Questions de Grand oral maths-anglais (LLCER, AMC)
Des questions transversales entre les mathématiques et le monde anglophone : figures comme Turing ou Nightingale, mathématiques dans la littérature et au cinéma, élections américaines, statistiques du sport. Chaque fiche propose une partie à présenter en anglais, comme le permet l'épreuve.
Grandes figures anglophones
Newton, Lovelace, Turing, Ramanujan, Johnson.
- Newton ou Leibniz : qui a inventé le calcul différentiel, et pourquoi la querelle est-elle devenue nationale ?Newton calculait la « fluxion » de x³ en remplaçant x par x + o : (x + o)³ − x³ = 3x²o + 3xo² + o³, puis en divisant par o et en faisant disparaître o, il obtenait 3x². Leibniz publia sa propre méthode en 1684, avec les notations dx et dy que nous utilisons encore. La Royal Society, présidée par Newton, donna raison à Newton en 1712 : la querelle opposa ensuite mathématiciens anglais et continentaux pendant un siècle.Plan, tableau et questions du jury →
- Ada Lovelace a-t-elle écrit le premier programme informatique ? La note G et les sommes de puissancesEn 1843, Ada Lovelace décrit comment la machine analytique de Babbage pourrait calculer les nombres de Bernoulli, liés aux sommes de puissances comme 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 et 1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6. Son « diagramme » enchaîne des opérations et des boucles : c'est souvent considéré comme le premier programme. Elle pressent aussi qu'une machine pourrait manipuler autre chose que des nombres.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment Alan Turing additionnait-il des indices pour casser Enigma ? Le poids de la preuve en décibansÀ Bletchley Park, Turing mesure la force d'un indice par le logarithme du rapport de vraisemblance, en « décibans » : 10 × log₁₀(rapport). Un indice qui rend une hypothèse deux fois plus probable vaut 10 log₁₀ 2 ≈ 3 db. Grâce au logarithme, les indices s'additionnent : partant d'une cote de 1 contre 19 (−12,8 db), onze indices de 3 db portent la probabilité à environ 99 %.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi 1729 n'est-il pas un nombre ennuyeux ? Ramanujan, Hardy et les partitions1729 est le plus petit entier qui s'écrit de deux façons comme somme de deux cubes : 1³ + 12³ = 9³ + 10³. Ramanujan l'a remarqué aussitôt quand Hardy lui a dit que le numéro de son taxi était « ennuyeux ». Avec Hardy, il a trouvé une formule pour le nombre de partitions p(n) : pour n = 100, l'approximation e^(π√(2n/3))/(4n√3) donne environ 199 millions, pour une valeur exacte de 190 569 292.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment la machine de Babbage calculait-elle des tables sans multiplier ? La méthode des différencesPour un polynôme de degré 2, les différences secondes sont constantes : avec f(x) = x² + x + 41, les valeurs 41, 43, 47, 53, 61, 71 ont pour différences 2, 4, 6, 8, 10, puis toujours 2. On peut donc produire toute la table par de simples additions. Charles Babbage a conçu en 1822 une machine fondée sur ce principe, pour éliminer les erreurs des tables imprimées.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment Edmond Halley a-t-il calculé le juste prix d'une rente viagère ?Une rente viagère verse une somme chaque année tant que l'acheteur est vivant. Son juste prix additionne les versements, pondérés par la probabilité d'être vivant et actualisés. Avec une survie de 97 % par an et un taux de 6 %, le prix d'une rente de 1 vaut la somme géométrique Σ (0,97/1,06)ᵏ = q/(1 − q) ≈ 10,8. Halley montra en 1693 que le gouvernement anglais vendait ses rentes trop bon marché, au même prix pour tous les âges.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment une tasse de thé a-t-elle donné naissance aux tests statistiques ?Une dame affirme distinguer si le lait a été versé avant ou après le thé. Ronald Fisher propose 8 tasses, dont 4 de chaque sorte. Il y a C(8 ; 4) = 70 façons de choisir 4 tasses : en répondant au hasard, elle a une chance sur 70, environ 1,4 %, de tout réussir. Si elle réussit, l'explication par le hasard devient peu crédible : c'est le principe du test statistique.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi a-t-il fallu 358 ans pour démontrer le dernier théorème de Fermat ?L'équation x² + y² = z² a une infinité de solutions entières, données par (m² − n² ; 2mn ; m² + n²) : (3 ; 4 ; 5), (5 ; 12 ; 13)… Fermat affirma vers 1637 que xⁿ + yⁿ = zⁿ n'en a aucune pour n ≥ 3, sans laisser de preuve. Le Britannique Andrew Wiles l'a démontré en 1994, après sept ans de travail secret, en reliant le problème à des objets bien plus modernes.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment Katherine Johnson calculait-elle la trajectoire des astronautes ? Le vol d'Alan ShepardEn 1961, la capsule d'Alan Shepard monte à 187 km d'altitude et retombe à 487 km de son point de départ. Pour une trajectoire parabolique, la portée R et la hauteur H vérifient tan θ = 4H/R, d'où tan θ ≈ 1,54 et un angle de départ d'environ 57°. Katherine Johnson, mathématicienne afro-américaine de la NASA, calculait ces trajectoires et les points d'amerrissage à la main.Plan, tableau et questions du jury →
- Un battement d'ailes de papillon peut-il provoquer une tornade ? Edward Lorenz et le chaosEn 1961, Edward Lorenz relance une simulation météo en arrondissant 0,506127 à 0,506 et obtient un temps complètement différent. La suite uₙ₊₁ = 4uₙ(1 − uₙ) reproduit ce phénomène : partant de 0,506127 et de 0,506, l'écart est multiplié par environ 4 à chaque étape, et après 12 étapes les deux suites n'ont plus rien en commun. C'est la sensibilité aux conditions initiales.Plan, tableau et questions du jury →
Mathématiques et littérature
Carroll, Poe, Abbott, Swift, Haddon.
- Pourquoi Alice trouve-t-elle que « quatre fois cinq font douze » ? Lewis Carroll et les bases de numérationDans Alice au pays des merveilles, Alice récite : « quatre fois cinq font douze, quatre fois six font treize, quatre fois sept font… ». C'est juste si l'on change de base : 4 × 5 = 20 s'écrit 12 en base 18 (1 × 18 + 2), 4 × 6 = 24 s'écrit 13 en base 21. En augmentant la base de 3 à chaque fois, on n'atteint jamais « vingt » : 4 × 13 = 52 s'écrit 1 suivi du chiffre dix en base 42.Plan, tableau et questions du jury →
- Les bébés peuvent-ils dompter des crocodiles ? La logique de Lewis CarrollDans Symbolic Logic (1896), Carroll propose : « Les bébés sont illogiques. Personne n'est méprisé s'il sait dompter un crocodile. Les gens illogiques sont méprisés. » En enchaînant les implications et en utilisant la contraposée (« si l'on sait dompter un crocodile, on n'est pas méprisé »), on conclut : « Les bébés ne savent pas dompter les crocodiles. » La forme du raisonnement suffit, quel que soit le sens des phrases.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on gagner à « pair ou impair » en devinant les pensées de l'adversaire ? Poe et la théorie des jeuxDans La Lettre volée, Poe raconte qu'un écolier gagne à pair ou impair en imitant l'expression de son adversaire pour deviner son raisonnement. Mais face à un joueur qui choisit au hasard avec une probabilité 1/2, aucune stratégie ne gagne plus d'une fois sur deux. Si l'adversaire joue « pair » avec une probabilité p ≠ 1/2, on gagne avec la probabilité max(p ; 1 − p) en jouant toujours le plus probable : seule l'imprévisibilité protège.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment imaginer une quatrième dimension ? Flatland, d'Edwin AbbottDans Flatland (1884), un carré qui vit dans un plan voit passer une sphère : il n'en perçoit que des cercles, de rayon √(R² − d²) selon la distance d au centre. Par analogie, on « voit » un hypercube : un cube de dimension n a 2ⁿ sommets et n × 2ⁿ⁻¹ arêtes, soit 16 sommets et 32 arêtes en dimension 4. Le roman est aussi une satire de la société victorienne.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi les chapitres du Bizarre Incident du chien pendant la nuit sont-ils numérotés par des nombres premiers ?Christopher, le narrateur du roman de Mark Haddon (2003), aime les nombres premiers : les chapitres sont numérotés 2, 3, 5, 7, 11… jusqu'à 233, le 51ᵉ nombre premier. Les premiers se raréfient : il y en a 25 jusqu'à 100 et 168 jusqu'à 1 000, et leur nombre jusqu'à n est voisin de n/ln n (environ 43 jusqu'à 233). Christopher les compare à la vie : logiques, mais impossibles à prévoir complètement.Plan, tableau et questions du jury →
- Un chien qui n'aboie pas peut-il être un indice ? Sherlock Holmes et la formule de BayesDans Silver Blaze, Holmes remarque que le chien n'a pas aboyé pendant la nuit du crime. Si un chien aboie neuf fois sur dix devant un inconnu et une fois sur dix devant un familier, son silence rend l'hypothèse « le coupable était un familier » 9 fois plus probable. Partant de 50 %, la formule de Bayes donne 0,5 × 0,9 / (0,5 × 0,9 + 0,5 × 0,1) = 90 %. L'absence d'un fait est aussi une donnée.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi ne peut-on pas « démélanger » la confiture du riz au lait ? Arcadia de Tom Stoppard et les probabilitésDans Arcadia, Thomasina remarque qu'en remuant, la confiture se mélange au riz au lait, mais qu'en tournant à l'envers elle ne se sépare pas. Avec N particules placées au hasard dans deux moitiés, la probabilité de les retrouver toutes du même côté vaut 2⁻ᴺ : environ 10⁻³ pour 10 particules, 8 × 10⁻³¹ pour 100. Avec des milliards de milliards de molécules, le retour en arrière est possible en théorie, mais jamais observé.Plan, tableau et questions du jury →
- Un singe tapant au hasard finirait-il par écrire Hamlet ?Avec un clavier de 27 touches (26 lettres et l'espace), la probabilité de taper « to be or not to be » (18 caractères) au hasard vaut 27⁻¹⁸ ≈ 1,7 × 10⁻²⁶. Il faudrait en moyenne environ 5,8 × 10²⁵ essais : à 10 touches par seconde, environ 2 × 10¹⁷ ans, des millions de fois l'âge de l'Univers. La probabilité de réussir un jour tend pourtant vers 1 : 1 − (1 − p)ⁿ → 1.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment Jonathan Swift utilise-t-il des calculs pour faire une satire ? Une modeste propositionDans Une modeste proposition (1729), Swift calcule froidement : sur 1,5 million d'Irlandais, 200 000 couples fertiles, moins 30 000 qui peuvent nourrir leurs enfants, il reste 170 000 ; moins 50 000 fausses couches et décès, 120 000 enfants pauvres naissent chaque année. Ce chiffre représente 8 % de la population, un taux de natalité de 80 ‰, très exagéré. Swift parodie les « arithméticiens politiques » qui réduisaient les pauvres à des nombres.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi « deux et deux font quatre » est-il un acte de liberté dans 1984 ? Démontrer une évidenceDans 1984, Winston écrit : « La liberté, c'est la liberté de dire que deux et deux font quatre. » Le Parti finit par lui faire admettre que 2 + 2 = 5. Or 2 + 2 = 4 se démontre à partir des axiomes de Peano : en définissant 2 = S(1), 3 = S(2), 4 = S(3) et l'addition par a + S(b) = S(a + b), on obtient 2 + 2 = S(S(2)) = 4. Une vérité mathématique ne dépend d'aucune autorité.Plan, tableau et questions du jury →
Films et séries
Hidden Figures, The Imitation Game, A Beautiful Mind, Moneyball.
- La célèbre scène du bar d'Un homme d'exception illustre-t-elle vraiment l'équilibre de Nash ?Dans le film, Nash conseille à ses amis d'ignorer la jeune femme blonde et d'aborder ses amies, pour ne pas se gêner. Mais si tous font ainsi, chacun a intérêt à changer d'avis et à aller vers la blonde : ce n'est pas un équilibre de Nash. Les équilibres sont ceux où un seul tente sa chance, ou une stratégie aléatoire où chacun y va avec la probabilité 1 − 2^(−1/3) ≈ 21 % (avec quatre amis).Plan, tableau et questions du jury →
- Comment une petite équipe de baseball a-t-elle battu les riches avec des statistiques ? MoneyballEn 2002, les Oakland Athletics gagnent 103 matchs avec environ 41 millions de dollars de salaires, autant que les Yankees avec 126 millions : environ 0,40 million par victoire contre 1,22, trois fois moins. Leur méthode : recruter des joueurs sous-estimés selon un indicateur plus pertinent, le pourcentage de présence sur base (OBP), plutôt que la moyenne au bâton. Un joueur à 150 coups sûrs, 55 buts sur balles et 5 fois atteint en 570 présences a un OBP d'environ 0,368.Plan, tableau et questions du jury →
- Homer Simpson a-t-il réfuté le théorème de Fermat ? Un faux contre-exemple et un critère de divisibilitéDans un épisode de 1998, Homer écrit au tableau 3987¹² + 4365¹² = 4472¹². Une calculatrice à 10 chiffres le confirme : les deux nombres de 44 chiffres ne diffèrent que d'environ 2 × 10⁻¹¹ en valeur relative. Mais 3987 et 4365 sont divisibles par 3, donc le membre de gauche l'est, alors que 4472 ne l'est pas : l'égalité est impossible. Les scénaristes, dont plusieurs mathématiciens, ont glissé ce clin d'œil.Plan, tableau et questions du jury →
- « The limit does not exist » : Cady avait-elle raison dans Mean Girls ?À la finale du concours de maths de Mean Girls, Cady doit calculer la limite en 0 de (ln(1 − x) − sin x)/(1 − cos² x). Près de 0, ln(1 − x) ≈ −x, sin x ≈ x et 1 − cos² x = sin² x ≈ x² : le quotient se comporte comme −2x/x² = −2/x, qui tend vers −∞ à droite et +∞ à gauche. Les limites à gauche et à droite diffèrent : la limite n'existe pas. Cady avait raison.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment l'astronaute de Seul sur Mars communique-t-il avec la Terre grâce à une caméra qui tourne ?Dans The Martian, Mark Watney dispose 16 cartes autour d'une caméra : les chiffres hexadécimaux 0 à F, espacés de 360/16 = 22,5°. Chaque lettre, codée sur un octet en ASCII, s'écrit avec 2 chiffres hexadécimaux : « H » = 72 = 4 × 16 + 8 = 48 en base 16. La caméra pointe donc deux cartes par lettre. 16 cartes suffisent pour 16² = 256 caractères, alors qu'un alphabet direct demanderait des cartes trop serrées.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on battre le casino au blackjack en comptant les cartes ? Le film 21Avec un jeu complet, la probabilité de recevoir un blackjack (un as et une carte valant 10) en deux cartes vaut 2 × (4/52) × (16/51) ≈ 4,8 %. Si 10 cartes basses ont déjà été jouées, il reste 42 cartes et elle passe à 2 × (4/42) × (16/41) ≈ 7,4 %. Les cartes ne sont pas indépendantes : le compteur suit les cartes sorties et mise plus quand le paquet restant lui est favorable.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi des produits financiers jugés sans risque se sont-ils effondrés en 2008 ? The Big Short et la corrélationSi 5 prêts immobiliers font défaut indépendamment avec une probabilité de 5 %, la probabilité qu'ils fassent tous défaut vaut 0,05⁵ ≈ 3 × 10⁻⁷ : la « tranche » qui ne perd qu'en cas de défaut total paraît sans risque. Mais si les défauts sont liés, par exemple tous causés par une baisse des prix immobiliers, cette probabilité peut monter jusqu'à 5 %, plus de 100 000 fois plus. L'hypothèse d'indépendance était fausse.Plan, tableau et questions du jury →
- Des erreurs identiques prouvent-elles la triche ? L'affaire de Stand and DeliverEn 1982, 14 élèves d'un lycée pauvre de Los Angeles, préparés par Jaime Escalante, réussissent l'examen de calcul différentiel, mais l'organisme d'examen les soupçonne de triche à cause d'erreurs semblables. Si une erreur était faite par 5 % des candidats indépendamment, 14 élèves la faisant tous aurait une probabilité de 0,05¹⁴ ≈ 6 × 10⁻¹⁹. Mais ces élèves avaient le même professeur : leurs erreurs n'étaient pas indépendantes. 12 d'entre eux repassent l'examen et réussissent.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien de temps dure un rêve dans un rêve ? Inception et les suites géométriquesDans Inception, le temps s'écoule 20 fois plus lentement à chaque niveau de rêve. Un vol de 10 heures devient environ 200 heures (une semaine) au premier niveau, 4 000 heures (six mois) au deuxième et 80 000 heures (environ 9 ans) au troisième : une suite géométrique de raison 20, uₙ = 10 × 20ⁿ. Pour vivre 1 000 ans en rêve, il faudrait n tel que 20ⁿ ≥ 876 000, soit n = 5 niveaux.Plan, tableau et questions du jury →
- Faut-il répondre au hasard à la dernière question de Qui veut gagner des millions ? Espérance et décisionÀ la dernière question de la version britannique, un candidat qui a 500 000 £ peut s'arrêter ou répondre : s'il se trompe, il retombe à 32 000 £. Au hasard parmi 4 réponses, l'espérance vaut 0,25 × 1 000 000 + 0,75 × 32 000 = 274 000 £, moins que 500 000 : il vaut mieux s'arrêter. Avec le 50/50, l'espérance passe à 516 000 £, un peu plus que 500 000, mais le risque de tout perdre reste d'une chance sur deux.Plan, tableau et questions du jury →
Vote et démocratie
Collège électoral, découpage, sondages américains.
- Un électeur du Wyoming pèse-t-il plus qu'un électeur de Californie dans l'élection présidentielle américaine ?Chaque État reçoit autant de grands électeurs que de représentants et de sénateurs : au moins 3. Le Wyoming a 3 grands électeurs pour environ 0,58 million d'habitants, soit 5,2 par million ; la Californie 54 pour 39,5 millions, soit 1,37 par million. Un habitant du Wyoming pèse donc environ 3,8 fois plus. Les deux sénateurs par État, quelle que soit sa population, créent cet écart.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment peut-on devenir président des États-Unis avec moins de voix que son adversaire ?Dans presque tous les États, le candidat arrivé en tête remporte tous les grands électeurs. Gagner de peu beaucoup d'États et perdre largement les autres suffit. En 2016, Donald Trump gagne la Pennsylvanie, le Wisconsin et le Michigan par 77 744 voix au total, soit 46 grands électeurs, et l'élection, tout en recueillant environ 2,9 millions de voix de moins que Hillary Clinton au niveau national.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on gagner une élection en dessinant les circonscriptions ? Le gerrymanderingAvec 25 électeurs, dont 60 % de « bleus », répartis en 5 circonscriptions de 5, on peut obtenir 5 sièges bleus sur 5, ou seulement 2 : il suffit de concentrer les bleus dans peu de circonscriptions (packing) et de disperser les autres (cracking). L'« écart d'efficacité » mesure les voix gaspillées : dans le découpage favorable aux rouges, les bleus gaspillent 9 voix et les rouges 1, soit un écart de (9 − 1)/25 = 32 %.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment un État américain a-t-il pu perdre un siège quand le nombre total de sièges augmentait ? Le paradoxe de l'AlabamaAvec la méthode de Hamilton, chaque État reçoit la partie entière de son quota, puis les sièges restants vont aux plus grandes décimales. Pour trois États de populations 6, 6 et 2, 10 sièges donnent 4, 4, 2, mais 11 sièges donnent 5, 5, 1 : le petit État perd un siège quand le total augmente. En 1880, l'Alabama aurait eu 8 sièges sur 299, mais 7 sur 300.Plan, tableau et questions du jury →
- Le système électoral britannique est-il juste ? Voix et sièges aux élections de 2024En 2024, le Labour obtient 33,7 % des voix mais 411 sièges sur 650, soit 63,2 % ; Reform UK obtient 14,3 % des voix mais 5 sièges, soit 0,8 %. L'indice de Gallagher, √(½ Σ (vᵢ − sᵢ)²), mesure l'écart entre voix et sièges : il vaut environ 24, l'un des plus élevés de l'histoire britannique, contre moins de 5 dans les systèmes proportionnels.Plan, tableau et questions du jury →
- Quelle est la probabilité que mon vote change le résultat d'une élection ?Votre vote est décisif si les autres électeurs se partagent exactement à égalité. Si chacun vote au hasard à 50/50, la probabilité d'égalité parmi 10 autres votants vaut C(10 ; 5)/2¹⁰ ≈ 24,6 %, parmi 100 environ 8 %, et parmi n votants environ √(2/(πn)) : 0,08 % pour un million. Dans une élection serrée, cette probabilité, faible, multipliée par l'enjeu, peut justifier de voter.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment la Cour suprême américaine a-t-elle utilisé la loi binomiale pour prouver une discrimination ?Dans le comté de Hidalgo (Texas), 79,1 % de la population était d'origine mexicaine, mais seulement 339 des 870 jurés convoqués en onze ans. Si les jurés étaient tirés au hasard, on en attendrait 870 × 0,791 ≈ 688, avec un écart type de √(870 × 0,791 × 0,209) ≈ 12. L'écart observé, environ 29 écarts types, rend le hasard invraisemblable. En 1977, la Cour suprême a jugé la sélection discriminatoire.Plan, tableau et questions du jury →
- Les prévisions électorales de 2016 se sont-elles trompées ? Probabilité, calibration et score de BrierEn 2016, le site FiveThirtyEight donnait environ 29 % de chances à Trump, d'autres modèles moins de 2 %. Un événement prévu à 29 % doit se produire environ 3 fois sur 10 : la victoire de Trump ne réfute pas la prévision. Le score de Brier, (p − résultat)², juge la qualité : (1 − 0,29)² ≈ 0,50 pour 29 %, contre (1 − 0,02)² ≈ 0,96 pour 2 %. La première prévision était bien meilleure.Plan, tableau et questions du jury →
- 4 % des Américains peuvent-ils bloquer une réforme de la Constitution ?Un amendement à la Constitution américaine doit être ratifié par les trois quarts des États, soit 38 sur 50 : 13 États suffisent à le bloquer. Les 13 États les moins peuplés réunissent environ 14,6 millions d'habitants sur 331 millions, soit 4,4 % de la population. En théorie, une petite minorité peut donc s'opposer à la volonté de 95 % des citoyens.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi les sondages américains ont-ils sous-estimé Trump ? Le redressement d'un échantillonUn échantillon où 40 % des sondés sont diplômés du supérieur, alors qu'ils ne sont que 30 % des électeurs, donne une image faussée. Si 60 % des diplômés et 40 % des non-diplômés votent A, l'échantillon brut annonce 0,4 × 60 + 0,6 × 40 = 48 %, mais le résultat attendu vaut 0,3 × 60 + 0,7 × 40 = 46 %. En 2016, beaucoup de sondages d'État n'avaient pas redressé selon le diplôme.Plan, tableau et questions du jury →
La langue comme donnée
Loi de Zipf, attribution d'auteur, vocabulaire.
- Pourquoi « the » représente-t-il 7 % des mots anglais ? La loi de ZipfDans un grand corpus anglais, « the » représente environ 7 % des mots, « of » 3,6 % et « and » 2,9 % : la fréquence du mot de rang r est à peu près proportionnelle à 1/r. Avec un vocabulaire de 10 000 mots suivant cette loi, les 100 mots les plus fréquents couvrent H₁₀₀/H₁₀ ₀₀₀ ≈ 53 % d'un texte, où Hₙ = 1 + 1/2 + … + 1/n. Sur un graphique en échelles logarithmiques, la loi donne une droite de pente −1.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment des statisticiens ont-ils découvert l'auteur de textes anonymes ? Les Federalist PapersDouze Federalist Papers étaient revendiqués à la fois par Hamilton et par Madison. Hamilton écrivait « upon » environ 3 fois pour 1 000 mots, Madison environ 0,2. Pour un texte de 2 000 mots sans « upon », le modèle de Poisson donne P(0) = e⁻⁶ ≈ 0,0025 pour Hamilton et e⁻⁰·⁴ ≈ 0,67 pour Madison : un rapport d'environ 270 en faveur de Madison. En combinant de nombreux mots, Mosteller et Wallace attribuèrent en 1964 les douze textes à Madison.Plan, tableau et questions du jury →
- Shakespeare avait-il un vocabulaire exceptionnel ? Compter les mots différents d'une œuvreLes œuvres de Shakespeare comptent environ 884 000 mots, dont environ 29 000 différents. Le nombre de mots différents croît moins vite que la longueur du texte : selon la loi de Heaps, V ≈ K × n^β, avec β souvent proche de 1/2. Avec β = 1/2, K ≈ 29 000/√884 000 ≈ 31 ; doubler la longueur multiplie le vocabulaire par √2 ≈ 1,41. Comparer des auteurs exige donc de comparer des textes de même longueur.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on mesurer la difficulté d'un texte avec une formule ? L'indice de lisibilité de FleschL'indice de Flesch vaut 206,835 − 1,015 × (mots par phrase) − 84,6 × (syllabes par mot). Un texte de 20 mots par phrase et 1,4 syllabe par mot obtient environ 68, « anglais courant » ; un texte de 10 mots par phrase et 1,2 syllabe par mot, environ 95, « très facile ». C'est une fonction affine de deux variables : plus les phrases et les mots sont longs, plus le score baisse.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment un ordinateur peut-il calculer que « king − man + woman = queen » ? Les mots comme vecteursLes programmes de traitement du langage représentent chaque mot par un vecteur. Dans un modèle à deux coordonnées (royauté, masculinité), king = (0,9 ; 0,9), man = (0,1 ; 0,9), woman = (0,1 ; 0,1) : king − man + woman = (0,9 ; 0,1) = queen. La proximité de sens se mesure par le cosinus de l'angle entre deux vecteurs, obtenu par le produit scalaire : environ 0,78 entre king et queen.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi le « q » est-il presque toujours suivi d'un « u » en anglais ? Probabilités conditionnelles et génération de texteEn anglais, la probabilité qu'une lettre soit « u » sachant que la précédente est « q » dépasse 99 %, alors que « u » ne représente qu'environ 2,8 % des lettres. Un texte se modélise comme une chaîne de probabilités conditionnelles : P(« the ») = P(t) × P(h | t) × P(e | h). Avec P(t) ≈ 0,09, P(h | t) ≈ 0,35 et P(e | h) ≈ 0,5, on obtient environ 1,6 %, contre 0,07 % si les lettres étaient indépendantes.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien de mots anglais connaissez-vous ? Estimer son vocabulaire par sondageOn ne peut pas tester les 200 000 mots d'un dictionnaire, mais on peut en tirer 100 au hasard. Si l'on en connaît 15, on estime son vocabulaire à 15 % de 200 000, soit 30 000 mots. L'intervalle de confiance à 95 %, 0,15 ± 1,96 × √(0,15 × 0,85/100) ≈ 0,15 ± 0,07, donne entre 16 000 et 44 000 mots. Pour réduire l'incertitude de moitié, il faut quatre fois plus de mots testés.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on dater la séparation de l'anglais et de l'allemand en comptant des mots ? La glottochronologieLa glottochronologie suppose qu'une langue conserve environ 86 % de son vocabulaire de base par millénaire. Deux langues séparées depuis t millénaires partagent alors une proportion 0,86^(2t) de ce vocabulaire. Si l'anglais et l'allemand en partagent environ 60 %, t = ln 0,6 / (2 ln 0,86) ≈ 1,7 millénaire. C'est le principe de la décroissance radioactive appliqué aux mots, une méthode séduisante mais très contestée.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi le « E » s'écrit-il avec un seul point en Morse ? Fréquences et longueur moyenne d'un codeEn Morse, le point dure 1 unité, le trait 3 et l'espace entre deux signaux 1. « E » (un point) dure 1 unité, « T » (un trait) 3, « Q » (trait, trait, point, trait) 13. En pondérant par les fréquences des lettres anglaises, un caractère dure en moyenne environ 6,1 unités, contre 8,2 si toutes les lettres étaient également fréquentes et 10,6 si l'on donnait les codes longs aux lettres fréquentes. Le code est presque optimal.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment un correcteur orthographique devine-t-il le mot que vous vouliez écrire ? La distance entre deux motsLa distance de Levenshtein compte le nombre minimal d'opérations (insertion, suppression, substitution d'une lettre) pour passer d'un mot à un autre : de « kitten » à « sitting », il en faut 3. Elle se calcule par un tableau où chaque case vaut le minimum de trois cases voisines plus 1. Un correcteur propose le mot du dictionnaire le plus proche : « recieve » est à distance 2 de « receive », mais à 1 si l'on autorise l'inversion de deux lettres.Plan, tableau et questions du jury →
Santé et statistiques
Nightingale, John Snow, essais cliniques.
- Comment Florence Nightingale a-t-elle convaincu l'armée britannique avec un graphique ?Pendant la guerre de Crimée, en janvier 1855, l'armée britannique perd environ 2 761 soldats de maladies et 83 de blessures : 33 fois plus. Nightingale représente chaque mois par un secteur dont l'aire est proportionnelle au nombre de morts. Comme l'aire d'un secteur vaut θr²/2, le rayon doit être proportionnel à √n : pour 33 fois plus de morts, un rayon √33 ≈ 5,7 fois plus grand. Son graphique a fait de l'hygiène une priorité.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment John Snow a-t-il prouvé que le choléra se transmettait par l'eau ? Comparer des tauxEn 1854, à Londres, deux compagnies distribuent l'eau dans les mêmes quartiers : Southwark & Vauxhall puise dans la Tamise polluée, Lambeth en amont. Snow compte 1 263 morts du choléra pour 40 046 maisons de la première, soit 315 pour 10 000, et 98 pour 26 107 maisons de la seconde, soit 37 pour 10 000. Le risque est environ 8,4 fois plus élevé. Comme les clients étaient mêlés, seule l'eau expliquait l'écart.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment un médecin de marine a-t-il découvert le remède contre le scorbut ? Le premier essai comparatifEn 1747, à bord du HMS Salisbury, James Lind répartit 12 marins malades en 6 paires recevant chacune un traitement différent. Seuls les deux qui reçoivent des oranges et des citrons guérissent rapidement. Si les traitements étaient sans effet, la probabilité que les deux guérisons tombent précisément sur cette paire vaudrait 1/C(12 ; 2) = 1/66 ≈ 1,5 %. Le résultat est donc difficile à attribuer au hasard, même avec si peu de patients.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment a-t-on prouvé que le tabac provoque le cancer du poumon ? L'étude de Doll et HillEn 1950, Richard Doll et Austin Bradford Hill comparent 649 hommes atteints de cancer du poumon et 649 hommes témoins. Parmi les malades, 647 fument et 2 ne fument pas ; parmi les témoins, 622 fument et 27 ne fument pas. Le rapport des cotes vaut (647/2) / (622/27) ≈ 14 : un fumeur a une cote de cancer environ 14 fois plus élevée. L'étude de cohorte des médecins britanniques a ensuite confirmé ce lien.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi tirer au sort les patients d'un essai clinique ? Le premier essai randomisé, en 1948En 1948, le Medical Research Council britannique teste la streptomycine contre la tuberculose en tirant au sort les patients. Après six mois, 4 des 55 patients traités sont morts (7 %), contre 14 des 52 témoins (27 %). La réduction absolue du risque vaut environ 20 points, et le « nombre de patients à traiter » 1/0,197 ≈ 5 : traiter 5 patients évite un décès. Le tirage au sort garantit que seule la différence de traitement explique l'écart.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi un essai sur 3 000 patients ne peut-il pas détecter un effet secondaire rare ? La règle de troisSi un effet secondaire touche 1 patient sur 1 000, la probabilité de n'en observer aucun parmi 3 000 patients vaut 0,999³⁰⁰⁰ ≈ e⁻³ ≈ 5 %. Réciproquement, n'observer aucun cas parmi n patients ne permet d'affirmer, à 95 %, qu'un risque inférieur à environ 3/n : c'est la « règle de trois ». Les effets très rares n'apparaissent donc qu'après la mise sur le marché, d'où la pharmacovigilance.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien le système de santé britannique est-il prêt à payer pour une année de vie ? Le QALYLe NICE évalue les traitements en QALY : une année de vie pondérée par sa qualité, de 0 (décès) à 1 (pleine santé). Un traitement qui coûte 40 000 £ et apporte 1,5 QALY, comparé à un traitement à 10 000 £ qui en apporte 0,5, a un rapport coût-efficacité de (40 000 − 10 000)/(1,5 − 0,5) = 30 000 £ par QALY. Le NICE a longtemps fixé un seuil d'environ 20 000 à 30 000 £ : au-delà, un traitement est rarement financé.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment la taxe britannique sur les sodas a-t-elle poussé les industriels à réduire le sucre ? Une fonction par paliersDepuis 2018, la taxe britannique sur les boissons sucrées vaut 0 £ par litre sous 5 g de sucre pour 100 ml, 18 pence entre 5 et 8 g, et 24 pence au-delà : une fonction en escalier. Pour une canette de 33 cl, cela fait 0, environ 5,9 ou 7,9 pence. Un fabricant à 8,5 g a intérêt à descendre sous 8 g, voire sous 5 g. Avant même son entrée en vigueur, beaucoup de boissons ont été reformulées.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi les enfants de parents très grands sont-ils en moyenne moins grands que leurs parents ? Galton et la régressionEn 1886, Francis Galton observe que les enfants de parents très grands sont grands, mais moins que leurs parents, et ceux de parents petits, petits mais moins. Si la taille moyenne est 175 cm et le coefficient de la droite de régression 2/3, des parents mesurant en moyenne 190 cm ont des enfants prévus à 175 + (2/3) × 15 = 185 cm. C'est la « régression vers la moyenne », un effet statistique qui piège encore de nombreuses études médicales.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment a-t-on prouvé l'efficacité du vaccin contre la polio ? Le plus grand essai de l'histoire américaineEn 1954, plus d'un million d'enfants américains participent à l'essai du vaccin de Jonas Salk. Dans la partie en double aveugle, 33 cas de polio paralytique surviennent parmi 200 745 enfants vaccinés (16 pour 100 000) et 115 parmi 201 229 enfants ayant reçu un placebo (57 pour 100 000). L'efficacité vaut 1 − 16/57 ≈ 71 %. La maladie étant rare, il fallait des centaines de milliers d'enfants pour obtenir un résultat net.Plan, tableau et questions du jury →
Unités et conventions
Système impérial, Fahrenheit, fuseaux, calendriers.
- Pourquoi les Américains ont-ils de la fièvre à 100 degrés ? Fahrenheit, Celsius et fonction affineLa conversion F = 1,8 C + 32 est une fonction affine : 37 °C donnent 98,6 °F, 100 °F correspondent à environ 37,8 °C, une légère fièvre. Sa réciproque est C = (F − 32)/1,8. Les deux échelles coïncident en un seul point, −40°, solution de x = 1,8x + 32. Le « 98,6 °F » de la température normale est une conversion de 37 °C qui donne une fausse impression de précision.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment une erreur d'unités a-t-elle détruit une sonde de la NASA ? Mars Climate OrbiterEn 1999, un logiciel fournit les poussées de la sonde Mars Climate Orbiter en livres-force-seconde, alors que la NASA attend des newtons-seconde. Comme 1 lbf·s ≈ 4,45 N·s, les effets des petites corrections de trajectoire sont sous-estimés d'un facteur 4,45. Au fil des mois, l'erreur s'accumule : la sonde arrive à environ 57 km de la surface de Mars au lieu d'environ 150 km, et se détruit dans l'atmosphère.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment un avion de ligne a-t-il pu tomber en panne de carburant en plein vol ? Le Gimli GliderEn 1983, au Canada, l'équipage d'un Boeing 767 calcule le carburant à ajouter avec 1,77 (livres par litre) au lieu de 0,803 (kilogrammes par litre). Les 7 682 litres présents sont comptés comme 13 597 kg au lieu de 6 169 kg, et l'on ajoute seulement 4 917 litres. L'avion part avec environ 10 100 kg au lieu des 22 300 nécessaires, tombe en panne à 41 000 pieds et plane jusqu'à une ancienne base aérienne, sans victime.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi y a-t-il 12 pouces dans un pied et 5 280 pieds dans un mile ? L'arithmétique du système impérial12 a six diviseurs (1, 2, 3, 4, 6, 12), contre quatre pour 10 : un pied se partage facilement en moitiés, tiers et quarts. Un mile vaut 1 760 yards, soit 5 280 pieds ou 63 360 pouces. Depuis 1959, le pouce vaut exactement 2,54 cm, donc le mile vaut exactement 63 360 × 2,54 cm = 1 609,344 m. Le système impérial est commode pour partager, le système métrique pour calculer.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment Phileas Fogg a-t-il gagné un jour en faisant le tour du monde ? Fuseaux horaires et longitudeLa Terre tourne de 360° en 24 heures, soit 15° par heure : chaque fuseau horaire couvre en principe 15° de longitude. En voyageant vers l'est, on avance sa montre d'une heure tous les 15° ; après un tour complet, on a avancé de 24 heures. Phileas Fogg, parti de Londres vers l'est, a vu 81 levers de soleil pendant que Londres en voyait 80 : il était arrivé un jour plus tôt qu'il ne le croyait.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi les Britanniques ont-ils « perdu » onze jours en 1752 ? Le calendrier et l'année bissextileLe calendrier julien compte en moyenne 365,25 jours par an, contre 365,2422 pour l'année solaire : une avance de 0,0078 jour par an, soit environ 1 jour tous les 128 ans. De 325 à 1752, l'écart atteint environ 11 jours. En passant au calendrier grégorien, la Grande-Bretagne fait suivre le 2 septembre 1752 du 14 septembre. La règle grégorienne, 365 + 1/4 − 1/100 + 1/400 = 365,2425 jours, ne dérive plus que d'un jour en environ 3 200 ans.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi les Américains n'utilisent-ils pas le format A4 ? La racine de deux et les formats de papierUne feuille A coupée en deux donne deux feuilles de mêmes proportions si le rapport longueur/largeur vaut √2 : L/l = l/(L/2) impose L² = 2l². L'A0 mesure 1 m², donc ses côtés valent 2^(−1/4) et 2^(1/4) m, et l'A4, quatre fois plus petit en côté, environ 210 × 297 mm (rapport 1,414). Le format américain Letter mesure 8,5 × 11 pouces, de rapport 1,294 : le réduire ou l'agrandir déforme les pages.Plan, tableau et questions du jury →
- Vaut-il mieux remplacer une voiture à 10 miles par gallon ou une voiture à 30 ? L'illusion du « mpg »Aux États-Unis et au Royaume-Uni, la consommation s'exprime en miles par gallon (mpg) : plus c'est grand, mieux c'est. Pour 100 miles, passer de 10 à 20 mpg économise 100/10 − 100/20 = 5 gallons, mais passer de 30 à 50 mpg seulement 3,3 − 2 ≈ 1,3 gallon. La consommation est une fonction inverse du mpg : les gains sont plus forts sur les voitures qui consomment le plus. L'unité européenne, en litres pour 100 km, évite cette illusion.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment calculait-on avec des livres, des shillings et des pence avant 1971 ? Le Decimal DayAvant 1971, la livre sterling valait 20 shillings et le shilling 12 pence : une livre valait 240 pence. Additionner 2 £ 15 s 9 d et 1 £ 7 s 6 d donne 4 £ 3 s 3 d, avec des retenues à 12 puis à 20. Le 15 février 1971, la livre est divisée en 100 nouveaux pence : un shilling devient 5 p, et un ancien penny vaut 100/240 ≈ 0,42 p. Les calculs deviennent décimaux.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment se calcule le GPA, la moyenne des lycéens américains ? Moyenne pondérée et notes en lettresAux États-Unis, chaque note en lettre vaut des points (A = 4, B = 3, C = 2, D = 1, F = 0), pondérés par les crédits du cours. Avec A sur 4 crédits, B sur 3, A sur 3 et C sur 2, le GPA vaut (16 + 9 + 12 + 4)/12 ≈ 3,42. Si le premier cours est un cours avancé « pondéré » où A vaut 5, il monte à 45/12 = 3,75, au-dessus du maximum de 4. Pour passer à 3,5 de moyenne générale, il faudra 3,58 au semestre suivant.Plan, tableau et questions du jury →
Sport et statistiques
Baseball, cricket, tennis, records.
- Peut-on prévoir le nombre de victoires d'une équipe de baseball avec une formule « pythagoricienne » ?Bill James a proposé d'estimer la proportion de victoires d'une équipe par RS²/(RS² + RA²), où RS est le nombre de points marqués et RA le nombre de points encaissés. Une équipe qui marque 800 points et en encaisse 650 devrait gagner environ 60 % de ses matchs, soit 98 victoires sur 162. Un écart important entre victoires réelles et prévues signale souvent de la chance, qui ne se reproduit pas la saison suivante.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi gagner 60 % des points suffit-il pour gagner presque tous ses matchs de tennis ?Un joueur qui gagne chaque point avec une probabilité p = 0,6 gagne un jeu avec une probabilité d'environ 0,74, grâce à la règle de l'avantage. Avec p = 0,55, environ 0,62 ; avec p = 0,51, environ 0,52. Le système de jeux, de sets et de matchs amplifie encore ces écarts : un léger avantage par point devient une forte domination sur un match. C'est la force mathématique du comptage du tennis.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment fixer le score à battre quand la pluie interrompt un match de cricket ? La méthode Duckworth-LewisAu cricket, une équipe dispose de deux « ressources » : les overs à jouer et les batteurs encore en jeu. Duckworth et Lewis modélisent les points qu'une équipe peut encore marquer par Z(u) = Z₀(1 − e^(−bu)), où u est le nombre d'overs restants. Avec b ≈ 0,0275, 40 overs représentent environ 89 % des ressources de 50 overs : si la première équipe a marqué 250 points, la seconde, réduite à 40 overs, doit en marquer environ 224.Plan, tableau et questions du jury →
- La « main chaude » existe-t-elle au basket ? Un biais statistique surprenantEn 1985, des psychologues concluent que la « main chaude » est une illusion : après un panier réussi, un joueur ne réussit pas plus souvent. Mais en 2018, deux économistes montrent un biais : pour une pièce équilibrée lancée 3 fois, la proportion moyenne de « face » juste après un « face » vaut 5/12 ≈ 0,42, et non 0,5. En corrigeant ce biais, les données suggèrent qu'une petite main chaude existe bien.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien de records devrait-on voir si les athlètes ne progressaient pas ? Bannister et le mile en moins de 4 minutesSi les performances de chaque année étaient tirées au hasard dans la même loi, la probabilité que l'année n bate tous les records précédents vaudrait 1/n. Le nombre moyen de records en n années serait alors 1 + 1/2 + … + 1/n, soit environ 5,2 en 100 ans. Le record du mile a été battu bien plus souvent que cela au XXᵉ siècle : c'est la preuve d'un vrai progrès, et pas seulement du hasard.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi plus aucun joueur de baseball n'atteint-il une moyenne de .400 ? La réduction de la variabilitéEn 1941, Ted Williams frappe .406, et personne n'a dépassé .400 depuis. Le paléontologue Stephen Jay Gould a expliqué que ce n'est pas un déclin, mais un progrès : le niveau moyen s'est resserré. Avec une moyenne de .260, atteindre .400 représente (0,400 − 0,260)/0,050 = 2,8 écarts types quand l'écart type vaut 0,050, mais 4,7 quand il tombe à 0,030 : une performance devenue extrêmement improbable.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment le classement Elo prédit-il le vainqueur d'un match ? Du jeu d'échecs au football fémininDans le système Elo, un joueur classé 200 points au-dessus de son adversaire a une probabilité de gagner de 1/(1 + 10^(−200/400)) ≈ 0,76, et 400 points d'écart donnent environ 0,91. Après le match, le classement est corrigé de K × (résultat − probabilité prévue) : avec K = 20, une victoire attendue rapporte 4,8 points, une défaite surprise en coûte 15,2. Ce système, inventé par l'Américain Arpad Elo pour les échecs, sert aujourd'hui au classement mondial du football.Plan, tableau et questions du jury →
- Que signifiait la cote de 5 000 contre 1 de Leicester City, champion d'Angleterre en 2016 ?Une cote de 5 000 contre 1 signifie qu'une mise de 1 £ rapporte 5 000 £ de gain : elle correspond à une probabilité implicite de 1/5 001 ≈ 0,02 %. Les bookmakers ajoutent une marge : la somme des probabilités implicites de toutes les équipes dépasse 100 %. En 2016, Leicester City, promu deux ans plus tôt, remporte la Premier League, l'une des plus grandes surprises de l'histoire du sport, qui a coûté plusieurs millions de livres aux bookmakers.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi la moyenne de 99,94 de Don Bradman est-elle le chiffre le plus célèbre du cricket ?Au cricket, la moyenne d'un batteur est le nombre de points marqués divisé par le nombre de fois où il a été éliminé. Avant sa dernière manche en 1948, l'Australien Don Bradman avait 6 996 points pour 69 éliminations. Quatre points lui auraient donné exactement (6 996 + 4)/70 = 100 ; éliminé sans marquer, il finit à 6 996/70 ≈ 99,94. Les meilleurs autres batteurs dépassent à peine 60 : un écart statistique sans équivalent dans le sport.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on prédire parfaitement le tournoi de basket universitaire américain ? March Madness et 2⁶³Le tournoi universitaire de basket américain oppose 64 équipes en matchs à élimination directe : 63 matchs. Il y a 2⁶³ ≈ 9,2 × 10¹⁸ pronostics possibles. En choisissant au hasard, la probabilité d'un pronostic parfait vaut 1 sur 9,2 milliards de milliards. Même un expert qui prévoit chaque match avec 70 % de réussite n'aurait que 0,7⁶³ ≈ 1,7 × 10⁻¹⁰, soit environ une chance sur 6 milliards.Plan, tableau et questions du jury →
Innovation et technologies
Loi de Moore, réseaux, internet.
- Comment le nombre de transistors d'une puce a-t-il pu être multiplié par 25 millions en cinquante ans ? La loi de MooreEn 1975, Gordon Moore, cofondateur d'Intel, prévoit que le nombre de transistors d'une puce doublera tous les deux ans. Partant des 2 300 transistors de l'Intel 4004 (1971), 25 doublements en 50 ans donnent 2 300 × 2²⁵ ≈ 77 milliards, l'ordre de grandeur des puces de 2021 (environ 57 milliards). Le nombre de doublements observés, log₂(57 × 10⁹ / 2 300) ≈ 24,6, confirme un doublement environ tous les 2 ans.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment une innovation se diffuse-t-elle dans une société ? La courbe en S du smartphone aux États-UnisLa part des adultes américains possédant un smartphone passe de 35 % en 2011 à 85 % en 2021. Un modèle logistique p(t) = 1/(1 + e^(−k(t − t₀))) passant par ces deux points donne k ≈ 0,235 et t₀ ≈ 2013,6, l'année où la moitié des adultes en possède un. Passer de 10 % à 90 % prend ln 81/k ≈ 19 ans. La diffusion est lente au début, rapide au milieu, puis ralentit : c'est la courbe en S d'Everett Rogers.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment un bouton de site internet a-t-il rapporté 60 millions de dollars à la campagne d'Obama ? Les tests A/BEn 2008, l'équipe de Barack Obama teste plusieurs versions de sa page d'inscription, chacune montrée à environ 13 000 visiteurs. La version d'origine convertit 8,26 % des visiteurs, la meilleure 11,6 %, soit 40 % de plus. Les intervalles de confiance à 95 %, environ 8,26 % ± 0,47 et 11,6 % ± 0,55, ne se chevauchent pas : la différence n'est pas due au hasard. L'équipe estime que ce choix a rapporté 2,8 millions d'adresses et 60 millions de dollars.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi les investisseurs de la Silicon Valley acceptent-ils que la plupart de leurs start-up échouent ?Un fonds investit la même somme dans 20 start-up : 16 font faillite, 3 rapportent 3 fois la mise et une seule 50 fois. Le fonds récupère 3 × 3 + 50 = 59 mises pour 20 investies, soit presque 3 fois sa mise, alors que la start-up « médiane » ne rapporte rien. L'espérance est tirée par un seul succès : c'est une distribution très asymétrique, où la moyenne et la médiane n'ont plus rien à voir.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi Internet a-t-il manqué d'adresses, et combien en offre le nouveau protocole ? De 2³² à 2¹²⁸Une adresse IPv4 s'écrit sur 32 bits : il y en a 2³² ≈ 4,3 milliards, moins que le nombre d'humains et bien moins que le nombre d'objets connectés. Le stock central est épuisé en 2011. Le protocole IPv6 utilise 128 bits : 2¹²⁸ ≈ 3,4 × 10³⁸ adresses, soit environ 6,7 × 10²³ par mètre carré de la surface terrestre. Ajouter 96 bits multiplie le nombre d'adresses par 2⁹⁶ ≈ 7,9 × 10²⁸.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi le courant alternatif de Tesla a-t-il battu le courant continu d'Edison ? La valeur efficaceUne tension alternative u(t) = U_max sin(ωt) a une moyenne nulle, mais sa puissance moyenne dépend de la moyenne de sin², qui vaut 1/2. La valeur efficace vaut donc U_max/√2 : les 120 V américains correspondent à une tension maximale d'environ 170 V. L'avantage décisif de l'alternatif : avec un transformateur, on élève la tension pour le transport ; à puissance égale, multiplier la tension par 10 divise le courant par 10 et les pertes R × I² par 100.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment mesurer la qualité d'une recommandation de films ? Le prix Netflix et l'erreur quadratique moyenneEn 2006, Netflix offre un million de dollars à qui améliorera de 10 % la précision de son système de recommandation. La précision se mesure par l'erreur quadratique moyenne (RMSE), √(moyenne des carrés des écarts entre notes prévues et réelles). Celle de Netflix valait 0,9525 ; l'objectif était 0,9525 × 0,9 ≈ 0,8572. En 2009, une équipe internationale atteint 0,8567 et gagne, vingt minutes avant ses concurrents.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi n'y aura-t-il jamais plus de 21 millions de bitcoins ? Une série géométriqueLa récompense pour chaque bloc de bitcoin était de 50 unités, et elle est divisée par 2 tous les 210 000 blocs. Le nombre total de bitcoins est donc 210 000 × 50 × (1 + 1/2 + 1/4 + …) = 10 500 000 × 2 = 21 millions : c'est la somme d'une série géométrique de raison 1/2. Après le quatrième « halving », en 2024, la récompense vaut 3,125 bitcoins, et le dernier bitcoin devrait être émis vers 2140.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi Apple a-t-il rendu la lecture aléatoire « moins aléatoire » ? Le hasard qui ne paraît pas au hasardDans une liste de 100 chansons de 10 artistes, à raison de 10 chansons chacun, un ordre vraiment aléatoire place en moyenne 99 × 9/99 = 9 fois deux chansons du même artiste à la suite. Les utilisateurs y voyaient un défaut. Steve Jobs a annoncé une lecture « moins aléatoire pour paraître plus aléatoire » : l'algorithme répartit les artistes. Notre intuition du hasard sous-estime les répétitions.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment une actrice d'Hollywood a-t-elle inventé une technique utilisée par le Wi-Fi et le Bluetooth ? Le saut de fréquenceEn 1942, l'actrice Hedy Lamarr et le compositeur George Antheil brevètent un système où l'émetteur change sans cesse de fréquence, parmi 88, selon une séquence connue du seul récepteur. Si un brouilleur bloque 10 fréquences, chaque saut a une probabilité 10/88 ≈ 11 % d'être brouillé, et 10 sauts d'affilée ne le sont tous qu'avec la probabilité (10/88)¹⁰ ≈ 3,6 × 10⁻¹⁰. Le Bluetooth utilise aujourd'hui 79 canaux et 1 600 sauts par seconde.Plan, tableau et questions du jury →
Société et environnement en débat
Inégalités, assurance, climat, données.
- « We are the 99 % » : que signifie le fait que 1 % des Américains reçoivent 20 % des revenus ?Si les 1 % les plus riches reçoivent environ 20 % des revenus, leur revenu moyen vaut 20 fois le revenu moyen de la population ; les 99 % restants se partagent 80 %, soit en moyenne 80/99 ≈ 0,81 fois la moyenne. Le rapport entre les deux groupes vaut environ 25. La part du 1 % aux États-Unis a doublé depuis 1980, de 10 % à environ 20 %, selon les travaux de Piketty et Saez.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment mesurer la ségrégation résidentielle dans une ville américaine ? L'indice de dissimilaritéL'indice de dissimilarité vaut ½ Σ |bᵢ/B − wᵢ/W|, où bᵢ et wᵢ sont les effectifs de deux groupes dans le quartier i, et B et W leurs totaux. Dans une ville fictive de trois quartiers, avec 80 %, 15 % et 5 % des habitants noirs contre 10 %, 42,5 % et 47,5 % des habitants blancs, l'indice vaut 0,70 : il faudrait que 70 % d'un des groupes déménage pour obtenir une répartition égale. Plusieurs grandes villes américaines dépassent 0,7.Plan, tableau et questions du jury →
- La reconnaissance faciale se trompe-t-elle davantage sur certaines personnes ? L'étude Gender ShadesEn 2018, Joy Buolamwini et Timnit Gebru testent des logiciels commerciaux qui devinent le genre d'une personne d'après son visage. Le pire système se trompe sur 0,8 % des hommes à la peau claire, mais sur 34,7 % des femmes à la peau foncée : un taux d'erreur environ 43 fois plus élevé. Un taux d'erreur global faible peut cacher de très fortes inégalités entre groupes, surtout si les données d'apprentissage sont déséquilibrées.Plan, tableau et questions du jury →
- Un algorithme de justice peut-il être équitable pour tous les groupes à la fois ? L'affaire COMPASCOMPAS, un logiciel américain, estime le risque de récidive des accusés. En 2016, ProPublica montre que, parmi ceux qui n'ont pas récidivé, 45 % des accusés noirs avaient été classés « à haut risque », contre 23 % des blancs. L'éditeur répond que le score est également fiable dans les deux groupes. Les mathématiques montrent que, si les taux de récidive diffèrent, on ne peut pas avoir à la fois la même fiabilité et les mêmes taux de fausses alertes.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment un prêt de 100 dollars peut-il coûter un taux annuel de près de 400 % ? Les « payday loans »Un « payday loan » typique coûte 15 dollars pour 100 dollars empruntés pendant deux semaines. Le taux annuel affiché (APR) vaut 15 % × 26 = 390 %. Si l'emprunteur renouvelle son prêt toutes les deux semaines pendant un an, les frais se composent : (1,15)²⁶ − 1 ≈ 3 686 %. Ces prêts, accessibles sans vérification de solvabilité, piègent de nombreux ménages modestes dans un cycle de dette.Plan, tableau et questions du jury →
- Le rêve américain est-il toujours vrai ? Mesurer la mobilité socialeSelon l'économiste Raj Chetty, 90 % des Américains nés en 1940 gagnent plus que leurs parents, contre environ 50 % de ceux nés dans les années 1980. On mesure aussi la mobilité par la pente de la droite reliant le rang de revenu des enfants à celui des parents : environ 0,34 aux États-Unis. Un enfant né au 10ᵉ centile atteint en moyenne le 36ᵉ centile, contre le 44ᵉ dans un pays où la pente vaut 0,15. Plus la pente est forte, plus la position sociale se transmet.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment les États-Unis définissent-ils la pauvreté ? Le seuil d'Orshansky et son multiplicateur 3En 1963, l'économiste Mollie Orshansky calcule le coût d'un régime alimentaire minimal et le multiplie par 3, car les familles consacraient alors environ un tiers de leur budget à l'alimentation. Ce seuil, réévalué chaque année avec l'inflation, sert encore de référence : environ 31 200 dollars par an pour une famille de quatre personnes en 2024. Mais l'alimentation ne représente plus qu'environ un huitième des dépenses : le multiplicateur serait aujourd'hui proche de 8.Plan, tableau et questions du jury →
- Vos données « anonymes » le sont-elles vraiment ? Code postal, date de naissance et sexeAux États-Unis, il existe environ 42 000 codes postaux, 365 × 80 = 29 200 dates de naissance possibles pour des adultes et 2 sexes : environ 2,45 milliards de combinaisons, plus de 7 fois le nombre d'Américains (330 millions). La plupart des combinaisons sont donc portées par une seule personne. En 2000, Latanya Sweeney estime que 87 % des Américains sont identifiables par ces trois données, et retrouve le dossier médical d'un gouverneur.Plan, tableau et questions du jury →
- Un Américain émet-il plus de gaz à effet de serre qu'un Indien ? Parts de population et parts d'émissionsUn Américain émet en moyenne environ 15 tonnes de CO₂ par an, contre environ 4,7 pour la moyenne mondiale et 1,9 pour un Indien. Avec environ 4 % de la population mondiale, les États-Unis émettent environ 13 % du CO₂ annuel, soit un indice de surreprésentation d'environ 3. En émissions cumulées depuis 1750, leur part dépasse 20 %. Le choix de l'indicateur (total, par habitant, cumulé) change la répartition des responsabilités.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment la crise des opioïdes est-elle devenue l'une des pires crises sanitaires américaines ? Une croissance exponentielleAux États-Unis, les morts par surdose d'opioïdes passent d'environ 8 000 en 1999-2000 à environ 81 000 en 2022 : un facteur 10 en 22 ans. Le taux annuel moyen vaut 10^(1/22) − 1 ≈ 11 %, soit un doublement tous les ln 2/ln 1,11 ≈ 6,6 ans. La crise a connu trois vagues : médicaments sur ordonnance, héroïne, puis fentanyl, un opioïde de synthèse extrêmement puissant.Plan, tableau et questions du jury →
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une question transversale maths et llcer anglais ?
Une question qui s'appuie sur les deux spécialités à la fois : les mathématiques y fournissent l'outil (une fonction, une suite, une probabilité) et l'anglais le contexte et le sens. Le texte officiel autorise deux questions transversales, ou une question transversale et une question propre à une spécialité.
Qui sera dans mon jury ?
Deux professeurs de disciplines différentes, dont l'un représente une de vos deux spécialités. Le jury choisit l'une de vos deux questions, en fonction des spécialités de ses membres. Pour une question maths et llcer anglais, préparez-vous à être interrogé par un professeur de maths comme par un professeur d'anglais : chaque fiche prévoit des questions des deux côtés.
Puis-je présenter ma question en anglais ?
En partie. Pour une question adossée à la spécialité LLCER, l'épreuve peut se dérouler, au choix du candidat, dans la langue vivante de la spécialité, dans la limite de la moitié de chacun des deux temps (au maximum 5 minutes de chaque temps). Chaque fiche de cette page propose donc une partie de l'exposé rédigée en anglais et des questions du jury en anglais, à garder ou à traduire.
Puis-je reprendre une de ces questions telle quelle ?
Vous pouvez vous en inspirer et même garder la formulation : le jury n'évalue ni la formulation ni la pertinence de la question. En revanche, la question doit avoir été préparée avec vos professeurs, qui signent la feuille remise au jury, et l'introduction doit raconter votre propre parcours. Une présentation récitée se repère tout de suite pendant l'échange.
Combien de temps dure l'exposé en 2027 ?
10 minutes, debout, après 20 minutes de préparation, puis 10 minutes d'échange avec le jury. Chaque plan de cette page est minuté pour tenir dans les 10 minutes. Aucun matériel n'est autorisé hormis de quoi écrire : pas de calculatrice.
Les 100 questions couvrent-elles tout le programme ?
Elles couvrent les grands enjeux du cycle terminal (première et terminale) des deux spécialités, thème par thème. Pendant l'échange, le jury peut vous interroger sur toute partie du programme de vos spécialités en lien avec la question : révisez les notions citées dans chaque fiche.