Comment calculer une limite finie ? Méthode et exemples

Q: Faut-il toujours factoriser ?

Non. Quand le quotient se sépare simplement, comme 2x+1x = 2 + 1x, c'est plus rapide.

Les étapes

1
Repérer les termes en 1/x
Ils tendent vers $0$ 0.
2
Simplifier
On garde les termes constants.
3
Conclure
La limite est la partie constante.

Exemple corrigé

Calculer $lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 1}{x}$ lim_x→+∞(2x+1)/x.

1. $\frac{2 x + 1}{x} = 2 + \frac{1}{x}$ (2x+1)/x = 2 + 1/x.
2. $\frac{1}{x} \to 0$ 1/x → 0.
3.Limite $= 2$ = 2.

Résultat :

2

Deuxième exemple

Calculer $lim_{x \to + \infty} \frac{3 x ^{2} + x}{x ^{2} - 1}$ lim_x→+∞(3x²+x)/(x²-1).

1.On factorise par $x^{2}$ x² en haut et en bas : $\frac{x ^{2} ( 3 + \frac{1}{x} )}{x ^{2} ( 1 - \frac{1}{x ^{2}} )}$ (x²(3 + 1/x))/(x²(1 - 1/x²)).
2.On simplifie par $x^{2}$ x² : $\frac{3 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x ^{2}}}$ (3 + 1/x)/(1 - 1/x²).
3. $\frac{1}{x} \to 0$ 1/x → 0 et $\frac{1}{x ^{2}} \to 0$ 1/x² → 0, donc la limite vaut $\frac{3}{1}$ 3/1.

Résultat :

3

Piège à éviter

Transformer l'expression (séparer le quotient) facilite le calcul.

Questions fréquentes

Pourquoi factoriser par le terme de plus haut degré ?

Parce qu'il impose le comportement à l'infini. Une fois mis en facteur et simplifié, tout ce qui reste tend vers une constante ou vers

0

Que faire devant une forme indéterminée du type infini sur infini ?

On factorise haut et bas par le terme dominant, puis on simplifie : l'indétermination disparaît et il reste un quotient de limites finies.

Faut-il toujours factoriser ?

Non. Quand le quotient se sépare simplement, comme

\frac{2 x + 1}{x} = 2 + \frac{1}{x}

(2x+1)/x = 2 + 1/x, c'est plus rapide.

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