Questions de Grand oral maths-HGGSP
Des questions transversales où les mathématiques éclairent l'histoire et la géopolitique : modes de scrutin et paradoxes du vote, projections cartographiques, croissance des populations, estimations en temps de guerre, chiffres de l'information.
Démocratie et élections
Modes de scrutin, paradoxe de Condorcet, répartition des sièges.
- La volonté de la majorité existe-t-elle toujours ? Le paradoxe de CondorcetTrois électeurs classent A > B > C, B > C > A et C > A > B. Une majorité préfère A à B, une autre B à C, une troisième C à A : les préférences collectives tournent en rond. Si chacun des trois électeurs choisit au hasard l'un des 6 classements possibles, ce paradoxe survient dans 12 cas sur 216, soit 5,6 % des cas.Plan, tableau et questions du jury →
- Avec les mêmes voix, pourquoi deux méthodes de calcul de la proportionnelle donnent-elles des assemblées différentes ?Quatre listes obtiennent 42 %, 31 %, 15 % et 12 % des voix pour 6 sièges. La méthode d'Hondt, utilisée aux municipales et aux européennes, donne 3, 2, 1 et 0 sièges ; celle du plus fort reste donne 2, 2, 1 et 1. Aucune n'est « la » proportionnelle exacte (2,52 ; 1,86 ; 0,9 ; 0,72) : il faut arrondir, et l'arrondi est un choix politique.Plan, tableau et questions du jury →
- Le scrutin à deux tours peut-il éliminer le candidat que les électeurs préfèrent à tous les autres ?Sur 100 électeurs : 35 classent A > B > C, 33 C > B > A et 32 B > C > A. Au premier tour, B arrive dernier (32 voix) et est éliminé ; C bat A au second tour (65 contre 35). Pourtant B bat A (65 contre 35) et C (67 contre 33) en duel : il était préféré à chacun, mais n'était le premier choix que d'un tiers des électeurs.Plan, tableau et questions du jury →
- Un candidat sans aucune chance de gagner peut-il changer le vainqueur d'une élection ?Avec la méthode de Borda (2 points pour un premier choix, 1 pour un deuxième), 3 électeurs A > B > C et 2 électeurs B > C > A donnent A 6 points, B 7, C 2 : B gagne. Sans C, A bat B 3 voix contre 2. Le candidat C, dernier, a fait gagner B. Arrow a démontré qu'aucune méthode raisonnable n'échappe entièrement à ce genre d'effet.Plan, tableau et questions du jury →
- Un parti qui n'a que 2 % des sièges peut-il avoir autant de pouvoir qu'un parti qui en a 49 % ?Dans une assemblée de 100 sièges répartis 49, 49 et 2, avec une majorité à 51, toute coalition de deux partis gagne : chacun est indispensable dans deux coalitions. L'indice de Banzhaf donne un tiers du pouvoir à chacun, même au parti de 2 sièges. À l'inverse, en 1958, le Luxembourg avait une voix au Conseil européen mais un pouvoir nul.Plan, tableau et questions du jury →
- Une assemblée nombreuse prend-elle de meilleures décisions qu'une seule personne ?Si chaque votant a une probabilité p = 0,6 de choisir la bonne option, indépendamment des autres, la majorité a raison avec une probabilité 0,648 pour 3 votants, 0,753 pour 11 et 0,979 pour 101 : elle tend vers 1. Mais si p < 0,5, la majorité se trompe presque sûrement. Le théorème justifie la démocratie… sous conditions.Plan, tableau et questions du jury →
- Un élu qui obtient 55 % des voix représente-t-il vraiment la majorité des citoyens ?Avec 40 % de participation, un élu à 55 % des suffrages exprimés n'a reçu le soutien que de 0,55 × 0,40 = 22 % des inscrits. Les pourcentages de pourcentages se multiplient. Si l'on retire aussi les votes blancs et nuls, et les non-inscrits, la part des citoyens qui l'ont choisi peut tomber sous 20 %.Plan, tableau et questions du jury →
- Noter les candidats plutôt que choisir un seul : le jugement majoritaire est-il plus juste ?Le jugement majoritaire demande à chacun de noter tous les candidats (de « à rejeter » à « très bien ») et élit celui dont la mention médiane est la meilleure. Un candidat qui suscite 40 % de « très bien » mais 55 % de « passable » a une médiane « passable » ; un autre avec 60 % de « bien » l'emporte, même si sa note moyenne est plus faible (2,1 contre 2,85).Plan, tableau et questions du jury →
- Combien de partis comptent vraiment dans une assemblée ? Le nombre effectif de partisLe nombre effectif de partis vaut 1 / Σ pᵢ², où pᵢ est la part des sièges de chaque parti. Deux partis égaux donnent 2 ; un parti à 90 % et un à 10 %, seulement 1,22 ; cinq partis à 30, 25, 20, 15 et 10 % donnent 4,44. Cet indice mesure la fragmentation d'un système politique.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi un seuil de 5 % à la proportionnelle peut-il priver de représentation près d'un électeur sur dix ?Si deux listes obtiennent 4,5 % chacune, sous le seuil de 5 %, leurs 9 % de voix ne donnent aucun siège. Les sièges sont répartis entre les 91 % restants : une liste à 38 % passe à 41,8 % de la base de calcul et obtient 9 sièges sur 20 avec la méthode d'Hondt, au lieu de 7,6 en proportionnelle exacte. Le seuil stabilise mais déforme.Plan, tableau et questions du jury →
Cartes et projections
Mercator, distances sur la sphère, échelles.
- Pourquoi le Groenland paraît-il aussi grand que l'Afrique sur la plupart des cartes du monde ?La projection de Mercator agrandit les longueurs d'un facteur 1/cos φ à la latitude φ, donc les surfaces d'un facteur 1/cos² φ : 1 à l'équateur, 4 à 60°, environ 10,5 à 72°, latitude moyenne du Groenland. L'Afrique est en réalité 14 fois plus grande que le Groenland (30,4 contre 2,2 millions de km²), mais les deux paraissent comparables.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi les avions qui vont de Paris à New York passent-ils au-dessus de Terre-Neuve plutôt que de suivre une ligne droite sur la carte ?Avec les coordonnées de deux villes, le produit scalaire de leurs vecteurs depuis le centre de la Terre donne l'angle qui les sépare : cos d/R = sin φ₁ sin φ₂ + cos φ₁ cos φ₂ cos Δλ. Paris–New York mesure environ 5 840 km par le plus court chemin (orthodromie), contre environ 6 080 km en suivant un cap constant.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment mesurer une surface réelle sur une carte, et pourquoi l'échelle ne suffit-elle pas telle quelle ?Sur une carte au 1/25 000, 1 cm représente 250 m. Mais 1 cm² représente 250 × 250 = 62 500 m², soit 6,25 ha : les surfaces sont réduites par le carré de l'échelle, 625 millions de fois. Une forêt de 40 cm² sur la carte couvre 250 ha. Confondre les deux échelles conduit à des erreurs d'un facteur 25 000.Plan, tableau et questions du jury →
- À quoi ressemblerait la carte du monde si la taille des pays dépendait de leur population ?Dans une anamorphose, l'aire de chaque pays est proportionnelle à sa population. L'Inde (environ 1,43 milliard d'habitants) y occupe environ 9,8 fois l'aire de la Russie (146 millions), alors qu'elle est 5 fois plus petite en réalité. Les longueurs ne changent que comme la racine carrée : √9,8 ≈ 3,1.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment le même tableau de chiffres peut-il donner deux cartes qui racontent des histoires opposées ?Une carte choroplèthe colore les régions selon des classes de valeurs. Avec des classes d'égale amplitude, une région très riche peut écraser les autres dans une seule couleur ; avec des quantiles (même nombre de régions par classe), les différences modestes paraissent tranchées. Le choix des bornes, une simple décision statistique, change le message.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment lire la difficulté d'un terrain sur une carte grâce aux courbes de niveau ?Les courbes de niveau relient les points de même altitude. Si dix intervalles de 10 m se succèdent sur 1,6 cm d'une carte au 1/25 000 (soit 400 m), la pente vaut Δh/Δd = 100/400 = 25 %. Elle correspond à un angle d'environ 14°, et non de 25° : une pente de 100 % vaut 45°.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on dessiner une carte du monde qui respecte exactement la surface de chaque pays ?Archimède a montré que la zone de sphère comprise entre deux plans parallèles a la même aire que la bande du cylindre qui l'entoure : 2πR h, où h est la hauteur. En projetant chaque point horizontalement sur ce cylindre (y = R sin φ), on obtient une carte qui conserve exactement les aires. La calotte au-dessus de 60° occupe 13,4 % de l'hémisphère, soit 1 − sin 60°.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment a-t-on mesuré la France et défini le mètre avant les satellites ?Par triangulation : on mesure une seule longueur, la base, puis uniquement des angles. Avec une base AB de 10 km et des angles de 60° et 70°, la loi des sinus donne AC = AB sin 70° / sin 50° ≈ 12,27 km. Delambre et Méchain ont ainsi mesuré de Dunkerque à Barcelone, de 1792 à 1798, pour définir le mètre comme 1/10 000 000 du quart de méridien.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi connaître l'heure exacte a-t-il permis de maîtriser les océans ?La Terre tourne de 15° par heure. Comparer l'heure du midi solaire local à l'heure d'un port de référence donne la longitude : 1 h d'écart = 15°. Une erreur d'une minute vaut 0,25° de longitude, soit environ 28 km à l'équateur. Le chronomètre de Harrison, au XVIIIᵉ siècle, a rendu cette mesure fiable en mer.Plan, tableau et questions du jury →
- Où se trouve le « centre » d'un pays, et pourquoi dépend-il de ce que l'on mesure ?Le barycentre des quatre plus grandes villes de France, pondérées par leur population (Paris 2,1 millions, Marseille 0,87, Lyon 0,52, Toulouse 0,5), se trouve vers 46,6° N et 3,2° E, près de Moulins. Le centre géométrique du territoire, lui, est ailleurs. Changer les poids, population, emplois ou superficie, déplace le centre.Plan, tableau et questions du jury →
Puissance et démographie
Croissance des populations, poids relatifs, PIB.
- Pouvait-on prévoir dès 2010 que l'Inde dépasserait la Chine en population vers 2023 ?En 2010, la Chine comptait environ 1,35 milliard d'habitants (croissance 0,5 % par an) et l'Inde 1,24 milliard (1,2 % par an). Le croisement vérifie 1,24 × 1,012ᵗ = 1,35 × 1,005ᵗ, soit t = ln(1,35/1,24)/ln(1,012/1,005) ≈ 12 ans : vers 2022. L'ONU a constaté le dépassement en 2023.Plan, tableau et questions du jury →
- L'Europe pèse-t-elle de moins en moins lourd dans le monde ?En 1900, l'Europe comptait environ 408 millions d'habitants sur 1,65 milliard, soit un quart de l'humanité. En 2023, environ 745 millions sur 8 milliards, soit 9,3 %. La population européenne a presque doublé, mais sa part a été divisée par 2,7 : une part relative peut baisser alors que l'effectif augmente.Plan, tableau et questions du jury →
- La population mondiale va-t-elle croître indéfiniment, et quand pourrait-elle atteindre son maximum ?Le taux de croissance mondial, environ 0,9 % par an en 2023, baisse d'environ 0,015 point par an. Si r(t) = 0,009 − 0,00015 t, la population P(t) = 8 e^(0,009 t − 0,000075 t²) atteint son maximum quand r(t) = 0, soit au bout de 60 ans : vers 2083, avec environ 10,5 milliards d'habitants. L'ONU projette un pic d'environ 10,3 milliards dans les années 2080.Plan, tableau et questions du jury →
- La Chine est-elle déjà la première économie du monde ?En 2023, le PIB de la Chine valait environ 65 % de celui des États-Unis converti au taux de change (17,8 contre 27,4 milliers de milliards de dollars), mais environ 129 % en parité de pouvoir d'achat (35 contre 27,4), qui corrige les différences de prix. Selon l'indicateur, la réponse change : les chiffres de puissance dépendent de conventions.Plan, tableau et questions du jury →
- Peut-on classer les puissances avec un seul nombre ?Trois pays notés sur 100 en économie, démographie et force militaire : A (100 ; 30 ; 80), B (60 ; 90 ; 50), C (80 ; 60 ; 70). Avec des poids égaux, A et C sont à égalité (70) devant B (66,7). Si l'on double le poids de l'économie, A passe en tête (77,5) ; si l'on double celui de la démographie, c'est B (72,5). Le classement dépend des poids choisis.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi Paris est-il si grand par rapport aux autres villes françaises ?La loi de Zipf prévoit que la ville de rang r compte environ P₁/r habitants : la deuxième ville serait deux fois plus petite que la première. En France, l'agglomération parisienne (environ 10,9 millions) est plus de six fois plus peuplée que Lyon (1,7 million) : c'est une macrocéphalie. En traçant log P en fonction de log r, on obtient presque une droite, sauf pour Paris.Plan, tableau et questions du jury →
- Quel pays fait le plus grand effort militaire : celui qui dépense le plus, ou celui qui consacre la plus grande part de sa richesse ?Avec environ 3,4 % d'un PIB de 27 400 milliards de dollars, les États-Unis dépensent environ 930 milliards pour leur défense ; avec 1,7 % de 17 800 milliards, la Chine environ 300 milliards, trois fois moins. Mais un pays plus petit peut consacrer 5 % ou plus de son PIB à l'armée. Montant et effort sont deux mesures différentes.Plan, tableau et questions du jury →
- Le Luxembourg est-il plus puissant que la Chine parce que ses habitants sont plus riches ?Le PIB par habitant du Luxembourg (environ 129 000 dollars) est environ dix fois celui de la Chine (environ 12 600), mais le PIB total de la Chine est environ 200 fois celui du Luxembourg. Un rapport par habitant mesure le niveau de vie moyen, un total mesure la masse économique : diviser par la population change la question.Plan, tableau et questions du jury →
- Un humain sur quatre vivra-t-il en Afrique en 2050 ?L'Afrique comptait environ 1,46 milliard d'habitants en 2023, soit 18 % de l'humanité. À 2,3 % par an, elle atteindrait 1,46 × 1,023²⁷ ≈ 2,7 milliards en 2050 ; sur environ 9,7 milliards d'humains, cela fait 28 %. L'ONU, qui prévoit un ralentissement, projette environ 2,5 milliards, soit 26 % : un humain sur quatre.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment compte-t-on la population d'un pays, et peut-on se fier aux chiffres ?Un recensement exhaustif est coûteux ; la France recense depuis 2004 par cycles : environ 8 % des logements par an dans les communes de plus de 10 000 habitants, et chaque petite commune entièrement une fois tous les cinq ans. Un échantillon de n personnes donne une proportion avec une marge d'environ 1/√n : 0,3 % pour 100 000 personnes. Un recensement incomplet peut biaiser bien davantage.Plan, tableau et questions du jury →
S'informer : chiffres, sondages et rumeurs
Marges d'erreur, graphiques trompeurs, propagation.
- Pourquoi certaines fausses informations deviennent-elles virales alors que d'autres s'éteignent aussitôt ?Si chaque personne qui voit une information la partage avec une probabilité p à 50 abonnés, chaque partage en provoque en moyenne R = 50 p nouveaux. Pour p = 1 %, R = 0,5 : la rumeur s'éteint ; pour p = 4 %, R = 2 : elle double à chaque étape, 2¹⁰ ≈ 1 000 fois plus de partages en dix étapes. Le seuil R = 1 sépare l'extinction de l'explosion.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment un graphique peut-il exagérer un écart sans qu'aucun chiffre ne soit faux ?Deux candidats à 52 % et 48 % : leurs barres devraient être dans le rapport 52/48 ≈ 1,08. Si l'axe commence à 45 %, les barres mesurent 7 et 3 : la première paraît 2,3 fois plus haute. L'écart réel de 4 points semble écrasant. Couper l'axe des ordonnées change le rapport des longueurs, donc la perception.Plan, tableau et questions du jury →
- Un sondage qui donne 51 % contre 49 % permet-il de savoir qui va gagner ?Sur 1 000 personnes, chaque pourcentage a une marge d'environ ± 1/√1000 ≈ ± 3,2 points. L'écart entre deux candidats, qui varie deux fois plus, a une marge d'environ ± 6,3 points. Un écart de 2 points est donc bien à l'intérieur de la marge : le sondage ne peut pas désigner de vainqueur, il ne dit que « au coude-à-coude ».Plan, tableau et questions du jury →
- Quand un titre annonce qu'un risque a doublé, faut-il s'inquiéter ?« Le risque double » peut signifier passer de 1 sur 10 000 à 2 sur 10 000 : une hausse de 100 % en relatif, mais de 0,01 point en absolu, soit un cas de plus pour 10 000 personnes. Le même chiffre, présenté en risque relatif ou en risque absolu, provoque la panique ou l'indifférence.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi un sondage de 2,4 millions de réponses s'est-il trompé là où un sondage de 50 000 personnes a vu juste ?En 1936, le magazine Literary Digest obtient 2,4 millions de réponses et prédit la défaite de Roosevelt ; il est réélu avec environ 61 % des voix. Gallup, avec un échantillon d'environ 50 000 personnes choisies avec soin, prévoit sa victoire. La marge aléatoire de 2,4 millions de réponses n'est que de 0,06 point, mais un biais de sélection ne diminue pas avec la taille.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment repérer des chiffres inventés grâce au premier chiffre des nombres ?Dans beaucoup de données réelles (populations, montants, résultats électoraux par bureau), le premier chiffre est 1 dans environ 30,1 % des cas, et 9 dans seulement 4,6 %, selon la loi de Benford P(d) = log₁₀(1 + 1/d). Des chiffres inventés ont souvent des premiers chiffres trop équilibrés : un écart à la loi est un signal d'alerte, pas une preuve.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi les algorithmes de recommandation peuvent-ils enfermer chacun dans ses opinions ?Une urne contient une boule rouge et une bleue. On tire une boule et on la remet avec une autre de même couleur : ce qui sort devient plus probable. Après 1 000 tirages, la proportion de rouges peut se fixer n'importe où : dans 20 % des simulations elle reste sous 0,2, dans 20 % elle dépasse 0,8. Un algorithme qui renforce ce qu'on a regardé fonctionne de la même façon.Plan, tableau et questions du jury →
- La quantité d'information produite dans le monde double-t-elle vraiment tous les deux ans ?Les estimations font passer le volume de données créées dans le monde d'environ 2 zettaoctets en 2010 à environ 180 en 2025 : un facteur 90 en 15 ans. Le temps de doublement vaut 15 ln 2 / ln 90 ≈ 2,3 ans, soit une croissance d'environ 35 % par an. Un tel rythme, s'il durait, multiplierait le volume par 20 000 en 33 ans.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment peut-on connaître l'audience d'une émission vue par des millions de personnes en observant seulement 5 000 foyers ?Un panel de 5 000 foyers représentatifs suffit : pour une émission qui réunit 5 % des foyers, la marge d'erreur à 95 % vaut environ 2√(0,05 × 0,95 / 5 000) ≈ 0,6 point. Elle ne dépend pas de la taille de la population totale, mais de celle de l'échantillon. Le chiffre d'audience, sur lequel repose la publicité, est donc une estimation.Plan, tableau et questions du jury →
- Une caméra de reconnaissance faciale fiable à 99 % arrêterait-elle surtout des coupables ?Parmi 100 000 passants, une seule personne est recherchée. Le système la repère à 99 %, mais signale à tort 0,1 % des innocents, soit environ 100 fausses alertes. Une alerte ne désigne donc la bonne personne que dans environ 1 % des cas (formule de Bayes). La rareté des personnes recherchées rend les fausses alertes majoritaires.Plan, tableau et questions du jury →
Faire la guerre, faire la paix
Lanchester, chars allemands, dissuasion, convois.
- Pourquoi les stratèges cherchent-ils à concentrer leurs forces ? Les lois de LanchesterDans le modèle de Lanchester, chaque camp perd des soldats proportionnellement à l'effectif adverse. On montre que A² − B² reste constant : 1 000 soldats contre 500 l'emportent avec √(1 000² − 500²) ≈ 866 survivants. Face à 1 000 soldats réunis, ils feraient jeu égal ; face à deux groupes de 500 attaqués l'un après l'autre, ils gagnent avec 707 survivants. La force compte au carré.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment des statisticiens alliés ont-ils estimé la production de chars allemands mieux que les services de renseignement ?Les chars capturés portaient des numéros de série. Si l'on a observé k chars dont le plus grand numéro est m, une bonne estimation du nombre total est N ≈ m (1 + 1/k) − 1 : pour 5 chars et un maximum de 240, environ 287. Pendant la guerre, cette méthode a estimé environ 246 chars par mois quand le renseignement en annonçait 1 400 ; les archives ont révélé 245.Plan, tableau et questions du jury →
- Pendant la bataille de l'Atlantique, pourquoi valait-il mieux envoyer de grands convois plutôt que de nombreux petits ?Les navires d'un convoi occupent une surface proportionnelle à leur nombre n, mais l'escorte protège un périmètre proportionnel à √n. Passer de 20 à 80 navires multiplie le périmètre par seulement 2 : il faut deux fois plus d'escorteurs pour quatre fois plus de navires. Et les pertes dépendaient du nombre de sous-marins, pas de la taille du convoi.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi une arme plus destructrice peut-elle rendre la guerre moins probable ? La dissuasion et la théorie des jeuxDans le jeu de la poule mouillée, céder coûte 1, gagner rapporte 1, et l'affrontement coûte C à chacun. À l'équilibre en stratégies aléatoires, chaque joueur fonce avec la probabilité 1/C : 10 % si C = 10, et un affrontement survient dans 1 % des cas. Si l'affrontement devient catastrophique (C = 100), la probabilité tombe à 1 sur 10 000.Plan, tableau et questions du jury →
- Une course aux armements finit-elle par se stabiliser ou s'emballe-t-elle forcément ?Dans le modèle de Richardson, le budget militaire de l'année suivante vaut celui de l'année, augmenté d'une réaction a au budget adverse, diminué d'un coût m, plus un grief g. Pour deux pays symétriques, xₙ₊₁ = (1 − m + a) xₙ + g. Si a < m (ici 0,1 et 0,2), la suite converge vers g/(m − a) = 100 ; si a > m, elle s'emballe.Plan, tableau et questions du jury →
- Les guerres sont-elles devenues moins meurtrières au cours de l'histoire ?La Seconde Guerre mondiale a fait environ 75 millions de morts, soit environ 3 % d'une population mondiale de 2,3 milliards ; la Première environ 18 millions, soit 1 % de 1,8 milliard. Comparer des guerres de siècles différents demande de rapporter les morts à la population : selon qu'on regarde les nombres ou les taux, la conclusion change, et les données anciennes sont très incertaines.Plan, tableau et questions du jury →
- Si le risque d'une guerre nucléaire accidentelle est faible chaque année, l'est-il encore sur un siècle ?Si la probabilité d'un échange nucléaire accidentel était de 1 % par an, indépendamment, la probabilité qu'il ne se produise jamais en 80 ans serait 0,99⁸⁰ ≈ 0,45 : le risque cumulé dépasserait 55 %. Même à 0,5 % par an, il atteindrait 33 %. Un petit risque répété devient considérable : c'est l'argument des partisans du désarmement.Plan, tableau et questions du jury →
- Où faut-il blinder un avion de guerre : là où les avions revenus ont le plus d'impacts, ou ailleurs ?Pendant la Seconde Guerre mondiale, les avions qui revenaient de mission étaient criblés d'impacts sur les ailes et le fuselage, mais peu sur les moteurs. Le statisticien Abraham Wald a recommandé de blinder les moteurs : les avions touchés là ne revenaient pas. On n'observait que des survivants, P(impact | retour) et non P(impact).Plan, tableau et questions du jury →
- Comment les artilleurs de la Grande Guerre localisaient-ils un canon ennemi invisible grâce au son de ses tirs ?Deux microphones entendent le même tir avec un écart de temps Δt : le canon est plus proche de l'un de v Δt, soit 340 m par seconde d'écart. L'ensemble des points vérifiant |d₁ − d₂| = 340 m est une branche d'hyperbole. Avec trois microphones, deux hyperboles se coupent et révèlent la position du canon.Plan, tableau et questions du jury →
- Le nombre d'armes nucléaires dans le monde a-t-il vraiment beaucoup diminué depuis la guerre froide ?Selon la Fédération des scientifiques américains, le stock mondial d'ogives est passé d'environ 70 300 en 1986 à environ 12 100 en 2024 : une baisse de 83 %, soit environ −4,5 % par an en moyenne. Mais la baisse a fortement ralenti depuis les années 2010, et 12 000 ogives restent largement suffisantes pour une catastrophe mondiale.Plan, tableau et questions du jury →
Renseignement et codes secrets
César, Vigenère, Enigma, analyse de fréquences.
- Le chiffre de César protégeait-il vraiment les messages de l'armée romaine ?César décalait chaque lettre de 3 rangs : A devient D, Z devient C. En numérotant les lettres de 0 à 25, on chiffre par c = (x + k) mod 26 et on déchiffre par x = (c − k) mod 26. Il n'y a que 25 clés utiles : un adversaire qui connaît le principe les essaie toutes en quelques minutes. Sa sécurité reposait sur le secret de la méthode.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment un cryptanalyste peut-il savoir, sans le déchiffrer, qu'un message est écrit en français ?L'indice de coïncidence est la probabilité que deux lettres tirées au hasard dans un texte soient identiques : Σ pᵢ². Pour un texte français, il vaut environ 0,078 ; pour des lettres tirées uniformément, 1/26 ≈ 0,038. Une substitution conserve cet indice : un message chiffré par substitution garde l'indice du français, alors qu'un chiffre polyalphabétique le rapproche de 0,038.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment a-t-on cassé le chiffre de Vigenère, réputé « indéchiffrable » pendant trois siècles ?Le chiffre de Vigenère utilise une clé de plusieurs lettres, donc plusieurs décalages. Mais une même séquence du message, tombant sur la même partie de la clé, donne la même séquence chiffrée. Si des répétitions apparaissent à des distances de 30, 45 et 75 lettres, la longueur de la clé divise leur PGCD, 15 : elle vaut 3, 5 ou 15. Le message se découpe alors en chiffres de César.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi les Allemands croyaient-ils Enigma impossible à casser ?La version de l'armée allemande combinait le choix et l'ordre de 3 rotors parmi 5 (60 possibilités), leurs positions de départ (26³ = 17 576) et un tableau de connexions de 10 câbles (environ 1,5 × 10¹⁴ façons). Au total, environ 1,6 × 10²⁰ réglages, soit 67 bits. Essayer 1 milliard de réglages par seconde aurait pris 5 000 ans.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment une seule faiblesse d'Enigma a-t-elle permis aux Alliés de la vaincre ?Enigma ne chiffrait jamais une lettre en elle-même. Si l'on soupçonne qu'un message contient le mot « WETTERBERICHT » (bulletin météo), on élimine toutes les positions où une lettre du mot coïncide avec la même lettre du chiffré. Pour un mot de 20 lettres placé au hasard, la probabilité de ne rencontrer aucune coïncidence n'est que (25/26)²⁰ ≈ 0,46 : plus de la moitié des positions sont éliminées d'emblée.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment cacher un message dans une simple photo sans que personne ne le remarque ?Une photo Full HD contient 1 920 × 1 080 pixels de 3 octets chacun. En remplaçant le dernier bit de chaque octet par un bit du message, on modifie chaque couleur d'au plus 1 sur 255, soit 0,4 % : invisible. On peut ainsi cacher 6 220 800 bits, soit 777 600 octets, l'équivalent d'un livre. La stéganographie cache l'existence même du message.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi la surveillance des seules métadonnées d'un suspect peut-elle concerner des millions de personnes ?Les révélations de 2013 ont montré que l'agence américaine NSA pouvait examiner les contacts d'un suspect jusqu'à trois « sauts ». Si chacun a environ 190 contacts, cela fait jusqu'à 190 personnes au premier saut, 190² ≈ 36 000 au deuxième et 190³ ≈ 6,9 millions au troisième. La croissance géométrique transforme une enquête ciblée en surveillance de masse.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment localisait-on un émetteur radio ennemi pendant la Seconde Guerre mondiale ?Deux stations d'écoute distantes de 100 km mesurent la direction d'où vient le signal : 60° pour l'une, 120° pour l'autre, par rapport à la ligne qui les joint. L'émetteur est à l'intersection des deux droites : 50 km le long de la base et environ 86,6 km au large. Une erreur de 1° sur une direction déplace le point d'environ 1,7 km par 100 km de distance.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment les Spartiates chiffraient-ils leurs messages en enroulant une lanière autour d'un bâton ?La scytale ne change pas les lettres, elle les mélange. Écrire un message de 24 lettres en lignes sur un bâton de 4 faces, puis le lire en colonnes, revient à lire une lettre sur 6. Le nombre de clés possibles est le nombre de diviseurs de la longueur : pour 24 lettres, 2, 3, 4, 6, 8 ou 12 colonnes. Un ennemi essaie tous les diviseurs en quelques minutes.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment le télégraphe Chappe transmettait-il un message de Lille à Paris en moins d'une heure pendant la Révolution ?Le télégraphe de Claude Chappe utilisait des bras articulés formant 92 signaux distincts. Deux signaux successifs désignaient une page et une ligne d'un dictionnaire secret : 92 × 92 = 8 464 mots ou expressions. Chaque signal porte log₂ 92 ≈ 6,5 bits d'information. En 1794, la nouvelle de la reprise de Condé parvient de Lille à Paris en environ une heure.Plan, tableau et questions du jury →
Frontières et territoires
Longueur des côtes, zones maritimes, partages.
- Pourquoi l'Espagne et le Portugal n'annonçaient-ils pas la même longueur pour leur frontière commune ?Le Portugal annonçait 1 214 km de frontière avec l'Espagne, l'Espagne 987 km. Plus l'unité de mesure est petite, plus on suit les détours et plus la longueur augmente. Pour une côte de dimension fractale D = 1,25, diviser l'unité par 2 multiplie la longueur par 2^0,25 ≈ 1,19, et la diviser par 10 par 10^0,25 ≈ 1,78.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment partager la mer entre deux pays qui se font face ?Entre deux côtes qui se font face, le droit de la mer utilise souvent la ligne d'équidistance : l'ensemble des points situés à égale distance des deux côtes. Entre deux points, c'est la médiatrice de leur segment. Pour deux îles en A(0 ; 0) et B(40 ; 20), la médiatrice passe par le milieu (20 ; 10) avec la pente −2. Une petite île peut déplacer cette ligne de plusieurs dizaines de kilomètres.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien mesurent les frontières tracées en ligne droite le long d'un parallèle, comme entre les États-Unis et le Canada ?Un degré de longitude mesure 111,2 × cos φ km à la latitude φ. La frontière entre les États-Unis et le Canada suit le 49ᵉ parallèle sur environ 28,2° de longitude : 111,2 × cos 49° × 28,2 ≈ 2 055 km. Celle entre l'Égypte et le Soudan suit le 22ᵉ parallèle sur environ 11,9° : environ 1 225 km. Ces lignes, tracées sur des cartes, ignorent souvent les réalités humaines.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment calcule-t-on la superficie d'un territoire à partir des coordonnées de ses frontières ?Pour un polygone de sommets (x₁ ; y₁), …, (xₙ ; yₙ) parcourus dans l'ordre, l'aire vaut ½ |Σ (xᵢ yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ yᵢ)|, la « formule du lacet ». Pour les sommets (0 ; 0), (6 ; 0), (8 ; 4), (3 ; 7), (−1 ; 3), on trouve 42 unités. Le Wyoming, presque rectangulaire, mesure environ 569 × 445 ≈ 253 000 km², proche de sa superficie officielle.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien de frontières une carte politique peut-elle compter ? La formule d'Euler et les points triplesSur une carte, les points où trois pays se rencontrent (points triples), les tronçons de frontière et les régions vérifient la formule d'Euler S − A + F = 2. Si chaque point est triple, chaque sommet touche 3 tronçons : 2A = 3S. Avec 10 points triples, il y a 15 tronçons et 7 régions (6 pays et la mer). La géométrie impose ces relations, quelle que soit la forme des pays.Plan, tableau et questions du jury →
- Si chaque habitant dépendait de la ville la plus proche, comment se dessineraient les territoires ?Si chaque point du territoire est rattaché à la ville la plus proche, les limites entre zones suivent les médiatrices des segments joignant les villes : on obtient un diagramme de Voronoï. Avec trois villes, les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit, point équidistant des trois. Ce modèle simple sert à délimiter des zones de chalandise, de secours ou d'écoles.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment le Luxembourg peut-il employer autant de travailleurs étrangers sans qu'ils y habitent ?Près de la moitié des salariés travaillant au Luxembourg (environ 47 %) habitent en France, en Belgique ou en Allemagne et franchissent la frontière chaque jour. Ce flux gonfle le PIB par habitant, rapporté aux seuls résidents, et pèse sur les régions voisines. Les proportions et le choix de la population de référence changent complètement la lecture des chiffres.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi certaines frontières séparent-elles des niveaux de richesse si différents ?De part et d'autre de la frontière entre les États-Unis et le Mexique, le PIB par habitant varie dans un rapport d'environ 6. Sur une échelle logarithmique, ce saut se voit comme une marche nette : une « discontinuité ». Un écart persistant de 2 points de croissance par an pendant 50 ans suffit à multiplier un rapport de richesse par 1,02⁵⁰ ≈ 2,7.Plan, tableau et questions du jury →
- La forme d'un pays a-t-elle des conséquences ? L'hexagone français face au ChiliL'indice de compacité 4πA/P² vaut 1 pour un disque, la forme qui enferme la plus grande aire pour un périmètre donné. Un hexagone régulier obtient 0,91, un carré 0,79 ; un rectangle de 4 300 km sur 176 km, comme le Chili, seulement 0,12. Un territoire compact a des frontières courtes et des distances internes réduites, ce qui facilite sa défense et son administration.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment partager un territoire disputé de façon que chaque partie soit satisfaite ?Avec la règle « l'un coupe, l'autre choisit », celui qui coupe fait deux parts qu'il juge égales, et celui qui choisit prend celle qu'il préfère : chacun est sûr d'obtenir au moins la moitié selon sa propre évaluation, même s'ils ne valorisent pas les mêmes zones. Le traité de Tordesillas de 1494 a partagé le monde entre Espagne et Portugal par une simple ligne, sans cette garantie.Plan, tableau et questions du jury →
Océans et espace
Satellites, navigation, positionnement, fonds marins.
- Comment un récepteur GPS sait-il où il se trouve, et pourquoi l'Europe a-t-elle construit Galileo ?Un récepteur mesure le temps mis par les signaux de plusieurs satellites pour lui parvenir, et en déduit sa distance à chacun (d = c × Δt). Il est alors à l'intersection de sphères, que l'on calcule en soustrayant les équations pour obtenir un système linéaire. Une erreur d'une microseconde sur l'horloge donne 300 m d'erreur : d'où les horloges atomiques et un quatrième satellite.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi une île minuscule peut-elle donner à un État un immense espace maritime ?La zone économique exclusive s'étend jusqu'à 200 milles marins, soit 370,4 km, des côtes. Autour d'une île isolée, c'est un disque d'aire π × 370,4² ≈ 431 000 km², presque la taille de la ZEE de la France métropolitaine. Grâce à ses territoires d'outre-mer, la France possède environ 10,2 millions de km² de ZEE, environ 18 fois la superficie de la métropole.Plan, tableau et questions du jury →
- Jusqu'où peut-on voir en mer, et pourquoi les marines ont-elles besoin d'avions et de satellites ?À cause de la courbure de la Terre, un observateur à la hauteur h voit l'horizon à la distance d = √(2Rh) ≈ 3,57√h km. Une vigie à 30 m voit à environ 19,6 km ; un radar à 30 m détecte un avion volant à 50 m à moins de 19,6 + 25,2 ≈ 44,8 km. Pour voir plus loin, il faut monter : avions radar et satellites.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi la Station spatiale internationale fait-elle le tour de la Terre en 92 minutes ?La troisième loi de Kepler affirme que T²/a³ est le même pour tous les satellites de la Terre. L'ISS, à 400 km d'altitude (a ≈ 6 771 km), fait un tour en 92 min, soit 15,6 tours par jour. Un satellite à a = 42 164 km a une période (42 164/6 771)^1,5 ≈ 15,5 fois plus longue : environ 23,9 h, la période géostationnaire. Chaque orbite a son usage stratégique.Plan, tableau et questions du jury →
- L'orbite terrestre peut-elle devenir inutilisable à cause des débris spatiaux ?Si chacun de 10 000 satellites a une probabilité de 1/10 000 par an de subir une collision, la probabilité qu'il y en ait au moins une dans l'année vaut 1 − (1 − 10⁻⁴)^10 000 ≈ 1 − e⁻¹ ≈ 63 %. Avec 20 000 satellites, environ 86 %. Chaque collision produit des débris qui augmentent le risque : c'est le syndrome de Kessler, une réaction en chaîne.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment les navigateurs des grandes découvertes savaient-ils où ils étaient sans GPS ?À l'estime, le navigateur additionne les déplacements : chacun est un vecteur défini par un cap et une distance. Après 60 km au nord, 80 km à l'est et 40 km au sud-ouest, le navire est à environ 60,7 km du départ, au cap 58°. Une erreur de cap de 2° sur 100 km décale la position de 3,5 km : les erreurs s'accumulent jusqu'à un nouveau repère.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment mesurer sa latitude en regardant le ciel, et pourquoi le mille marin vaut-il 1,852 km ?Dans l'hémisphère Nord, la hauteur de l'étoile Polaire au-dessus de l'horizon est égale à la latitude. À midi, à l'équinoxe, le Soleil est à la hauteur 90° − φ : à Paris (48,9°), 41,1°. Un degré de latitude correspond à 111 km, une minute d'arc à 1,852 km : c'est la définition du mille marin. Une erreur d'un degré sur la mesure décale donc la position de 111 km.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi connaît-on mieux la surface de Mars que le fond de nos océans ?Un sondeur mesure la profondeur par le temps d'aller-retour d'un son : d = v × t / 2, avec v ≈ 1 500 m/s ; 8 s donnent 6 km. Un sondeur multifaisceau couvre une bande de largeur 2d tan 60° ≈ 13,9 km par 4 000 m de fond. À 18 km/h, un navire couvre environ 6 000 km² par jour : cartographier les 3/4 restants des océans demanderait environ 120 années-navire.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi presque tout Internet passe-t-il par des câbles au fond des océans plutôt que par satellite ?Dans une fibre, la lumière va à environ 200 000 km/s : un câble Paris–New York d'environ 5 800 km donne 29 ms de trajet. Un satellite géostationnaire impose 2 × 35 786 km de montée et de descente, soit au moins 239 ms. Les câbles offrent aussi un débit bien supérieur : ils transportent l'essentiel du trafic intercontinental, ce qui en fait des cibles stratégiques.Plan, tableau et questions du jury →
- Quand la mer Rouge est bloquée, combien coûte le détour par le cap de Bonne-Espérance ?De Rotterdam à Singapour, la route par Suez fait environ 15 400 km, celle par le Cap environ 21 700 km. À 14 nœuds (25,9 km/h), le trajet passe d'environ 25 à 35 jours. La consommation par trajet est proportionnelle au carré de la vitesse : ralentir de 20 % réduit le carburant de 36 % mais allonge le voyage de 25 %. Les armateurs arbitrent entre temps et coût.Plan, tableau et questions du jury →
Patrimoine, histoire et mémoire
Dater, estimer, compter les victimes.
- Comment estimer le nombre de victimes d'une famine quand personne ne les a comptées ? L'exemple de l'IrlandeL'Irlande comptait 6,80 millions d'habitants en 1821 et 8,18 millions en 1841, soit environ +0,93 % par an. En prolongeant cette tendance, on attendrait 8,18 × 1,0093¹⁰ ≈ 8,97 millions en 1851 ; le recensement en trouve 6,55. Il manque environ 2,4 millions de personnes : environ un million de morts, plus d'un million d'émigrés et des naissances qui n'ont pas eu lieu.Plan, tableau et questions du jury →
- Que nous disent les monuments aux morts de 1914-1918 ? Mesurer une saignéeEnviron 1,4 million de soldats français sont morts sur environ 8 millions de mobilisés, soit 17,5 %, et 3,5 % de la population de 1914 (39,6 millions). Répartis sur environ 36 000 communes, cela fait en moyenne près de 39 noms par monument. La moyenne cache de fortes disparités : la proportion de morts dépend de l'âge, de l'arme et de la région.Plan, tableau et questions du jury →
- Quand disparaîtront les derniers témoins de la Seconde Guerre mondiale, et que deviendra leur mémoire ?Le risque de décès d'une personne âgée augmente d'environ 9 % par an (loi de Gompertz). Sur 100 000 personnes de 91 ans, avec un risque initial de 15 %, il en reste environ 10 900 à 100 ans, 900 à 105 ans et aucune vers 112 ans. Les derniers témoins conscients de la guerre devraient donc disparaître dans une vingtaine d'années : la mémoire vivante laisse place à l'histoire.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment Champollion a-t-il compris que les hiéroglyphes n'étaient pas seulement des symboles ? Le pouvoir d'un comptageSur la pierre de Rosette, Champollion compta 1 419 signes hiéroglyphiques pour un texte grec de 486 mots, soit près de 3 signes par mot : chaque signe ne pouvait donc pas être un mot entier. Le nombre de signes différents révèle aussi la nature d'une écriture : une vingtaine pour un alphabet, une centaine pour un syllabaire, des milliers pour une écriture de mots.Plan, tableau et questions du jury →
- Le Parthénon a-t-il vraiment été construit selon le nombre d'or ?Le nombre d'or φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618 est souvent attribué au Parthénon. Pourtant, la façade mesure environ 30,9 m sur 13,7 m, soit un rapport de 2,25. Si l'on mesure 20 rapports au hasard entre 1 et 2,5, la probabilité qu'au moins un tombe à 2 % de φ vaut environ 1 − (1 − 0,043)²⁰ ≈ 58 % : on trouve presque toujours le nombre d'or si on le cherche.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien de visiteurs se trouvent en même temps au Louvre, et pourquoi limiter leur nombre ?La loi de Little relie trois grandeurs : le nombre moyen de personnes présentes est égal au flux d'arrivées multiplié par la durée moyenne du séjour (L = λ × W). Avec 30 000 visiteurs par jour sur 10 h d'ouverture et 3 h de visite, il y a en moyenne 30 000 × 3 / 10 = 9 000 personnes à l'intérieur. Allonger la visite ou augmenter le flux fait croître la foule proportionnellement.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi a-t-on fermé la grotte de Lascaux au public ? Une équation différentielle pour le patrimoineLes visiteurs apportent du gaz carbonique et de l'humidité dans la grotte, que l'air renouvelle lentement. Avec un apport constant b et un renouvellement proportionnel à l'excès C, on obtient C' = b − kC, dont la solution C(t) = (b/k)(1 − e^(−kt)) tend vers b/k. L'excès d'équilibre est proportionnel au nombre de visiteurs : c'est pourquoi Lascaux, qui recevait plus d'un millier de visiteurs par jour, a été fermée en 1963.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi conserve-t-on les archives au frais ? Température et durée de vie du papierLes réactions chimiques qui dégradent le papier vont environ deux fois plus vite à chaque hausse de 5 °C. La durée de vie suit alors D(T) = D₀ × 2^((T₀ − T)/5) : un papier qui tiendrait 100 ans à 20 °C tient environ 400 ans à 10 °C, et seulement 50 ans à 25 °C. Baisser la température de quelques degrés multiplie la durée de conservation : c'est le choix des grands dépôts d'archives.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi Venise est-elle inondée de plus en plus souvent ? Une petite hausse, un grand effetLes hauteurs d'eau extrêmes suivent souvent une loi où la probabilité de dépasser h décroît exponentiellement : P(H > h) = e^(−(h − h₀)/s). Avec s = 10 cm, une hausse du niveau moyen de 25 cm multiplie la fréquence d'une inondation donnée par e^2,5 ≈ 12. Une montée modeste du niveau de la mer rend fréquents des événements autrefois rares, menaçant un patrimoine mondial.Plan, tableau et questions du jury →
- La liste du patrimoine mondial de l'Unesco représente-t-elle équitablement toutes les régions du monde ?Environ 47 % des biens du patrimoine mondial se trouvent en Europe et en Amérique du Nord, qui rassemblent environ 14 % de la population mondiale : un indice de représentation de 47/14 ≈ 3,4. L'Afrique subsaharienne compte environ 9 % des biens pour environ 15 % de la population : indice 0,6. Le choix de l'indicateur (population, superficie, ancienneté) modifie le diagnostic.Plan, tableau et questions du jury →
L'enjeu de la connaissance
Diffusion des savoirs, réseaux, données.
- Pourquoi l'imprimerie a-t-elle fait baisser le prix des livres ? Coût fixe et coût moyenUn copiste produisait quelques pages par jour : une Bible de 1 282 pages lui demandait plus d'un an de travail. Avec l'imprimerie, l'essentiel du coût est fixe (composer les pages), puis chaque exemplaire coûte peu. Le coût moyen C(n)/n = F/n + c décroît avec le tirage n et tend vers c : plus on imprime, moins chaque livre coûte. Le savoir devient diffusable à grande échelle.Plan, tableau et questions du jury →
- Tous les chercheurs publient-ils autant ? La loi de Lotka et la production des savoirsSelon la loi de Lotka (1926), le nombre d'auteurs qui publient n articles est proportionnel à 1/n². Comme la somme des 1/n² vaut π²/6, environ 6/π² ≈ 61 % des auteurs n'ont publié qu'un article, 15 % en ont publié deux, et seulement 6 % au moins dix. Une petite minorité produit une grande part des savoirs : la science est très concentrée.Plan, tableau et questions du jury →
- Le classement de Shanghai mesure-t-il vraiment la qualité des universités ?Le classement de Shanghai additionne six indicateurs avec des poids fixés (10 % ou 20 % chacun). Deux universités peuvent échanger leur rang si l'on modifie ces poids : avec les poids officiels, B obtient 48 et A 47 ; en donnant 30 % aux prix Nobel et 10 % aux publications, A passe à 47 et B tombe à 40,5. Une moyenne pondérée dépend de choix qui ne sont pas neutres.Plan, tableau et questions du jury →
- Les femmes ont-elles rattrapé les hommes dans l'accès à l'écriture sous l'Ancien Régime ? Écart ou rapportD'après les signatures au mariage, 29 % des hommes et 14 % des femmes savaient signer en France vers 1686-1690, puis 47 % et 27 % vers 1786-1790. L'écart a augmenté (de 15 à 20 points) alors que le rapport a diminué (de 2,07 à 1,74). Selon l'indicateur choisi, on conclut à un creusement ou à un rattrapage : il faut expliciter sa mesure.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment des caméras connectées peuvent-elles paralyser Internet ? Le déni de service en chiffresUne attaque par déni de service sature un serveur de requêtes. 100 000 objets connectés envoyant chacun 10 Mbit/s produisent 10⁵ × 10⁷ = 10¹² bit/s, soit 1 Tbit/s, cent fois la capacité d'un serveur à 10 Gbit/s. Il suffit de 1 000 objets pour saturer ce serveur. En 2016, le botnet Mirai, formé de caméras et de routeurs piratés, a ainsi rendu inaccessibles de grands sites.Plan, tableau et questions du jury →
- Une encyclopédie écrite par tout le monde peut-elle être fiable ? Galton, Wikipédia et la sagesse des foulesEn 1906, Francis Galton recueille 787 estimations du poids d'un bœuf : leur médiane, 1 207 livres, est à moins de 1 % du poids réel, 1 198 livres. Si les erreurs sont indépendantes, l'erreur de la moyenne est divisée par √n : avec un écart type individuel de 100 livres, environ 100/√787 ≈ 3,6 livres. En 2005, Nature relevait 162 erreurs dans 42 articles de Wikipédia contre 123 dans l'Encyclopædia Britannica.Plan, tableau et questions du jury →
- Pourquoi quelques plateformes numériques dominent-elles le monde ? Les effets de réseauDans un réseau de n utilisateurs, le nombre de liaisons possibles vaut n(n − 1)/2 : 4 950 pour 100 utilisateurs, 499 500 pour 1 000. Doubler le nombre d'utilisateurs multiplie environ par 4 le nombre de liaisons. Si la valeur d'un réseau croît ainsi (loi de Metcalfe), le plus grand attire toujours plus : c'est l'une des causes de la domination de quelques plateformes.Plan, tableau et questions du jury →
- Comment la Chine est-elle devenue le premier producteur d'articles scientifiques ? Le calcul d'un rattrapageSi la Chine publie deux fois moins que les États-Unis mais voit sa production croître de 8 % par an contre 1 %, le rapport est multiplié par 1,08/1,01 ≈ 1,069 chaque année. Le dépassement intervient quand 1,069ⁿ = 2, soit n = ln 2 / ln(1,069) ≈ 10 ans. Ce modèle simple est proche de ce qui a été observé : la Chine a dépassé les États-Unis en nombre d'articles vers 2016.Plan, tableau et questions du jury →
- Une partie des résultats scientifiques publiés est-elle fausse ? Probabilités et crise de la reproductibilitéSi 10 % des hypothèses testées sont vraies, avec une puissance de 80 % et un seuil de 5 %, les résultats positifs vrais représentent 0,08 et les faux positifs 0,045 : seulement 0,08/0,125 = 64 % des résultats « significatifs » sont vrais. Avec une puissance de 20 %, ce n'est plus que 31 %. En 2015, une grande étude n'a reproduit que 36 % de résultats de psychologie.Plan, tableau et questions du jury →
- Combien de temps fallait-il pour apprendre une nouvelle ? De la mort de Napoléon à la fibre optiqueNapoléon meurt à Sainte-Hélène le 5 mai 1821 ; la nouvelle arrive à Londres le 4 juillet, après environ 61 jours et 7 700 km, soit environ 126 km par jour (5 km/h). Une fibre optique parcourt la même distance en 7 700/200 000 ≈ 0,04 s. Le rapport, de l'ordre de 10⁸, ne se lit bien que sur une échelle logarithmique.Plan, tableau et questions du jury →
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une question transversale maths et hggsp ?
Une question qui s'appuie sur les deux spécialités à la fois : les mathématiques y fournissent l'outil (une fonction, une suite, une probabilité) et l'HGGSP le contexte et le sens. Le texte officiel autorise deux questions transversales, ou une question transversale et une question propre à une spécialité.
Qui sera dans mon jury ?
Deux professeurs de disciplines différentes, dont l'un représente une de vos deux spécialités. Le jury choisit l'une de vos deux questions, en fonction des spécialités de ses membres. Pour une question maths et hggsp, préparez-vous à être interrogé par un professeur de maths comme par un professeur d'HGGSP : chaque fiche prévoit des questions des deux côtés.
Puis-je reprendre une de ces questions telle quelle ?
Vous pouvez vous en inspirer et même garder la formulation : le jury n'évalue ni la formulation ni la pertinence de la question. En revanche, la question doit avoir été préparée avec vos professeurs, qui signent la feuille remise au jury, et l'introduction doit raconter votre propre parcours. Une présentation récitée se repère tout de suite pendant l'échange.
Combien de temps dure l'exposé en 2027 ?
10 minutes, debout, après 20 minutes de préparation, puis 10 minutes d'échange avec le jury. Chaque plan de cette page est minuté pour tenir dans les 10 minutes. Aucun matériel n'est autorisé hormis de quoi écrire : pas de calculatrice.
Les 100 questions couvrent-elles tout le programme ?
Elles couvrent les grands enjeux du cycle terminal (première et terminale) des deux spécialités, thème par thème. Pendant l'échange, le jury peut vous interroger sur toute partie du programme de vos spécialités en lien avec la question : révisez les notions citées dans chaque fiche.