt. Mon professeur m'a parlé des lois de De Morgan, que j'ai retrouvées en mathématiques pour le complémentaire d'une intersection. J'ai voulu comprendre pourquoi notre intuition se trompe si souvent.

L'enjeu et les notions du programme

Démontrer une équivalence logique par une table de vérité et par les ensembles, et l'appliquer à l'écriture correcte de conditions.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Dans un programme, on doit souvent écrire le contraire d'une condition : la boucle continue tant que la condition d'arrêt n'est pas remplie. Problématique : comment nier correctement « a et b » ou « a ou b » ?

2. 2. Mathématiques : deux démonstrations

   4 min

   Table de vérité : pour les 4 couples $(a;b)$(a;b), on compare $\neg (a\wedge b)$neg(awedge b) et $\neg a\vee \neg b$neg aveeneg b. Pour $(V;V)$(V;V) : $F$F et $F$F. Pour $(V;F)$(V;F) : $V$V et $V$V. Pour $(F;V)$(F;V) : $V$V et $V$V. Pour $(F;F)$(F;F) : $V$V et $V$V. Les colonnes sont identiques : les deux expressions sont équivalentes. En revanche, $\neg a\wedge \neg b$neg awedgeneg b vaut $F$F pour $(V;F)$(V;F) : ce n'est pas la négation de $a\wedge b$awedge b.

   Version ensembliste : le complémentaire de $A\cap B$A∩ B est $\bar{A}\cup \bar{B}$bar A∪bar B (ne pas être dans les deux, c'est manquer au moins l'un), et le complémentaire de $A\cup B$A∪ B est $\bar{A}\cap \bar{B}$bar A∩bar B. En probabilités : $P(\overline{A\cap B})=P(\bar{A}\cup \bar{B})$P(A∩ B̅)=P(bar A∪bar B).

   Exemple : la négation de « il pleut et il fait froid » est « il ne pleut pas ou il ne fait pas froid ». Dire « il ne pleut pas et il ne fait pas froid » est beaucoup plus fort.

3. 3. NSI : écrire des conditions justes

   3 min

   Une recherche s'arrête quand on a trouvé l'élément ou atteint la fin : condition d'arrêt « trouve or i == n ». La boucle continue donc tant que « not (trouve or i == n) », c'est-à-dire « not trouve and i < n ». Écrire « not trouve or i < n » ferait continuer la boucle même après avoir trouvé l'élément, tant qu'on n'est pas à la fin, et l'écrire avec « and » à la place de « or » dans la condition d'arrêt changerait tout le comportement.

   En SQL, la clause « WHERE NOT (age > 18 AND ville = 'Lyon') » sélectionne les personnes mineures ou hors de Lyon. Les lois de De Morgan servent aussi à simplifier les circuits et à transformer un test pour le rendre plus lisible.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Nier « a et b » donne « non a ou non b » : la négation échange ET et OU. Une table de vérité ou un dessin d'ensembles suffit à le démontrer, et cette règle évite des boucles infinies et des requêtes fausses. J'ouvre sur la négation des quantificateurs : la négation de « pour tout » est « il existe ».

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Nier chaque terme sans échanger ET et OU.
• Confondre « ne pas être dans A et B » et « n'être ni dans A ni dans B ».
• Oublier que la négation de « < » est « ≥ ».

Revoir les notions

• Probabilités (introduction) (Seconde) →
• Algorithmique et Python (Première spé maths) →

Autres questions : logique et calculabilité

• Peut-on écrire un programme qui détecte tous les programmes qui tournent en boucle infinie ?
• Existe-t-il des nombres qu'aucun programme ne pourra jamais calculer ?
• Combien de fonctions logiques différentes peut-on construire avec n entrées, et peut-on toutes les réaliser avec ET, OU, NON ?
• Comment démontrer qu'un algorithme avec une boucle donne toujours le bon résultat ?

Toutes les questions maths-nsi →