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Trouver une asymptote verticale

Trouver une asymptote verticale se fait en deux étapes indissociables. On cherche d'abord les valeurs interdites, celles qui annulent un dénominateur ou sortent du domaine d'un logarithme. Puis, pour chacune, on calcule la limite de f en s'en approchant : c'est seulement si cette limite est infinie que la droite x = a est asymptote verticale. Sauter la seconde étape est l'erreur classique. On précise en général les limites à gauche et à droite, qui peuvent différer de signe.

Les étapes

  1. 1

    Valeurs interdites

    On résout « dénominateur = 0 ».
  2. 2

    Vérifier la limite

    Si f → ±∞ en ce point : asymptote verticale x = a.

Exemple corrigé

Trouver l'asymptote verticale de f(x) = 1/(x-2).

  1. 1.Dénominateur nul : x - 2 = 0 ⇔ x = 2.
  2. 2.En 2, f → ±∞ : asymptote verticale x = 2.
Résultat : x = 2.

Deuxième exemple

Trouver l'asymptote verticale de f(x) = (x+1)/(x-3).

  1. 1.Le dénominateur s'annule pour x = 3 : c'est la seule valeur interdite.
  2. 2.En 3, le numérateur vaut 4 et ne s'annule pas : le quotient tend donc vers l'infini.
  3. 3.À gauche de 3 le dénominateur est négatif, à droite positif : f tend vers -∞ puis vers +∞.
Résultat : Asymptote verticale x = 3.

Piège à éviter

Toutes les valeurs interdites ne donnent pas forcément une asymptote, mais c'est le cas usuel pour les fractions.

Questions fréquentes

Où chercher les valeurs interdites ?
Là où une opération devient impossible : dénominateur nul, argument négatif sous une racine, argument nul ou négatif dans un logarithme.
Faut-il écrire l'équation avec x ou avec y ?
Avec x : une asymptote verticale est une droite verticale, décrite par une équation de la forme x = a.
Une fonction peut-elle avoir plusieurs asymptotes verticales ?
Oui, autant que de valeurs interdites donnant une limite infinie. La fonction tangente en admet une infinité.

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