Information chiffrée et évolutions en Première STMG

Information chiffrée et évolutions en Première STMG : cours complet

En Première STMG, tu apprends à manipuler des informations chiffrées : proportions, pourcentages, taux d'évolution, indices. Ces notions sont essentielles en gestion, économie, marketing.

Proportions et pourcentages

Proportion

$$\text{Proportion}=\frac{\text{partie}}{\text{total}}$$Proportion = partie/total

Pourcentage

Une proportion exprimée en centièmes :

$$p\%=\frac{p}{100}$$p% = p/100

Calculer un pourcentage d'une quantité

$$p\%\text{ de }x=\frac{p}{100}\times x$$p% de x = p/100 × x

Exemple

$20\%$20% de $250$250 € = $50$50 €.

Coefficient multiplicateur

Augmentation de $t\%$t%

$$CM=1+\frac{t}{100}$$CM = 1 + t/100

Diminution de $t\%$t%

$$CM=1-\frac{t}{100}$$CM = 1 - t/100

Lien

$$\text{Valeur finale}=\text{Valeur initiale}\times CM$$Valeur finale = Valeur initiale × CM

Exemples

• Hausse de $20\%$20% : $CM=1,20$CM = 1,20.
• Baisse de $15\%$15% : $CM=0,85$CM = 0,85.

Taux d'évolution

Formule

$$t=\frac{V_f-V_i}{V_i}\text{(souvent exprimeˊ en \%)}$$t = (V_f - Vᵢ)/Vᵢ (souvent exprimé en %)

Exemple

Un prix passe de $80$80 à $100$100 € :

$$t=\frac{100-80}{80}=0,25=+25\%$$t = (100 - 80)/80 = 0,25 = +25%

Évolutions successives

Coefficient global

Pour enchaîner plusieurs évolutions, on multiplie les coefficients :

$$C{M}_{\text{global}}=C{M}_1\times C{M}_2\times \cdots$$CM_global = CM₁ × CM₂ × …

Exemple

Hausse de $10\%$10% puis baisse de $20\%$20% :

$$CM=1,10\times 0,80=0,88$$CM = 1,10 × 0,80 = 0,88

Donc évolution globale de $-12\%$-12%.

Évolution réciproque

Si un prix a évolué de $CM$CM, l'évolution réciproque (qui ramène au prix initial) est $\frac{1}{CM}$1/CM.

Exemple

Réduction de $20\%$20% → $CM=0,80$CM = 0,80. Pour revenir au prix initial : multiplier par $\frac{1}{0,80}=1,25$1/0,80 = 1,25, soit hausse de $25\%$25%.

Taux moyen

Définition

Le taux moyen sur $n$n périodes vérifie :

$$(1+t_m{)}^n=C{M}_{\text{global}}$$(1 + t_m)ⁿ = CM_global

$$t_m=(C{M}_{\text{global}}{)}^{1/n}-1$$t_m = (CM_global)^(1/n) - 1

Exemple

Une population augmente de $30\%$30% en $5$5 ans. Taux moyen annuel :

$$t_m=1,30^{1/5}-1\approx 0,054=+5,4\%\text{ par an}$$t_m = 1,30^(1/5) - 1 ≈ 0,054 = +5,4% par an

Indices

Définition

Un indice mesure l'évolution d'une grandeur par rapport à une référence (souvent $100$100) :

$$I_t=\frac{V_t}{V_0}\times 100$$I_t = V_t/V₀ × 100

Exemple

$V_0=80$V₀ = 80, $V_t=100$V_t = 100 → $I_t=125$I_t = 125 (hausse de $25\%$25% depuis la référence).

Taux d'évolution entre indices

$$t=\frac{I_2-I_1}{I_1}$$t = (I₂ - I₁)/I₁

TVA et soldes

TVA $20\%$20%

Prix TTC = Prix HT × $1,20$1,20.

Soldes $30\%$30%

Prix soldé = Prix initial × $0,70$0,70.

Retrouver le prix initial

Prix initial = $\frac{\text{Prix final}}{CM}$(Prix final)/CM.

Erreurs fréquentes à éviter

• Ajouter des pourcentages : $+10\%$+10% puis $+10\%$+10% ne fait pas $+20\%$+20% mais $+21\%$+21%.
• Croire qu'une hausse de $t\%$t% suivie d'une baisse de $t\%$t% ramène au prix initial : c'est une baisse.
• Confondre $1+t$1 + t et $t$t : le coefficient est $1+t$1 + t.
• Mauvais calcul du taux moyen : prendre la racine $n$n-ième.

FAQ — Information chiffrée et évolutions

À quoi servent les pourcentages en STMG ?

À analyser les performances, comparer des évolutions, calculer des prix (TVA, soldes), évaluer la croissance d'une entreprise.

Comment calculer rapidement $10\%$10% ?

Diviser par $10$10. Exemple : $10\%$10% de $250$250 = $25$25.

Comment calculer un taux moyen ?

Prendre la racine $n$n-ième du coefficient global, puis soustraire $1$1.

Quelle est la différence entre indice et taux ?

Un indice est une valeur ($100$100, $125$125…). Un taux est un pourcentage d'évolution.