Information chiffrée et indices en Terminale STMG

Information chiffrée et indices en Terminale STMG : cours complet

En Terminale STMG, tu approfondis l'information chiffrée : taux d'évolution, indices, taux moyen, indices boursiers. Notions fondamentales en gestion, économie, finance.

Coefficient multiplicateur et taux d'évolution

Coefficient multiplicateur

$$CM=1+t\text{(}t\text{ exprimeˊ en deˊcimal)}$$CM = 1 + t ( t exprimé en décimal)

Lien

$$V_f=V_i\times CM$$V_f = Vᵢ × CM

$$t=CM-1=\frac{V_f-V_i}{V_i}$$t = CM - 1 = (V_f - Vᵢ)/Vᵢ

Évolutions successives

$$C{M}_{\text{global}}=C{M}_1\times C{M}_2\times \cdots \times C{M}_n$$CM_global = CM₁ × CM₂ × … × CMₙ

Exemple

Hausse $5\%$5% puis $3\%$3% puis $-2\%$-2% :

$$CM=1,05\times 1,03\times 0,98\approx 1,060$$CM = 1,05 × 1,03 × 0,98 ≈ 1,060

soit $+6\%$+6% environ.

Taux moyen

$$(1+t_m{)}^n=C{M}_{\text{global}}$$(1 + t_m)ⁿ = CM_global

$$t_m=(C{M}_{\text{global}}{)}^{1/n}-1$$t_m = (CM_global)^(1/n) - 1

Exemple

CA passe de $200$200 k€ à $350$350 k€ en $5$5 ans. Taux moyen annuel :

$$t_m=(350/200{)}^{1/5}-1=1,75^{0,2}-1\approx 0,119=+11,9\%$$t_m = (350/200)^(1/5) - 1 = 1,75^(0,2) - 1 ≈ 0,119 = +11,9%

Indices

Définition

$$I_t=\frac{V_t}{V_0}\times 100$$I_t = V_t/V₀ × 100

Exemples

• IPC (indice des prix à la consommation) : mesure l'inflation.
• CAC 40 : indice boursier de référence en France.

Taux d'évolution entre deux indices

$$t=\frac{I_2-I_1}{I_1}$$t = (I₂ - I₁)/I₁

Application : intérêts composés

Formule

Capital $C$C placé à taux $t$t annuel :

$$C_n=C_0\times (1+t{)}^n$$Cₙ = C₀ × (1 + t)ⁿ

Exemple

$10000$10 000 € à $4\%$4% pendant $10$10 ans :

$$C_{10}=10000\times 1,04^{10}\approx 14802\text{€}$$C₁₀ = 10000 × 1,04¹⁰ ≈ 14 802 €

Doublement d'un capital

Combien de temps pour qu'un capital double à taux $t$t ?

$$2=(1+t{)}^n⟺n=\frac{\ln 2}{\ln (1+t)}$$2 = (1 + t)ⁿ ⇔ n = (ln 2)/(ln(1 + t))

Règle des 72

Approximation rapide : $n\approx \frac{72}{100t}$n ≈ 72/(100 t).

• À $4\%$4% : doublement en $\approx 18$≈ 18 ans.
• À $6\%$6% : doublement en $\approx 12$≈ 12 ans.

Évolution réciproque

$$C{M}_{\text{reˊciproque}}=\frac{1}{CM}$$CM_réciproque = 1/CM

Exemple

Réduction de $25\%$25% ($CM=0,75$CM = 0,75) → réciproque = $\frac{1}{0,75}\approx 1,333$1/0,75 ≈ 1,333, soit hausse de $33,3\%$33,3%.

Indices et inflation

Pouvoir d'achat

Si l'inflation est $i$i et que le salaire augmente de $s$s :

$$\text{Variation du pouvoir d’achat}=\frac{1+s}{1+i}-1$$Variation du pouvoir d'achat = (1 + s)/(1 + i) - 1

Exemple

Salaire $+2\%$+2%, inflation $+3\%$+3% : pouvoir d'achat $\frac{1,02}{1,03}-1\approx -1\%$1,02/1,03 - 1 ≈ -1%.

Erreurs fréquentes à éviter

• Additionner les taux : faux, il faut multiplier les coefficients.
• Mauvais taux moyen : prendre la racine $n$n-ième, pas diviser par $n$n.
• Confondre $1+t$1 + t et $t$t.
• Mauvais signe : une baisse a $CM<1$CM < 1.

FAQ — Information chiffrée en Terminale STMG

Comment compare-t-on des évolutions ?

Via les coefficients multiplicateurs (multiplicatif) et non en additionnant les pourcentages.

À quoi sert l'indice ?

À suivre l'évolution d'une grandeur dans le temps par rapport à une référence (souvent $100$100).

Pourquoi la règle des 72 ?

Approximation : $\ln 2\approx 0,69$ln 2 ≈ 0,69, et pour $t$t petit, $\ln (1+t)\approx t$ln(1 + t) ≈ t. Donc $n\approx 0,69/t\approx 72/(100t)$n ≈ 0,69 / t ≈ 72/(100t).

Comment interpréter une baisse du pouvoir d'achat ?

Le salaire augmente moins vite que les prix : on peut acheter moins avec le même salaire.