Questions de Grand oral en maths seules
Des questions adossées au seul programme de spécialité mathématiques, valables quelle que soit votre seconde spécialité. Chacune est traitée comme le jury l'attend : motivation, enjeu, plan minuté, calcul clé au tableau et questions probables de l'échange.
L'infini, les suites et les limites
Additionner une infinité de termes, rattraper une tortue, approcher √2 : l'infini apprivoisé par les limites.
- Peut-on additionner une infinité de nombres et obtenir un résultat fini ?Une somme infinie a un sens grâce à la limite de ses sommes partielles : 1 + 1/2 + 1/4 + … vaut 2, alors que 1 + 1/2 + 1/3 + … dépasse tout nombre, même si ses termes tendent vers 0.Plan, tableau et questions du jury →
- Achille peut-il rattraper la tortue ? Le paradoxe de Zénon à la lumière des suitesLe raisonnement de Zénon découpe la course en une infinité d'étapes ; les suites géométriques montrent que ces étapes durent un temps total fini : Achille rattrape la tortue après 100/9 secondes.Plan, tableau et questions du jury →
- 0,999… est-il vraiment égal à 1 ?L'écriture 0,999… désigne la limite de la suite 0,9 ; 0,99 ; 0,999… ; cette limite est exactement 1, ce que confirment trois démonstrations indépendantes.Plan, tableau et questions du jury →
- Une suite qui augmente toujours finit-elle forcément par dépasser tous les nombres ?Non : une suite croissante et majorée converge (théorème de convergence monotone). Exemple d'une suite définie par récurrence qui croît vers 2 sans jamais l'atteindre.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi une croissance exponentielle finit-elle toujours par dépasser une croissance polynomiale ?Les croissances comparées : eˣ/x tend vers +∞, puis eˣ/xⁿ aussi, quel que soit n. Exemple : 2ⁿ dépasse définitivement n¹⁰ à partir de n = 59.Plan, tableau et questions du jury →
- Une figure peut-elle avoir un périmètre infini et une aire finie ?Le flocon de Koch : son périmètre est multiplié par 4/3 à chaque étape et tend vers l'infini, alors que son aire converge vers 8/5 de celle du triangle de départ.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment calculer √2 avec autant de décimales qu'on veut ?La méthode de Héron, uₙ₊₁ = (uₙ + 2/uₙ)/2, converge vers √2 en doublant à peu près le nombre de décimales exactes à chaque étape : 1,4142135623… dès la 4ᵉ itération.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi une fonction continue ne peut-elle pas « sauter » une valeur ?Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence de solutions d'équations qu'on ne sait pas résoudre, comme x³ + x − 1 = 0, et la dichotomie permet de les approcher.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on empiler des livres pour qu'ils dépassent du bord d'une table aussi loin qu'on veut ?Avec n livres de longueur 1, le débord maximal vaut (1 + 1/2 + … + 1/n)/2 : il tend vers l'infini, mais il faut 227 livres pour dépasser de trois longueurs.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi a-t-on besoin de la notion de limite pour parler de vitesse instantanée ?La vitesse instantanée est la limite des vitesses moyennes sur des durées de plus en plus courtes : c'est la définition du nombre dérivé, et elle seule lève le paradoxe du « temps nul ».Plan, tableau et questions du jury →
Exponentielle et logarithme
Le nombre e, la croissance exponentielle qui trompe l'intuition et le logarithme qui transforme les produits en sommes.
- Pourquoi le nombre e est-il si important en mathématiques ?Le nombre e ≈ 2,718 apparaît à la fois comme limite de (1 + 1/n)ⁿ, issue des intérêts composés, et comme valeur en 1 de la seule fonction égale à sa dérivée : deux chemins qui mènent au même nombre.Plan, tableau et questions du jury →
- Placer son argent avec des intérêts versés plus souvent rapporte-t-il sans limite ?Pour un taux annuel r, capitaliser n fois par an donne (1 + r/n)ⁿ ; ce gain augmente avec n mais reste borné par eʳ : 1 000 € à 5 % rapportent au plus 51,27 € par an, même en capitalisation continue.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi l'exponentielle est-elle la seule fonction égale à sa dérivée ?Si f′ = f et f(0) = 1, la fonction f × exp(−x) a une dérivée nulle : elle est constante, égale à 1, donc f = exp. Une démonstration courte qui fonde tout le chapitre.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment le logarithme a-t-il transformé les multiplications en additions ?La propriété ln(ab) = ln a + ln b, démontrée par la dérivation, explique les tables de Napier et la règle à calcul : on multiplie en additionnant des longueurs.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi utilise-t-on des échelles logarithmiques pour représenter certaines données ?Une échelle logarithmique transforme une croissance exponentielle y = C·eᵏᵗ en droite (ln y = ln C + kt) et permet de lire un taux de croissance comme une pente ; elle rend aussi lisibles des données qui couvrent plusieurs ordres de grandeur.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi la « règle de 70 » donne-t-elle le temps de doublement d'une quantité ?Une quantité qui croît de r % par an double en ln 2 / ln(1 + r/100) années, soit environ 70/r car ln 2 ≈ 0,69 et ln(1 + x) ≈ x : 35 ans à 2 %, environ 10 ans à 7 %.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on atteindre la Lune en pliant une feuille de papier ?Une feuille de 0,1 mm dont l'épaisseur double à chaque pliage dépasserait la distance Terre-Lune après 42 pliages : la puissance du doublement, calculée avec le logarithme, et les limites physiques du modèle.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment savoir combien de chiffres a un nombre immense sans l'écrire ?Un entier N ≥ 1 a ⌊log₁₀ N⌋ + 1 chiffres. Avec ln, on trouve que 2¹⁰⁰ a 31 chiffres sans le calculer, ce que l'on vérifie en encadrant 2¹⁰⁰ entre deux puissances de 10.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi notre intuition se trompe-t-elle face à une croissance exponentielle ?Un nénuphar qui double chaque jour couvre la moitié de l'étang la veille du dernier jour ; les grains de riz de l'échiquier totalisent 2⁶⁴ − 1. Le calcul explique pourquoi l'exponentielle déjoue notre intuition linéaire.Plan, tableau et questions du jury →
- Le logarithme tend vers l'infini : pourquoi croît-il pourtant si lentement ?ln x tend vers +∞, mais ln(10⁹) ≈ 20,7 : il faut multiplier x par e ≈ 2,72 pour gagner 1. Sa dérivée 1/x tend vers 0 et ln x / x → 0, ce qui explique cette lenteur.Plan, tableau et questions du jury →
Hasard et probabilités
Tests médicaux, anniversaires, loto, sondages : quand le calcul corrige l'intuition.
- Faut-il croire un test de dépistage positif ?Avec une maladie touchant 1 % de la population et un test fiable à 99 % chez les malades et 98 % chez les non-malades, un résultat positif ne correspond à un malade qu'une fois sur trois : la formule des probabilités totales et l'inversion du conditionnement l'expliquent.Plan, tableau et questions du jury →
- Dans une classe de 23 élèves, est-il probable que deux aient le même anniversaire ?Avec 23 personnes, la probabilité que deux partagent leur anniversaire dépasse 50 % (50,7 %) ; elle atteint 97 % avec 50 personnes. Le calcul passe par l'événement contraire, et une approximation par l'exponentielle explique le nombre 23.Plan, tableau et questions du jury →
- Au jeu de Monty Hall, faut-il changer de porte ?Derrière l'une de trois portes se trouve une voiture ; après l'ouverture d'une porte perdante par l'animateur, changer de choix fait gagner avec probabilité 2/3 et non 1/2. Un arbre pondéré le démontre.Plan, tableau et questions du jury →
- Un jeu de hasard peut-il être favorable au joueur ?L'espérance d'une variable aléatoire mesure le gain moyen par partie : à la roulette, miser 1 € sur le rouge rapporte en moyenne −1/37 € ; au Loto, la probabilité du gros lot est de 1 sur 19 068 840. Les jeux proposés au public ont une espérance négative pour le joueur.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment un sondage auprès de 1 000 personnes peut-il renseigner sur tout un pays ?La précision d'un sondage dépend de la taille de l'échantillon, pas de celle de la population : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit que, sur 1 000 personnes, la fréquence observée s'écarte de plus de 5 points de la vraie proportion avec une probabilité au plus 10 %.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi le chevalier de Méré perdait-il au jeu du double six ?Obtenir au moins un six en 4 lancers a une probabilité de 0,518, mais au moins un double six en 24 lancers de deux dés seulement 0,491 : la règle de proportionnalité intuitive de Méré était fausse, comme l'a montré Pascal en 1654.Plan, tableau et questions du jury →
- Les coïncidences extraordinaires sont-elles vraiment improbables ?Un événement d'une chance sur un million par personne et par jour arrive en moyenne 68 fois par jour en France : avec un grand nombre d'essais indépendants, l'improbable devient presque certain, comme le montre 1 − (1 − p)ⁿ.Plan, tableau et questions du jury →
- Répondre au hasard à un QCM peut-il rapporter des points ?Sur un QCM de 20 questions à 4 choix, répondre au hasard donne en moyenne 5 bonnes réponses, et une chance sur 72 d'en avoir au moins 10. Avec une pénalité de 1/3 de point par erreur, l'espérance devient nulle : c'est le principe des barèmes négatifs.Plan, tableau et questions du jury →
- Le hasard est-il prévisible ?Un lancer de pièce est imprévisible, mais la fréquence de « pile » sur 10 000 lancers est presque sûrement proche de 1/2 : la loi des grands nombres et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev rendent le hasard prévisible en moyenne.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on calculer une probabilité difficile en simulant le hasard ?Quand un calcul exact est trop complexe, on répète l'expérience en Python et on prend la fréquence observée ; la loi des grands nombres justifie la méthode et Bienaymé-Tchebychev indique combien de simulations faire pour une précision donnée.Plan, tableau et questions du jury →
Dénombrement
Mots de passe, grilles de loto, jeux de cartes : compter sans tout énumérer.
- Combien de caractères faut-il pour qu'un mot de passe soit sûr ?Un mot de passe de 8 lettres minuscules se trouve en 21 secondes à 10 milliards d'essais par seconde ; 12 caractères parmi 94 demandent 1,5 million d'années. Le nombre de p-uplets, n puissance p, mesure la sécurité.Plan, tableau et questions du jury →
- Un mélange de cartes a-t-il déjà existé dans l'histoire ?Un jeu de 52 cartes peut être ordonné de 52! ≈ 8 × 10⁶⁷ façons : même en mélangeant des milliards de jeux par seconde depuis le Big Bang, on n'en aurait exploré qu'une fraction infime. Un mélange bien fait est presque sûrement inédit.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi le triangle de Pascal donne-t-il les coefficients du développement de (a + b)ⁿ ?Le coefficient de aᵏbⁿ⁻ᵏ dans (a + b)ⁿ compte les façons de choisir k facteurs « a » parmi n : c'est C(n, k). La relation de Pascal, démontrée par dénombrement, explique la construction du triangle.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien de chemins les plus courts relient deux coins d'une ville quadrillée ?Pour aller du coin (0 ; 0) au coin (m ; n) en avançant vers l'est ou le nord, un chemin est une suite de m + n pas dont on choisit les n pas « nord » : il y en a C(m + n, n), soit 184 756 dans une grille 10 × 10.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi un ensemble de n éléments possède-t-il 2ⁿ sous-ensembles ?Trois démonstrations d'un même résultat : coder chaque partie par une suite de n choix oui/non, raisonner par récurrence, ou additionner les C(n, k) avec le binôme. Avec 10 garnitures, on peut composer 1 024 pizzas.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien de poignées de main échangent n personnes qui se saluent toutes ?n personnes échangent n(n − 1)/2 poignées de main : on peut compter les paires avec C(n, 2), ou additionner 1 + 2 + … + (n − 1) comme Gauss. Le même calcul donne le nombre de matchs d'un championnat.Plan, tableau et questions du jury →
- Le système français de plaques d'immatriculation suffira-t-il longtemps ?Avec le format AA-123-AA, en excluant les lettres I, O et U et le nombre 000, on dispose d'environ 23⁴ × 999 ≈ 280 millions de plaques : le principe multiplicatif estime la durée de vie du système.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien d'anagrammes possède un mot dont certaines lettres se répètent ?Le mot MATHS a 5! = 120 anagrammes, mais MISSISSIPPI n'en a que 34 650 : on choisit successivement les positions de chaque lettre avec des combinaisons, ou on divise 11! par les permutations des lettres identiques.Plan, tableau et questions du jury →
- Quand l'ordre compte-t-il dans un dénombrement ?Un podium de 3 coureurs parmi 8 se compte en arrangements (336), un groupe de 3 qualifiés en combinaisons (56) : le rapport 3! = 6 mesure l'information apportée par l'ordre.Plan, tableau et questions du jury →
- Au poker, pourquoi une couleur bat-elle une suite ?Parmi les 2 598 960 mains de 5 cartes, il y a 10 200 suites et 5 108 couleurs (quintes flush exclues) : la couleur est deux fois plus rare, donc plus forte. La hiérarchie du poker est un classement par dénombrement.Plan, tableau et questions du jury →
Dérivation et optimisation
Canette, boîte, tangente, convexité : la dérivée comme outil de décision.
- Quelle forme donner à une canette pour utiliser le moins de métal possible ?Pour un cylindre de volume fixé, la surface est minimale quand la hauteur est égale au diamètre ; une canette de 33 cl optimale aurait un rayon de 3,7 cm. Les vraies canettes s'en écartent pourtant peu en coût, car la surface varie lentement près de son minimum.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment découper une feuille carrée pour fabriquer la boîte de plus grand volume ?En découpant des carrés de côté x aux coins d'un carton de 30 cm, le volume vaut x(30 − 2x)² ; la dérivée s'annule pour x = 5 cm et le volume maximal est 2 000 cm³.Plan, tableau et questions du jury →
- En quel sens la tangente est-elle la meilleure approximation d'une courbe ?Près d'un point, f(a + h) = f(a) + h f′(a) + h ε(h) avec ε(h) → 0 : la tangente est la seule droite dont l'écart avec la courbe devient négligeable devant h. Exemple : √4,04 ≈ 2,01.Plan, tableau et questions du jury →
- À quoi sert la convexité d'une fonction ?Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes et sous ses cordes : on en déduit en une ligne eˣ ≥ 1 + x, ln x ≤ x − 1, ou l'inégalité (a + b)/2 ≥ √(ab) grâce à la concavité du logarithme.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment résoudre une équation qu'aucune formule ne permet de résoudre ?La méthode de Newton remplace la courbe par sa tangente et itère xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) ; pour x³ + x − 1 = 0, trois itérations depuis 1 donnent 0,68234, avec cinq décimales exactes.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment repérer mathématiquement le moment où une croissance commence à ralentir ?Une grandeur qui suit une courbe en S croît de plus en plus vite puis de moins en moins vite ; le basculement est un point d'inflexion, où la dérivée seconde change de signe et où la vitesse de croissance est maximale.Plan, tableau et questions du jury →
- Quel prix fixer pour obtenir la plus grande recette ?Si la quantité vendue baisse quand le prix monte, la recette p × q(p) atteint un maximum : avec q(p) = 1 000 e^{−0,05p}, le prix optimal est 20 € et la recette maximale 20 000/e ≈ 7 358 €.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment trouver le point d'une courbe le plus proche d'un point donné ?Minimiser la distance revient à minimiser son carré : pour la parabole y = x² et le point (0 ; 1), on obtient deux points d'abscisse ±1/√2 à la distance √3/2, et non le sommet de la parabole.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi le carré est-il le rectangle de plus grande aire à périmètre donné ?À périmètre 2p fixé, l'aire d'un rectangle de côtés x et p − x vaut x(p − x), maximale pour x = p/2 : trois démonstrations (trinôme, dérivée, identité remarquable) d'un même fait géométrique.Plan, tableau et questions du jury →
- À quelle distance faut-il se placer pour voir un tableau sous le plus grand angle ?Un tableau accroché entre 1 m et 3 m au-dessus des yeux est vu sous un angle maximal à √3 ≈ 1,73 m du mur, où l'angle vaut 30° : la moyenne géométrique des deux hauteurs, obtenue par la dérivation.Plan, tableau et questions du jury →
Intégration
Aires, valeurs moyennes, π par le hasard : l'intégrale comme somme d'une infinité de petits morceaux.
- Comment calculer l'aire d'une surface délimitée par une courbe ?En découpant la surface sous y = x² en rectangles de plus en plus fins, les sommes encadrent l'aire et convergent vers 1/3 ; le théorème fondamental de l'analyse donne ce résultat en une ligne grâce à une primitive.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment démontrer que l'aire d'un disque vaut πr² ?En découpant un disque en anneaux concentriques d'épaisseur dt, chaque anneau a une aire proche de 2πt dt ; l'intégrale de 2πt entre 0 et r donne πr². Le périmètre et l'aire du cercle sont liés par une primitive.Plan, tableau et questions du jury →
- Que signifie la température moyenne d'une journée, et comment la calculer ?La valeur moyenne d'une fonction sur [a ; b] est (1/(b − a)) ∫ f : c'est la hauteur du rectangle de même aire. Pour T(t) = 15 + 5 sin(πt/12), la moyenne sur 24 h est 15 °C, mais sur les 12 h de jour environ 18,2 °C.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment calculer une intégrale quand on ne connaît aucune primitive ?La fonction e^{−x²} n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles ; les méthodes des rectangles et des trapèzes donnent pourtant ∫₀¹ e^{−x²} dx ≈ 0,7468 avec une précision contrôlée.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on calculer π en lançant des points au hasard ?Un point tiré au hasard dans un carré de côté 1 tombe dans le quart de disque avec probabilité π/4 ; la fréquence observée sur N points estime π/4, avec une précision garantie par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment Archimède a-t-il encadré π sans calculatrice ?Les périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle, n sin(π/n) et n tan(π/n), encadrent π et convergent vers lui ; avec 96 côtés, Archimède obtient 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7.Plan, tableau et questions du jury →
- À quoi sert l'intégration par parties ?Issue de la dérivée d'un produit, l'intégration par parties transforme une intégrale difficile en une plus simple : elle donne ∫₁ᵉ ln x dx = 1 et ∫₀¹ x eˣ dx = 1, et permet de trouver une primitive du logarithme.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi dériver et intégrer sont-elles des opérations inverses l'une de l'autre ?Si F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, alors F′ = f : l'aire sous la courbe augmente, quand x varie de h, d'environ f(x) × h. Ce théorème fondamental unit deux problèmes historiquement séparés, les tangentes et les aires.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment retrouver la distance parcourue à partir de l'enregistrement de la vitesse ?La distance parcourue est l'intégrale de la vitesse : une voiture qui freine de 30 m/s à l'arrêt avec v(t) = 30 − 6t parcourt 75 m en 5 s, l'aire du triangle sous la courbe de vitesse.Plan, tableau et questions du jury →
- Le logarithme peut-il se définir comme une aire ?ln x est l'aire sous l'hyperbole y = 1/t entre 1 et x ; cette définition explique ln(ab) = ln a + ln b et permet d'encadrer ln 2 entre 0,5 et 1, puis de l'approcher à 0,693 par les trapèzes.Plan, tableau et questions du jury →
Suites et récurrence
Récurrence, Fibonacci, Syracuse, emprunts : les suites pour modéliser pas à pas.
- Comment peut-on démontrer une propriété pour une infinité d'entiers ?Le raisonnement par récurrence ramène une infinité de vérifications à deux : l'initialisation et l'hérédité. Exemple : 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n², et un contre-exemple qui montre pourquoi les deux étapes sont indispensables.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi le nombre d'or apparaît-il dans la suite de Fibonacci ?Le quotient de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d'or φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618, seule limite possible car elle doit vérifier φ = 1 + 1/φ.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi une suite aussi simple que celle de Syracuse résiste-t-elle aux mathématiciens ?Diviser par 2 si le nombre est pair, multiplier par 3 et ajouter 1 s'il est impair : toutes les suites testées finissent par 1, mais personne ne sait le démontrer. Partant de 27, il faut 111 étapes et l'on monte jusqu'à 9 232.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien de déplacements faut-il pour résoudre les tours de Hanoï ?Pour déplacer n disques, il faut déplacer n − 1 disques, puis le plus grand, puis à nouveau n − 1 disques : hₙ₊₁ = 2hₙ + 1, d'où hₙ = 2ⁿ − 1. Avec 64 disques, à un déplacement par seconde, il faudrait 585 milliards d'années.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment une banque calcule-t-elle la mensualité d'un emprunt ?Le capital restant dû suit Cₙ₊₁ = (1 + t)Cₙ − M ; imposer C₂₄₀ = 0 donne M = C·t / (1 − (1 + t)⁻ⁿ). Pour 200 000 € à 3 % sur 20 ans, la mensualité est de 1 109 € et le coût du crédit d'environ 66 200 €.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi certains systèmes finissent-ils par se stabiliser autour d'un équilibre ?Une association perd chaque année 20 % de ses membres et en accueille 20 nouveaux : uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 20 converge vers 100, quel que soit l'effectif de départ, car l'écart à 100 est multiplié par 0,8 chaque année.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment une suite peut-elle converger en oscillant autour de sa limite ?La suite uₙ₊₁ = 1/(1 + uₙ) saute alternativement au-dessus et en dessous de sa limite (√5 − 1)/2 ≈ 0,618, car la fonction f est décroissante ; le diagramme en escalier et en escargot visualise ce comportement.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment savoir à partir de quand une suite dépasse un seuil ?Un capital de 1 000 € placé à 4 % par an dépasse 2 000 € la 18ᵉ année : on le trouve par une boucle while en Python ou par le logarithme (n > ln 2 / ln 1,04 ≈ 17,7), deux méthodes qui se contrôlent mutuellement.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien rapporte une épargne alimentée chaque année ?En versant 1 200 € par an à 3 % pendant 18 ans, on obtient 1 200 × (1,03¹⁸ − 1)/0,03 ≈ 28 097 €, dont 21 600 € versés : la somme des termes d'une suite géométrique mesure l'effet des intérêts composés.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on approcher √2 par des fractions de plus en plus précises ?Les suites pₙ₊₁ = pₙ + 2qₙ, qₙ₊₁ = pₙ + qₙ donnent 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70… ; comme p² − 2q² = ±1, l'erreur est inférieure à 1/(2q²) : 99/70 approche √2 à 10⁻⁴ près.Plan, tableau et questions du jury →
Géométrie dans l'espace
Repérer, intersecter, mesurer des distances et des angles en trois dimensions.
- Pourquoi trois nombres suffisent-ils pour repérer n'importe quel point de l'espace ?Avec trois vecteurs non coplanaires, tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique : c'est ce qui donne à chaque point trois coordonnées. La démonstration repose sur la notion de vecteurs coplanaires.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment savoir si deux droites de l'espace se coupent ?Dans l'espace, deux droites peuvent être sécantes, parallèles ou non coplanaires. Avec des représentations paramétriques, on résout un système de trois équations à deux inconnues : une solution, aucune, ou une infinité.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment calculer la distance d'un point à un plan ?La distance d'un point à un plan est la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur le plan. Avec un vecteur normal, on trouve H en résolvant une équation du premier degré : pour A(1 ; 1 ; 1) et x + 2y + 2z − 9 = 0, on obtient 4/3.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment mesurer un angle dans l'espace avec des coordonnées ?Le produit scalaire relie coordonnées et angles : cos θ = (u·v)/(‖u‖‖v‖). Deux grandes diagonales d'un cube forment un angle dont le cosinus vaut 1/3, soit environ 70,5° ; c'est aussi l'angle des liaisons de la molécule de méthane (109,5°).Plan, tableau et questions du jury →
- Comment savoir si quatre points de l'espace sont dans un même plan ?Quatre points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si le vecteur AD est combinaison linéaire de AB et AC ; on le teste en résolvant un système, ou en vérifiant que D satisfait l'équation du plan (ABC).Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi le plus court chemin d'un point à un plan est-il la perpendiculaire ?Si H est le projeté orthogonal de A sur un plan, le théorème de Pythagore donne AM² = AH² + HM² pour tout M du plan : la perpendiculaire est le plus court chemin. On le vérifie aussi en minimisant une fonction.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment calculer le volume d'un tétraèdre avec des coordonnées ?Le volume d'un tétraèdre vaut un tiers de l'aire d'une base multipliée par la hauteur. Pour O(0 ; 0 ; 0), A(2 ; 0 ; 0), B(0 ; 3 ; 0), C(0 ; 0 ; 4), on trouve 4 ; la distance de O au plan (ABC) en déduit l'aire du triangle ABC, √61.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment un logiciel 3D calcule-t-il le point où un rayon lumineux touche une surface ?Un rayon est une demi-droite paramétrée M(t) = C + t u ; en substituant dans l'équation du plan, on obtient une équation du premier degré en t. Exemple : C(0 ; 0 ; 0), u(1 ; 2 ; 2) et x + y + z = 10 donnent le point (2 ; 4 ; 4).Plan, tableau et questions du jury →
- Une baguette de 1 m peut-elle entrer dans une valise de 80 × 50 × 30 cm ?La plus grande longueur qui tient dans un pavé est sa grande diagonale, √(a² + b² + c²) : pour 80 × 50 × 30 cm, elle mesure √9 800 ≈ 99 cm, donc une baguette de 1 m n'entre pas, de justesse.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment vérifier qu'un mât est bien perpendiculaire au sol ?Une droite est orthogonale à un plan dès qu'elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan ; en coordonnées, son vecteur directeur doit être colinéaire au vecteur normal. Deux mesures d'équerre suffisent donc à vérifier un mât.Plan, tableau et questions du jury →
Trigonométrie et phénomènes périodiques
Radian, cercle trigonométrique, mesure de la Terre : les fonctions qui reviennent.
- Pourquoi les mathématiciens mesurent-ils les angles en radians plutôt qu'en degrés ?Le radian mesure un angle par la longueur de l'arc qu'il intercepte sur un cercle de rayon 1 ; c'est la seule unité pour laquelle sin x / x tend vers 1 et la dérivée de sin est cos, sans coefficient parasite π/180.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment mesurer la hauteur d'un bâtiment sans pouvoir s'approcher de sa base ?En visant le sommet sous 30° puis sous 45° après avoir avancé de 20 m, la trigonométrie donne une hauteur de 10(√3 + 1) ≈ 27,3 m, sans connaître la distance à la base.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi peut-on remplacer sin x par x quand l'angle est petit ?La limite sin x / x → 1 et l'encadrement x − x³/6 ≤ sin x ≤ x (pour x ≥ 0), démontrés par des études de fonctions, justifient l'approximation sin x ≈ x et mesurent l'erreur : moins de 0,02 % pour 0,1 rad.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment modéliser la durée du jour au fil de l'année ?La durée du jour à Paris varie d'environ 8 h à 16 h sur une période de 365 jours ; le modèle L(t) = 12 + 4 cos(2π(t − 172)/365) traduit amplitude, période et phase, et sa dérivée indique quand les jours rallongent le plus vite.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment Ératosthène a-t-il mesuré la circonférence de la Terre il y a 2 200 ans ?Un écart d'ombre de 7,2° entre Syène et Alexandrie, distantes d'environ 5 000 stades, correspond à 1/50 du tour : la circonférence vaut 250 000 stades. Longueur d'arc et angle en radians suffisent.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment calculer une distance qu'on ne peut pas mesurer, grâce à la formule d'Al-Kashi ?Al-Kashi généralise Pythagore : a² = b² + c² − 2bc cos Â, démontrée en une ligne avec le produit scalaire. Un navire qui parcourt 5 km puis 8 km avec un angle de 60° entre les deux trajets se trouve à 7 km de son départ.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi la dérivée du sinus est-elle le cosinus ?Un point qui parcourt le cercle unité à vitesse 1 a pour position (cos t ; sin t) ; sa vitesse, tangente au cercle, vaut (−sin t ; cos t). Ce raisonnement cinématique explique sin′ = cos et cos′ = −sin, que confirme la limite sin x / x → 1.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi l'équation cos x = 1/2 a-t-elle une infinité de solutions ?Sur le cercle trigonométrique, deux points ont pour abscisse 1/2, aux angles π/3 et −π/3 ; la périodicité ajoute tous les multiples de 2π : x = ±π/3 + 2kπ. Application : les instants où une marée atteint une hauteur donnée.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi les mêmes fonctions décrivent-elles une roue qui tourne et un ressort qui oscille ?La projection d'un point qui tourne uniformément sur un cercle, x(t) = R cos(ωt), oscille sur un diamètre : sa dérivée seconde vérifie x″ = −ω²x, la même équation que celle d'un ressort. Rotation et oscillation sont deux faces d'une même fonction.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment une calculatrice peut-elle calculer le sinus d'un nombre ?En démontrant par études de fonctions que x − x³/6 ≤ sin x ≤ x − x³/6 + x⁵/120 pour x ≥ 0, on calcule sin 0,5 à 3 × 10⁻⁴ près avec de simples additions et multiplications : c'est le principe des approximations polynomiales.Plan, tableau et questions du jury →
Raisonnement et algorithmes
Démontrer, programmer, approcher : ce qui fait la force et les limites des mathématiques.
- Comment peut-on démontrer qu'un nombre n'est pas une fraction ?En supposant √2 = p/q avec une fraction irréductible, on montre que p et q sont tous deux pairs : la contradiction prouve que √2 est irrationnel. C'est le modèle du raisonnement par l'absurde.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi y a-t-il une infinité de nombres premiers ?Si les nombres premiers étaient en nombre fini, leur produit augmenté de 1 n'aurait aucun diviseur premier : la preuve d'Euclide, par l'absurde, montre qu'il y en a une infinité.Plan, tableau et questions du jury →
- « Pour tout » et « il existe » : pourquoi l'ordre des mots change-t-il tout en mathématiques ?« Pour tout réel il existe un réel plus grand » est vrai, « il existe un réel plus grand que tous » est faux : l'ordre des quantificateurs fait la définition de la limite d'une suite, et la négation les échange.Plan, tableau et questions du jury →
- Si un théorème est vrai, sa réciproque l'est-elle aussi ?« Dérivable implique continue » est vrai, mais la valeur absolue est continue sans être dérivable en 0 : une implication ne dit rien de sa réciproque, alors que sa contraposée lui est équivalente.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on se fier à une figure pour démontrer ?Quatre morceaux d'un carré de 64 cases semblent former un rectangle de 65 cases : un calcul de déterminant montre que la « diagonale » n'est pas droite et cache un parallélogramme d'aire 1.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment trouver un mot parmi un million en une vingtaine d'essais ?Dans une liste triée, couper la zone de recherche en deux à chaque comparaison trouve un élément parmi un million en au plus 20 étapes, car 2²⁰ dépasse le million ; le nombre d'étapes croît comme log₂ n.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment tracer la courbe d'une fonction dont on ne connaît que la dérivée ?En avançant par petits pas le long de la tangente, la méthode d'Euler appliquée à f' = f, f(0) = 1 donne f(1) ≈ (1 + 1/n)ⁿ : 2,59 pour 10 pas, 2,705 pour 100, et la limite est e.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi un ordinateur affirme-t-il que 0,1 + 0,2 n'est pas égal à 0,3 ?En binaire, 0,1 s'écrit avec une infinité de chiffres (une série géométrique de somme 1/10) ; l'ordinateur la tronque et Python affiche 0,30000000000000004 : il ne faut jamais tester l'égalité de deux nombres à virgule.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment un ordinateur calcule-t-il une très grande puissance en peu d'opérations ?En élevant au carré plutôt qu'en multipliant pas à pas, on calcule 3¹³ en 5 multiplications au lieu de 12, et xⁿ en environ 2 log₂ n : un invariant démontre que l'algorithme est juste.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment une démonstration peut-elle sembler juste et aboutir à un résultat faux ?Trois « preuves » fausses (1 = 2, une équation avec racine carrée, tous les chevaux ont la même couleur) cachent une division par zéro, une implication prise pour une équivalence et une hérédité qui échoue de 1 à 2.Plan, tableau et questions du jury →
Questions fréquentes
Une question peut-elle porter uniquement sur les maths ?
Oui. Le texte officiel prévoit trois possibilités : une question par spécialité, une question sur une spécialité et une question transversale, ou deux questions transversales. Une question de maths seules convient donc, à condition que l'autre question porte aussi sur votre seconde spécialité.
Et si mon jury n'a pas de professeur de maths ?
Le jury choisit l'une de vos deux questions en fonction des spécialités de ses membres. Une question de maths seules peut donc être présentée devant un jury dont un seul membre est mathématicien. L'exposé doit rester compréhensible par un non-spécialiste : définissez chaque notion avant de l'utiliser.
Puis-je reprendre une de ces questions telle quelle ?
Vous pouvez vous en inspirer et même garder la formulation : le jury n'évalue ni la formulation ni la pertinence de la question. En revanche, la question doit avoir été préparée avec vos professeurs, qui signent la feuille remise au jury, et l'introduction doit raconter votre propre parcours. Une présentation récitée se repère tout de suite pendant l'échange.
Combien de temps dure l'exposé en 2027 ?
10 minutes, debout, après 20 minutes de préparation, puis 10 minutes d'échange avec le jury. Chaque plan de cette page est minuté pour tenir dans les 10 minutes. Aucun matériel n'est autorisé hormis de quoi écrire : pas de calculatrice.
Les maths expertes peuvent-elles servir ?
Les maths expertes sont une option, pas un enseignement de spécialité : les questions doivent s'adosser au programme de spécialité mathématiques. Vous pouvez en revanche citer une notion de maths expertes en ouverture, ou y répondre si le jury vous interroge dessus.