Exercices corrigés : Fonction logarithme népérien — Terminale STI2D

Correction détaillée

1. 1

   $\ln 1=0$ln 1 = 0 : en effet $e^0=1$e⁰ = 1.

2. 2

   $\ln e=1$ln e = 1 : en effet $e^1=e$e¹ = e.

3. 3

   $\ln \left(e^5\right)=5$ln(e⁵) = 5, par réciprocité directe.

4. 4

   $e^{\ln 7}=7$e^(ln 7) = 7, par l'autre relation de réciprocité (valable car $7>0$7 > 0).

5. 5

   $\ln \left(\frac{1}{e}\right)=\ln \left(e^{-1}\right)=-1$ln(1/e) = ln(e⁻¹) = -1.

6. 6

   À retenir : $\ln$ln « lit l'exposant » de $e$e.

   Les deux fonctions se défont l'une l'autre.

Rappel de cours : $\ln (e^x)=x$ln(e^(x)) = x pour tout réel $x$x · $e^{\ln x}=x$e^(ln x) = x pour $x>0$x > 0 seulement.

Erreur fréquente : Écrire $\ln 0=0$ln 0 = 0 : le logarithme n'est défini que pour les nombres STRICTEMENT positifs. $\ln 0$ln 0 n'existe pas.

Correction détaillée

1. 1

   $\ln 6=\ln (2\times 3)=\ln 2+\ln 3\approx 0,693+1,099=1,792$ln 6 = ln(2× 3) = ln 2 + ln 3 ≈ 0,693 + 1,099 = 1,792.

2. 2

   $\ln 1,5=\ln \frac{3}{2}=\ln 3-\ln 2\approx 1,099-0,693=0,406$ln 1,5 = ln3/2 = ln 3 - ln 2 ≈ 1,099 - 0,693 = 0,406.

3. 3

   $\ln 8=\ln \left(2^3\right)=3\ln 2\approx 2,079$ln 8 = ln(2³) = 3ln 2 ≈ 2,079.

4. 4

   $\ln \sqrt{2}=\ln \left(2^{1/2}\right)=\frac{1}{2}\ln 2\approx 0,347$ln√(2) = ln(2^(1/2)) = 1/2ln 2 ≈ 0,347.

5. 5

   $\ln \frac{1}{3}=-\ln 3\approx -1,099$ln1/3 = -ln 3 ≈ -1,099.

6. 6

   Contrôle de cohérence : $1,5>1$1,5 > 1 donc son logarithme est positif ✔ ; $\frac{1}{3}<1$1/3 < 1 donc le sien est négatif ✔.

Rappel de cours : $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ln(ab) = ln a + ln b · $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$lna/b = ln a - ln b · $\ln (a^n)=n\ln a$ln(aⁿ) = nln a · $\ln \sqrt{a}=\frac{1}{2}\ln a$ln √a = 1/2ln a.

Erreur fréquente : Écrire $\ln (2+3)=\ln 2+\ln 3$ln(2+3) = ln 2 + ln 3 : la propriété concerne le PRODUIT, pas la somme. $\ln 5\approx 1,609\ne 1,792$ln 5 ≈ 1,609 ≠ 1,792.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=3\times \frac{1}{x}=\frac{3}{x}$f'(x) = 3×1/x = 3/x.

2. 2

   $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+2$g'(x) = 1/x + 2.

3. 3

   $h^{\prime }(x)=\frac{5}{x}-2x$h'(x) = 5/x - 2x.

4. 4

   Signe : sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[, $\frac{1}{x}$1/x est toujours STRICTEMENT POSITIF.

5. 5

   La fonction $\ln$ln est donc strictement CROISSANTE sur tout son domaine.

6. 6

   Remarque : sa pente diminue quand $x$x grandit ($\frac{1}{100}=0,01$1/100 = 0,01 en $x=100$x = 100) : la courbe de $\ln$ln monte de plus en plus lentement, sans jamais cesser de monter.

Rappel de cours : $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$(ln x)' = 1/x sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[ : toujours positive, donc $\ln$ln est croissante.

Erreur fréquente : Dériver $3\ln x$3ln x en $\frac{1}{3x}$1/3x : le coefficient $3$3 reste au NUMÉRATEUR.

Correction détaillée

1. 1

   $e^x=5⟺x=\ln 5\approx 1,609$e^(x) = 5 ⇔ x = ln 5 ≈ 1,609.

2. 2

   $\ln x=2⟺x=e^2\approx 7,389$ln x = 2 ⇔ x = e² ≈ 7,389.

3. 3

   $e^x=0,1⟺x=\ln 0,1\approx -2,303$e^(x) = 0,1 ⇔ x = ln 0,1 ≈ -2,303.

4. 4

   $\ln x=-1⟺x=e^{-1}\approx 0,368$ln x = -1 ⇔ x = e⁻¹ ≈ 0,368.

5. 5

   Contrôles : $e^{1,609}\approx 5$e^(1,609) ≈ 5 ✔ et $\ln (7,389)\approx 2$ln(7,389) ≈ 2 ✔.

6. 6

   Méthode à retenir : pour « descendre » une inconnue d'un exposant, on applique $\ln$ln ; pour la « sortir » d'un logarithme, on applique $\exp$exp.

Rappel de cours : $e^x=b⟺x=\ln b$e^(x) = b ⇔ x = ln b (pour $b>0$b > 0) · $\ln x=a⟺x=e^a$ln x = a ⇔ x = e^(a).

Erreur fréquente : Écrire $e^x=0,1\Rightarrow x=0,1$e^(x) = 0,1 ⇒ x = 0,1 : la solution est $\ln 0,1$ln 0,1, un nombre NÉGATIF.

Correction détaillée

1. 1

   Le logarithme n'est défini que pour les nombres strictement positifs : son ensemble de définition est $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.

2. 2

   $\ln$ln est croissante et s'annule en $x=1$x = 1 (car $\ln 1=0$ln 1 = 0).

3. 3

   Donc $\ln x>0$ln x > 0 pour $x>1$x > 1, et $\ln x<0$ln x < 0 pour $0<x<1$0 < x < 1.

4. 4

   $\ln x\ge 3$ln x ≥ 3 : la fonction étant croissante, on applique l'exponentielle sans changer le sens.

5. 5

   $x\ge e^3\approx 20,086$x ≥ e³ ≈ 20,086.

6. 6

   Il faut aussi respecter le domaine, mais $e^3>0$e³ > 0 donc la condition $x>0$x > 0 est automatiquement vérifiée.

7. 7

   Ensemble des solutions : $\left[e^3;+\infty \right[$[e³ ; +∞[.

Rappel de cours : $\ln$ln est croissante : $\ln x\ge a⟺x\ge e^a$ln x ≥ a ⇔ x ≥ e^(a). Et toujours vérifier que $x>0$x > 0.

Erreur fréquente : Oublier la condition $x>0$x > 0 dans les inéquations : sur un exercice du type $\ln (x-2)\ge 1$ln(x - 2) ≥ 1, elle devient $x>2$x > 2 et elle est décisive.

Correction détaillée

1. 1

   $e^{3x}=20$e^(3x) = 20 : on applique $\ln$ln, donc $3x=\ln 20$3x = ln 20.

2. 2

   $x=\frac{\ln 20}{3}\approx \frac{2,996}{3}\approx 0,999$x = (ln 20)/3 ≈ 2,996/3 ≈ 0,999.

3. 3

   $4e^{-0,5t}=1$4e^(-0,5t) = 1 : on isole d'abord l'exponentielle, $e^{-0,5t}=0,25$e^(-0,5t) = 0,25.

4. 4

   Puis $-0,5t=\ln 0,25\approx -1,386$-0,5t = ln 0,25 ≈ -1,386, donc $t\approx \frac{-1,386}{-0,5}\approx 2,773$t ≈ (-1,386)/(-0,5) ≈ 2,773.

5. 5

   $e^{2x+1}=7$e^(2x+1) = 7 : $2x+1=\ln 7\approx 1,946$2x + 1 = ln 7 ≈ 1,946, donc $2x\approx 0,946$2x ≈ 0,946 et $x\approx 0,473$x ≈ 0,473.

6. 6

   Contrôle : $e^{2\times 0,473+1}=e^{1,946}\approx 7,0$e^(2× 0,473 + 1) = e^(1,946) ≈ 7,0 ✔.

7. 7

   Méthode générale en trois temps : isoler l'exponentielle, appliquer $\ln$ln, puis résoudre l'équation du premier degré obtenue.

Rappel de cours : On ISOLE l'exponentielle avant d'appliquer $\ln$ln : $4e^u=1$4e^(u) = 1 donne $e^u=0,25$e^(u) = 0,25, pas $u=\ln 1-\ln 4$u = ln 1 - ln 4 directement.

Erreur fréquente : Écrire $\ln \left(4e^{-0,5t}\right)=4\times (-0,5t)$ln(4e^(-0,5t)) = 4×(-0,5t) : le $\ln$ln d'un produit se décompose en SOMME, $\ln 4-0,5t$ln 4 - 0,5t.

Correction détaillée

1. 1

   Première équation : il faut $2x-1>0$2x - 1 > 0, soit $x>0,5$x > 0,5.

2. 2

   $\ln (2x-1)=3$ln(2x-1) = 3 donne $2x-1=e^3$2x - 1 = e³, donc $x=\frac{e^3+1}{2}\approx \frac{21,086}{2}\approx 10,543$x = (e³ + 1)/2 ≈ 21,086/2 ≈ 10,543.

3. 3

   Cette valeur vérifie $x>0,5$x > 0,5 ✔.

4. 4

   Deuxième équation : domaine $x>0$x > 0.

   On regroupe : $\ln (4x)=\ln 12$ln(4x) = ln 12, donc $4x=12$4x = 12 et $x=3$x = 3 ✔ (compatible avec le domaine).

5. 5

   Troisième équation : domaine $x>0$x > 0.

   $2\ln x=\ln \left(x^2\right)$2ln x = ln(x²), donc $x^2=9$x² = 9, soit $x=3$x = 3 ou $x=-3$x = -3.

6. 6

   Mais $-3$-3 est exclu par le domaine : la seule solution est $x=3$x = 3.

7. 7

   Leçon de méthode : on détermine TOUJOURS le domaine avant de résoudre, car il élimine des solutions apparentes.

Rappel de cours : $\ln u=\ln v⟺u=v$ln u = ln v ⇔ u = v, à condition que $u>0$u > 0 et $v>0$v > 0. Le domaine fait partie de la résolution.

Erreur fréquente : Garder $x=-3$x = -3 dans la troisième équation : $\ln (-3)$ln(-3) n'existe pas.

Correction détaillée

1. 1

   Règle : la dérivée de $\ln (u)$ln(u) est $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u.

2. 2

   $f(x)=\ln (3x)$f(x) = ln(3x) : $u=3x$u = 3x, $u^{\prime }=3$u' = 3, donc $f^{\prime }(x)=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$f'(x) = 3/3x = 1/x.

3. 3

   Résultat remarquable : $\ln (3x)=\ln 3+\ln x$ln(3x) = ln 3 + ln x diffère de $\ln x$ln x d'une constante, donc les deux ont la même dérivée ✔.

4. 4

   $g(x)=\ln (2x-5)$g(x) = ln(2x - 5) : $u^{\prime }=2$u' = 2, donc $g^{\prime }(x)=\frac{2}{2x-5}$g'(x) = 2/(2x - 5).

5. 5

   $h(x)=\ln (x^2+1)$h(x) = ln(x²+1) : $u=x^2+1$u = x²+1, $u^{\prime }=2x$u' = 2x, donc $h^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$h'(x) = 2x/(x²+1).

6. 6

   Signe de $h^{\prime }$h' : le dénominateur est toujours positif, donc $h^{\prime }$h' a le signe de $x$x — la fonction $h$h décroît sur les négatifs et croît sur les positifs, avec un minimum en $0$0.

Rappel de cours : $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln u)' = u'/u : la dérivée de l'intérieur passe au numérateur.

Erreur fréquente : Écrire $(\ln (2x-5){)}^{\prime }=\frac{1}{2x-5}$(ln(2x-5))' = 1/(2x-5) : il manque le facteur $u^{\prime }=2$u' = 2.

Correction détaillée

1. 1

   $A=\ln \left(e^4\right)=4$A = ln(e⁴) = 4, par réciprocité.

2. 2

   $B=e^{2\ln 3}=e^{\ln \left(3^2\right)}=e^{\ln 9}=9$B = e^(2ln 3) = e^(ln(3²)) = e^(ln 9) = 9.

3. 3

   $C=\ln \left(e^{5-2}\right)=\ln \left(e^3\right)=3$C = ln(e⁵⁻²) = ln(e³) = 3.

4. 4

   $D=e^{\ln (4\times 2)}=e^{\ln 8}=8$D = e^(ln(4× 2)) = e^(ln 8) = 8.

5. 5

   Contrôle numérique de $B$B : $2\ln 3\approx 2,197$2ln 3 ≈ 2,197 et $e^{2,197}\approx 9,0$e^(2,197) ≈ 9,0 ✔.

6. 6

   Méthode : on regroupe toujours l'exposant en UN SEUL logarithme (ou l'argument du $\ln$ln en une seule exponentielle) avant d'appliquer la réciprocité.

Rappel de cours : $e^{n\ln a}=a^n$e^(nln a) = aⁿ : c'est la formule qui permet d'écrire n'importe quelle puissance à l'aide de $e$e.

Erreur fréquente : Écrire $e^{2\ln 3}=2\times 3=6$e^(2ln 3) = 2× 3 = 6 : le coefficient $2$2 est un EXPOSANT de $3$3, d'où $9$9.

Correction détaillée

1. 1

   $\ln 0,1\approx -2,303$ln 0,1 ≈ -2,303 ; $\ln 0,001\approx -6,908$ln 0,001 ≈ -6,908 ; $\ln \left(10^{-6}\right)\approx -13,816$ln(10⁻⁶) ≈ -13,816.

2. 2

   Les valeurs descendent sans limite : $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$lim_x→ 0⁺ln x = -∞.

   L'axe des ordonnées est une asymptote VERTICALE.

3. 3

   $\ln 100\approx 4,605$ln 100 ≈ 4,605 ; $\ln 10^6\approx 13,816$ln 10⁶ ≈ 13,816 ; $\ln 10^{12}\approx 27,631$ln 10¹² ≈ 27,631.

4. 4

   Les valeurs croissent sans limite : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$lim_x→+∞ln x = +∞.

5. 5

   Mais très LENTEMENT : pour que $\ln x$ln x atteigne $27,6$27,6, il faut $x=10^{12}$x = 10¹², soit mille milliards.

6. 6

   Croissances comparées : $\frac{\ln x}{x}$(ln x)/x vaut $0,046$0,046 en $x=100$x = 100, puis $1,4\times 10^{-5}$1,4× 10⁻⁵ en $x=10^6$x = 10⁶.

   Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$lim_x→+∞(ln x)/x = 0.

7. 7

   Conclusion : $\ln$ln croît vers $+\infty$+∞ mais MOINS VITE que n'importe quelle puissance de $x$x — c'est l'exact symétrique de l'exponentielle.

Rappel de cours : $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$lim_x→ 0⁺ln x = -∞ · $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$lim_x→+∞ln x = +∞ · $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$lim_x→+∞(ln x)/x = 0.

Erreur fréquente : Croire que $\ln$ln est bornée parce qu'elle croît lentement : elle dépasse toute valeur, mais il faut aller très loin.

Correction détaillée

1. 1

   Demi-vie : on résout $e^{-0,035t}=0,5$e^(-0,035t) = 0,5.

2. 2

   En appliquant $\ln$ln : $-0,035t=\ln 0,5\approx -0,69315$-0,035t = ln 0,5 ≈ -0,693 15.

3. 3

   $t=\frac{\ln 0,5}{-0,035}=\frac{\ln 2}{0,035}\approx \frac{0,69315}{0,035}\approx 19,8$t = (ln 0,5)/(-0,035) = (ln 2)/0,035 ≈ (0,693 15)/0,035 ≈ 19,8 jours.

4. 4

   Pour $10\%$10% : $e^{-0,035t}=0,1$e^(-0,035t) = 0,1, donc $t=\frac{\ln 10}{0,035}\approx \frac{2,3026}{0,035}\approx 65,8$t = (ln 10)/0,035 ≈ (2,302 6)/0,035 ≈ 65,8 jours.

5. 5

   Cohérence : le rapport $\frac{65,8}{19,8}\approx 3,32$65,8/19,8 ≈ 3,32.

6. 6

   Or passer à $10\%$10% demande toujours $\frac{\ln 10}{\ln 2}\approx 3,32$(ln 10)/(ln 2) ≈ 3,32 demi-vies ✔ — un repère universel, indépendant de la substance.

7. 7

   Formule générale à retenir : pour $A_0{e}^{-kt}$A₀e^(-kt), la demi-vie vaut $\frac{\ln 2}{k}$(ln 2)/k.

Rappel de cours : Demi-vie d'un modèle $e^{-kt}$e^(-kt) : $T=\frac{\ln 2}{k}$T = (ln 2)/k. Elle ne dépend pas de la valeur initiale.

Erreur fréquente : Multiplier la demi-vie par $10$10 pour atteindre $10\%$10% : il faut $3,32$3,32 demi-vies, pas $10$10.

Correction détaillée

1. 1

   Condition : $15e^{-0,05/\tau }\le 1$15e^(-0,05/τ) ≤ 1, soit $e^{-0,05/\tau }\le \frac{1}{15}$e^(-0,05/τ) ≤ 1/15.

2. 2

   On applique $\ln$ln : $-\frac{0,05}{\tau }\le \ln \frac{1}{15}=-\ln 15$-0,05/τ ≤ ln1/15 = -ln 15.

3. 3

   Or $\ln 15\approx 2,708$ln 15 ≈ 2,708.

   En multipliant par $-1$-1 (ce qui inverse l'inégalité) : $\frac{0,05}{\tau }\ge 2,708$0,05/τ ≥ 2,708.

4. 4

   Comme $\tau >0$τ > 0, on obtient $\tau \le \frac{0,05}{2,708}\approx 0,0185$τ ≤ 0,05/2,708 ≈ 0,018 5 s, soit $18,5$18,5 ms.

5. 5

   Capacité maximale : $\tau =RC$τ = RC donne $C=\frac{\tau }{R}\le \frac{0,0185}{10000}=1,85\times 10^{-6}$C = τ/R ≤ (0,018 5)/(10 000) = 1,85× 10⁻⁶ F.

6. 6

   Soit $C\le 1,85$C ≤ 1,85 µF.

   On choisirait donc une capacité normalisée de $1,5$1,5 µF (et non $2,2$2,2 µF, qui serait trop grande).

7. 7

   Contrôle avec $C=1,5$C = 1,5 µF : $\tau =0,015$τ = 0,015 s, et $u(0,05)=15e^{-0,05/0,015}=15e^{-3,333}\approx 15\times 0,0357\approx 0,54$u(0,05) = 15e^(-0,05/0,015) = 15e^(-3,333) ≈ 15 × 0,035 7 ≈ 0,54 V $\le 1$≤ 1 V ✔.

Rappel de cours : Un cahier des charges du type « sous $s$s volts en $T$T secondes » se traduit par $\tau \le \frac{T}{\ln \left(\frac{U_0}{s}\right)}$τ ≤ T/(ln(U₀/s)).

Erreur fréquente : Oublier d'inverser l'inégalité en multipliant par $-1$-1 : on conclurait $\tau \ge 18,5$τ ≥ 18,5 ms, soit exactement l'inverse de la contrainte.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}$f'(x) = 1 - 1/x.

2. 2

   Mise au même dénominateur : $f^{\prime }(x)=\frac{x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$f'(x) = x/x - 1/x = (x - 1)/x.

3. 3

   Signe : sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[ le dénominateur est positif, donc $f^{\prime }$f' a le signe de $(x-1)$(x-1).

4. 4

   $f^{\prime }(x)<0$f'(x) < 0 sur $]0;1[$]0 ; 1[ et $f^{\prime }(x)>0$f'(x) > 0 sur $]1;+\infty [$]1 ; +∞[ : $f$f décroît puis croît.

5. 5

   Minimum : $f(1)=1-\ln 1=1-0=1$f(1) = 1 - ln 1 = 1 - 0 = 1.

6. 6

   Conclusion : $f(x)\ge 1$f(x) ≥ 1 pour tout $x>0$x > 0, c'est-à-dire $x-\ln x\ge 1$x - ln x ≥ 1.

7. 7

   Autrement dit : $\ln x\le x-1$ln x ≤ x - 1 pour tout $x>0$x > 0.

8. 8

   Cette inégalité est le symétrique de $e^x\ge x+1$e^(x) ≥ x + 1 vue au chapitre précédent : la courbe de $\ln$ln est toujours SOUS sa tangente au point $(1;0)$(1 ; 0), d'équation $y=x-1$y = x - 1.

9. 9

   Contrôle : en $x=2$x = 2, $\ln 2\approx 0,693\le 1$ln 2 ≈ 0,693 ≤ 1 ✔ ; en $x=0,5$x = 0,5, $\ln 0,5\approx -0,693\le -0,5$ln 0,5 ≈ -0,693 ≤ -0,5 ✔.

Rappel de cours : $\ln x\le x-1$ln x ≤ x - 1 : la courbe du logarithme est toujours sous sa tangente en $(1;0)$(1 ; 0).

Erreur fréquente : Conclure que $f$f décroît partout parce qu'elle contient $-\ln x$-ln x : le terme $x$x l'emporte dès $x>1$x > 1.

Correction détaillée

1. 1

   $g(1)=\frac{0}{1}=0$g(1) = 0/1 = 0.

2. 2

   $g(e)=\frac{1}{e}\approx 0,368$g(e) = 1/e ≈ 0,368.

3. 3

   $g(10)=\frac{\ln 10}{10}\approx \frac{2,303}{10}\approx 0,230$g(10) = (ln 10)/10 ≈ 2,303/10 ≈ 0,230.

4. 4

   $g(100)=\frac{4,605}{100}\approx 0,046$g(100) = 4,605/100 ≈ 0,046.

5. 5

   Dérivée (quotient) : $u=\ln x$u = ln x ($u^{\prime }=\frac{1}{x}$u' = 1/x) et $v=x$v = x ($v^{\prime }=1$v' = 1).

6. 6

   $g^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\times x-\ln x\times 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$g'(x) = (1/x× x - ln x× 1)/x² = (1 - ln x)/x².

7. 7

   Signe : le dénominateur est positif, donc $g^{\prime }$g' a le signe de $(1-\ln x)$(1 - ln x).

8. 8

   $g^{\prime }(x)=0$g'(x) = 0 quand $\ln x=1$ln x = 1, soit $x=e$x = e.

   Avant, $\ln x<1$ln x < 1 donc $g^{\prime }>0$g' > 0 ; après, $g^{\prime }<0$g' < 0.

9. 9

   Le maximum est donc $g(e)=\frac{1}{e}\approx 0,368$g(e) = 1/e ≈ 0,368, atteint en $x=e\approx 2,718$x = e ≈ 2,718.

10. 10

    Limite en $+\infty$+∞ : par croissances comparées, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$lim_x→+∞(ln x)/x = 0 — ce que confirment les valeurs calculées ($0,046$0,046 en $x=100$x = 100).

11. 11

    Interprétation : le logarithme finit toujours par être « écrasé » par $x$x.

    C'est le symétrique exact de la domination de l'exponentielle sur les puissances.

Rappel de cours : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$lim_x→+∞(ln x)/x = 0 : le logarithme croît moins vite que toute puissance de $x$x.

Erreur fréquente : Croire que $g$g est croissante parce que $\ln$ln l'est : le dénominateur $x$x croît plus vite dès que $x>e$x > e.

Correction détaillée

1. 1

   Domaine : il faut $x-2>0$x - 2 > 0, soit $x>2$x > 2.

2. 2

   $\ln (x-2)\le 1$ln(x-2) ≤ 1 : on applique l'exponentielle, qui est croissante, donc le sens est conservé.

3. 3

   $x-2\le e^1=e$x - 2 ≤ e¹ = e, soit $x\le 2+e\approx 4,718$x ≤ 2 + e ≈ 4,718.

4. 4

   En croisant avec le domaine : $2<x\le 2+e$2 < x ≤ 2 + e.

5. 5

   Ensemble des solutions : $\left]2;2+e\right]$]2 ; 2 + e].

6. 6

   Seconde inéquation : domaine $3x>0$3x > 0 ET $x+4>0$x + 4 > 0, donc $x>0$x > 0.

7. 7

   $\ln$ln étant croissante : $\ln (3x)>\ln (x+4)⟺3x>x+4$ln(3x) > ln(x+4) ⇔ 3x > x + 4, soit $2x>4$2x > 4 et $x>2$x > 2.

8. 8

   En croisant avec le domaine $x>0$x > 0, l'ensemble des solutions est $]2;+\infty [$]2 ; +∞[.

9. 9

   Contrôle : $x=3$x = 3 donne $\ln 9\approx 2,197>\ln 7\approx 1,946$ln 9 ≈ 2,197 > ln 7 ≈ 1,946 ✔ ; $x=1$x = 1 donne $\ln 3\approx 1,099<\ln 5\approx 1,609$ln 3 ≈ 1,099 < ln 5 ≈ 1,609 ✘ (non solution).

Rappel de cours : Le domaine se détermine AVANT de résoudre, et l'ensemble final est l'intersection du domaine et des solutions de l'inéquation.

Erreur fréquente : Annoncer $x\le 2+e$x ≤ 2 + e sans la borne inférieure : les valeurs $x\le 2$x ≤ 2 sont exclues, le logarithme n'y étant pas défini.

Correction détaillée

1. 1

   $u(0,04)=24e^{-1}\approx 24\times 0,3679\approx 8,83$u(0,04) = 24e⁻¹ ≈ 24× 0,367 9 ≈ 8,83 V.

2. 2

   $u(0,12)=24e^{-3}\approx 24\times 0,0498\approx 1,20$u(0,12) = 24e⁻³ ≈ 24× 0,049 8 ≈ 1,20 V.

3. 3

   Pour $6$6 V : $24e^{-t/0,04}=6$24e^(-t/0,04) = 6, donc $e^{-t/0,04}=0,25$e^(-t/0,04) = 0,25.

4. 4

   $-\frac{t}{0,04}=\ln 0,25=-\ln 4\approx -1,3863$-t/0,04 = ln 0,25 = -ln 4 ≈ -1,386 3.

5. 5

   $t=0,04\times 1,3863\approx 0,0555$t = 0,04× 1,386 3 ≈ 0,055 5 s, soit environ $55,5$55,5 ms.

6. 6

   Pour $1\%$1% : $e^{-t/0,04}=0,01$e^(-t/0,04) = 0,01, donc $t=0,04\times \ln 100\approx 0,04\times 4,605\approx 0,1842$t = 0,04×ln 100 ≈ 0,04× 4,605 ≈ 0,184 2 s.

7. 7

   Soit environ $184$184 ms.

8. 8

   En constantes de temps : $\frac{0,1842}{0,04}=4,605$(0,184 2)/0,04 = 4,605, c'est-à-dire $\ln 100\approx 4,6\tau$ln 100 ≈ 4,6 τ.

9. 9

   On retrouve le repère du technicien : une décharge est « terminée » à $1\%$1% après environ $4,6$4,6 constantes de temps, et l'on arrondit usuellement à $5\tau$5τ.

10. 10

    Contrôle : $u(0,2)=24e^{-5}\approx 24\times 0,0067\approx 0,16$u(0,2) = 24e⁻⁵ ≈ 24× 0,006 7 ≈ 0,16 V, bien en dessous de $0,24$0,24 V ✔.

Rappel de cours : $u_0{e}^{-t/\tau }=s⟺t=\tau \ln \frac{u_0}{s}$u₀e^(-t/τ) = s ⇔ t = τlnu₀/s : c'est LA formule de durée d'une décharge.

Erreur fréquente : Écrire $t=\tau \ln \frac{s}{u_0}$t = τlns/u₀ : on obtiendrait un temps négatif. Le rapport est « valeur de départ sur valeur cible ».

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=2x-\frac{8}{x}$f'(x) = 2x - 8/x.

2. 2

   Mise au même dénominateur : $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-8}{x}=\frac{2\left(x^2-4\right)}{x}=\frac{2(x-2)(x+2)}{x}$f'(x) = (2x² - 8)/x = (2(x² - 4))/x = (2(x-2)(x+2))/x.

3. 3

   Sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[, les facteurs $x$x et $(x+2)$(x+2) sont positifs : le signe de $f^{\prime }$f' est celui de $(x-2)$(x - 2).

4. 4

   $f^{\prime }(x)<0$f'(x) < 0 sur $]0;2[$]0 ; 2[ et $f^{\prime }(x)>0$f'(x) > 0 sur $]2;+\infty [$]2 ; +∞[ : $f$f décroît puis croît.

5. 5

   Minimum : $f(2)=4-8\ln 2$f(2) = 4 - 8ln 2.

6. 6

   Valeur approchée : $8\ln 2\approx 8\times 0,6931\approx 5,545$8ln 2 ≈ 8× 0,693 1 ≈ 5,545, donc $f(2)\approx 4-5,545=-1,545$f(2) ≈ 4 - 5,545 = -1,545.

7. 7

   Tangente en $1$1 : $f(1)=1-8\ln 1=1$f(1) = 1 - 8ln 1 = 1 et $f^{\prime }(1)=2-8=-6$f'(1) = 2 - 8 = -6.

8. 8

   $T:y=-6(x-1)+1=-6x+7$T : y = -6(x - 1) + 1 = -6x + 7.

9. 9

   Contrôle de cohérence : $f(1)=1>f(2)\approx -1,55$f(1) = 1 > f(2) ≈ -1,55 ✔ la fonction décroît bien entre $1$1 et $2$2, ce que confirme la pente négative de la tangente.