Fonction logarithme népérien en Terminale STI2D

Fonction logarithme népérien en Terminale STI2D : cours complet

Définition

Définition — Logarithme népérien. Pour tout réel $a>0$a > 0, l'équation $e^x=a$e^(x) = a a une unique solution, notée $\ln a$ln a : $$e^x=a⟺x=\ln a(a>0).$$e^(x) = a ⇔ x = ln a (a > 0).

Propriété — Conséquences. $\ln 1=0$ln 1 = 0 ; $\ln e=1$ln e = 1 ; $e^{\ln a}=a$e^(ln a) = a pour $a>0$a > 0 ; $\ln (e^x)=x$ln(e^(x)) = x pour tout réel $x$x.

Propriété — Sens de variation et signe. $\ln$ln est strictement croissante sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[ : $\ln a<\ln b⟺a<b$ln a < ln b ⇔ a < b. Donc $\ln x<0$ln x < 0 si $0<x<1$0 < x < 1 et $\ln x>0$ln x > 0 si $x>1$x > 1.

Propriétés algébriques

Propriété — Règles de calcul. Pour $a>0$a > 0, $b>0$b > 0 et $n$n entier : $$\ln (ab)=\ln a+\ln b\ln \frac{1}{b}=-\ln b\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b\ln (a^n)=n\ln a\ln \sqrt{a}=\frac{1}{2}\ln a$$ln(ab) = ln a + ln b ln1/b = -ln b lna/b = ln a - ln b ln(aⁿ) = nln a ln √a = 1/2ln a

Démonstration. $e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}\times e^{\ln b}=ab$e^(ln a + ln b) = e^(ln a) × e^(ln b) = ab, donc $\ln a+\ln b$ln a + ln b est la solution de $e^x=ab$e^(x) = ab : c'est $\ln (ab)$ln(ab). Les autres règles s'en déduisent.

Propriété — Lien avec le logarithme décimal. $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$log x = (ln x)/(ln 10) : les deux logarithmes sont proportionnels et ont les mêmes propriétés.

Limites, dérivée, courbe

Propriété — Limites et dérivée. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$lim_x → 0⁺ ln x = -∞ ; $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$lim_x → +∞ ln x = +∞ ; $\ln$ln est dérivable sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[ et $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$(ln x)' = 1/x.

Les courbes de $\ln$ln et de $\exp$exp sont symétriques par rapport à la droite $y=x$y = x.

Équations et inéquations

Méthode — Résoudre.

• $e^{ax}=b$e^(ax) = b ($b>0$b > 0, $a\ne 0$a ≠ 0) $⟺ax=\ln b⟺x=\frac{\ln b}{a}$⇔ ax = ln b ⇔ x = (ln b)/a.
• $\ln x=b⟺x=e^b$ln x = b ⇔ x = e^(b) ; $\ln x>b⟺x>e^b$ln x > b ⇔ x > e^(b).
• Pour une inéquation, on applique $\ln$ln ou $\exp$exp (croissantes) et l'on change le sens seulement en divisant par un nombre négatif.

Exemple — Demi-vie. Le nombre de noyaux radioactifs est $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$N(t) = N₀e^(-λ t). La demi-vie $T$T vérifie $e^{-\lambda T}=\frac{1}{2}$e^(-λ T) = 1/2, soit $-\lambda T=-\ln 2$-λ T = -ln 2, d'où $T=\frac{\ln 2}{\lambda }$T = (ln 2)/λ. Pour le carbone 14, $\lambda \approx 1,21\times 10^{-4}$λ ≈ 1,21 × 10⁻⁴ an${}^{-1}$⁻¹ : $T\approx 5730$T ≈ 5 730 ans.

Exemple — Étude d'une fonction. $f(x)=x-\ln x$f(x) = x - ln x sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[ : $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$f'(x) = 1 - 1/x = (x - 1)/x, du signe de $x-1$x - 1. $f$f décroît sur $]0;1]$]0 ;1], croît sur $[1;+\infty [$[1 ;+∞[ ; minimum $f(1)=1$f(1) = 1. Ainsi $\ln x\le x-1<x$ln x ≤ x - 1 < x pour tout $x>0$x > 0.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Écrire $\ln (a+b)=\ln a+\ln b$ln(a + b) = ln a + ln b : la règle porte sur le produit.
• Prendre le logarithme d'un nombre négatif ou nul.
• Oublier de changer le sens d'une inégalité en divisant par un nombre négatif (par exemple $-\lambda$-λ).
• Confondre $\ln (x^2)=2\ln x$ln(x²) = 2ln x (vrai pour $x>0$x > 0) et $(\ln x{)}^2$(ln x)².

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Simplifier

Écrire $\ln 8-\ln 2$ln 8 - ln 2 et $\ln (e^3)+\ln \frac{1}{e}$ln(e³) + ln1/e le plus simplement possible.

Exercice 2 – Équations

Résoudre $e^{2x}=5$e^(2x) = 5 et $\ln x=3$ln x = 3.

Exercice 3 – Inéquation

Résoudre $e^{-0,1t}<0,2$e^(-0,1t) < 0,2 pour $t\ge 0$t ≥ 0.

Exercice 4 – Étude

Étudier les variations de $f(x)=x^2-2\ln x$f(x) = x² - 2ln x sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $\ln 8-\ln 2=\ln 4=2\ln 2$ln 8 - ln 2 = ln 4 = 2ln 2 ; $\ln (e^3)+\ln \frac{1}{e}=3-1=2$ln(e³) + ln1/e = 3 - 1 = 2.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $2x=\ln 5$2x = ln 5, soit $x=\frac{\ln 5}{2}\approx 0,805$x = (ln 5)/2 ≈ 0,805 ; $x=e^3\approx 20,09$x = e³ ≈ 20,09.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $-0,1t<\ln 0,2$-0,1t < ln 0,2, d'où (division par $-0,1<0$-0,1 < 0) $t>-10\ln 0,2\approx 16,1$t > -10ln 0,2 ≈ 16,1.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $f^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}=\frac{2(x-1)(x+1)}{x}$f'(x) = 2x - 2/x = (2(x² - 1))/x = (2(x - 1)(x + 1))/x, du signe de $x-1$x - 1 : $f$f décroît sur $]0;1]$]0 ;1], croît ensuite ; minimum $f(1)=1$f(1) = 1.