Comment calculer une limite infinie ? Méthode et exemples

Q: Pourquoi seul le terme de plus haut degré compte-t-il ?

Parce qu'en le factorisant, x3(-2 + 1x), la parenthèse tend vers -2 : tout le comportement vient de x3.

Q: Une limite infinie est-elle un nombre ?

Non. Écrire f = + décrit un comportement : f finit par dépasser n'importe quel seuil, elle n'atteint pas une valeur.

Les étapes

1
Repérer le terme dominant
Le terme de plus haut degré l'emporte.
2
Conclure le signe
On regarde s'il tend vers $+ \infty$ +∞ ou $- \infty$ -∞.

Exemple corrigé

Calculer $lim_{x \to + \infty} (x^{2} - 5 x)$ lim_x→+∞(x² - 5x).

1.Le terme dominant est $x^{2}$ x² (degré le plus haut).
2. $x^{2} \to + \infty$ x² → +∞, il l'emporte sur $- 5 x$ -5x.
3.Limite $= + \infty$ = +∞.

Résultat :

+ \infty

+∞.

Deuxième exemple

Calculer $lim_{x \to - \infty} (- 2 x^{3} + x^{2})$ lim_x→-∞(-2x³ + x²).

1.Le terme dominant est $- 2 x^{3}$ -2x³, de degré $3$ 3.
2.Quand $x \to - \infty$ x → -∞, $x^{3} \to - \infty$ x³ → -∞, donc $- 2 x^{3} \to + \infty$ -2x³ → +∞.
3.Le terme $x^{2}$ x² est négligeable devant $x^{3}$ x³.

Résultat :

+ \infty

+∞.

Piège à éviter

Le terme de plus haut degré impose la limite d'un polynôme à l'infini.

Questions fréquentes

Pourquoi seul le terme de plus haut degré compte-t-il ?

Parce qu'en le factorisant,

x^{3} (- 2 + \frac{1}{x})

x³(-2 + 1/x), la parenthèse tend vers

- 2

-2 : tout le comportement vient de

x^{3}

x³.

Comment déterminer le signe de la limite ?

On combine le signe du coefficient et celui de la puissance. En

- \infty

-∞, une puissance impaire garde le signe de

x

x donc reste négative, une puissance paire donne un résultat positif.

Une limite infinie est-elle un nombre ?

Non. Écrire

lim f = + \infty

lim f = +∞ décrit un comportement :

f

f finit par dépasser n'importe quel seuil, elle n'atteint pas une valeur.

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