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Exercices corrigés : Fonction exponentielle — Terminale STI2D

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Fonction exponentielle

Niveau: Terminale STI2D
Chapitre: Fonction exponentielle
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Application directe à type bac

Mis à jour le 11 septembre 2026

Parmi toutes les fonctions exponentielles $a^{x}$ a^(x), une seule a la propriété d'être égale à sa propre dérivée : celle de base $e \approx 2, 718$ e ≈ 2,718. C'est ce qui la rend incontournable en physique, où les lois d'évolution s'écrivent presque toujours $e^{- t / τ}$ e^(-t/τ) — décharge d'un condensateur, refroidissement d'une pièce, amortissement d'une vibration. Ces 20 exercices corrigés installent les propriétés algébriques, la dérivée de $e^{k x}$ e^(kx), les limites en $\pm \infty$ ±∞ et les croissances comparées, puis les mettent au service des modèles RC et thermiques du bac. Le logarithme népérien, qui permettra de résoudre $e^{x} = b$ e^(x) = b, arrive au chapitre suivant : ici, les seuils sont obtenus par identification d'exposants ou par balayage. La difficulté est croissante : l'énoncé puis la correction détaillée s'affichent d'un clic.

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Exercice 1 — Premières valeurs

Application directe

On rappelle que $e \approx 2, 718$ e ≈ 2,718.

1.Donne les valeurs exactes de $e^{0}$ e⁰ et $e^{1}$ e¹.
2.Calcule $e^{2}$ e², $e^{- 1}$ e⁻¹ et $e^{- 2}$ e⁻², arrondis à $1 0^{- 4}$ 10⁻⁴.
3.Que peut-on dire du signe de $e^{x}$ e^(x) ?

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Correction détaillée

1
$e^{0} = 1$ e⁰ = 1 : toute exponentielle vaut $1$ 1 en $0$ 0.
2
$e^{1} = e \approx 2, 7183$ e¹ = e ≈ 2,718 3.
3
$e^{2} \approx 7, 3891$ e² ≈ 7,389 1.
4
$e^{- 1} = \frac{1}{e} \approx 0, 3679$ e⁻¹ = 1/e ≈ 0,367 9.
5
$e^{- 2} = \frac{1}{e ^{2}} \approx 0, 1353$ e⁻² = 1/e² ≈ 0,135 3.
6
Signe : $e^{x}$ e^(x) est STRICTEMENT POSITIF pour tout réel $x$ x.
La fonction ne s'annule jamais et ne change jamais de signe.
7
Conséquence pratique très utile : dans une expression comme $f^{'} (x) = (2 x - 6) e^{x}$ f'(x) = (2x - 6)e^(x), le signe de $f^{'}$ f' est celui de $(2 x - 6)$ (2x-6) seul, puisque $e^{x} > 0$ e^(x) > 0.

Réponse :

e^{0} = 1

e⁰ = 1 et

e^{1} = e \approx 2, 718

e¹ = e ≈ 2,718 ·

e^{2} \approx 7, 3891

e² ≈ 7,389 1,

e^{- 1} \approx 0, 3679

e⁻¹ ≈ 0,367 9,

e^{- 2} \approx 0, 1353

e⁻² ≈ 0,135 3 ·

e^{x} > 0

e^(x) > 0 toujours.

Rappel de cours : $e^{0} = 1$ e⁰ = 1 · $e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$ e^(-x) = 1/e^(x) · et $e^{x} > 0$ e^(x) > 0 pour tout $x$ x : c'est l'argument qui simplifie tous les tableaux de signes.

Erreur fréquente : Écrire $e^{- 2} = - e^{2}$ e⁻² = -e² : un exposant négatif donne un INVERSE, pas un opposé. $e^{- 2}$ e⁻² est positif.

Exercice 2 — Propriétés algébriques

Application directe

Simplifie $A = e^{3} \times e^{5}$ A = e³× e⁵, $B = \frac{e ^{7}}{e ^{4}}$ B = e⁷/e⁴, $C = (e^{2})^{3}$ C = (e²)³ et $D = e^{x} \times e^{- x}$ D = e^(x)× e^(-x).

1.Donne la forme la plus simple de chacune.

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1
Produit : les exposants s'AJOUTENT.
$A = e^{3 + 5} = e^{8}$ A = e³⁺⁵ = e⁸.
2
Quotient : les exposants se RETRANCHENT.
$B = e^{7 - 4} = e^{3}$ B = e⁷⁻⁴ = e³.
3
Puissance d'une puissance : les exposants se MULTIPLIENT.
$C = e^{2 \times 3} = e^{6}$ C = e^(2× 3) = e⁶.
4
$D = e^{x + (- x)} = e^{0} = 1$ D = e^(x + (-x)) = e⁰ = 1.
5
Le dernier résultat est fondamental : $e^{x}$ e^(x) et $e^{- x}$ e^(-x) sont INVERSES l'un de l'autre.
6
Contrôle numérique : $e^{3} \times e^{5} \approx 20, 09 \times 148, 41 \approx 2981$ e³× e⁵ ≈ 20,09× 148,41 ≈ 2 981, et $e^{8} \approx 2981$ e⁸ ≈ 2 981 ✔.

Réponse :

A = e^{8}

A = e⁸ ·

B = e^{3}

B = e³ ·

C = e^{6}

C = e⁶ ·

D = 1

D = 1.

Rappel de cours : $e^{a} e^{b} = e^{a + b}$ e^(a)e^(b) = e^(a+b) · $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ e^(a)/e^(b) = e^(a-b) · $(e^{a})^{n} = e^{an}$ (e^(a))ⁿ = e^(an) · $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ e^(-a) = 1/e^(a).

Erreur fréquente : Écrire $e^{3} \times e^{5} = e^{15}$ e³× e⁵ = e¹⁵ : dans un produit, les exposants s'additionnent, ils ne se multiplient pas.

Exercice 3 — Dérivée de l'exponentielle

Application directe

Dérive $f (x) = e^{x}$ f(x) = e^(x), $g (x) = e^{3 x}$ g(x) = e^(3x), $h (x) = 5 e^{- 2 x}$ h(x) = 5e^(-2x) et $k (x) = e^{x} + 4 x$ k(x) = e^(x) + 4x.

1.Donne les quatre dérivées.

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Correction détaillée

1
$f^{'} (x) = e^{x}$ f'(x) = e^(x) : la fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée.
C'est sa propriété caractéristique.
2
$g (x) = e^{3 x}$ g(x) = e^(3x) : c'est une composée $e^{a x}$ e^(ax), dont la dérivée est $a e^{a x}$ a e^(ax).
Donc $g^{'} (x) = 3 e^{3 x}$ g'(x) = 3e^(3x).
3
$h (x) = 5 e^{- 2 x}$ h(x) = 5e^(-2x) : $h^{'} (x) = 5 \times (- 2) e^{- 2 x} = - 10 e^{- 2 x}$ h'(x) = 5×(-2)e^(-2x) = -10e^(-2x).
4
$k^{'} (x) = e^{x} + 4$ k'(x) = e^(x) + 4.
5
Le facteur $a$ a est l'élément le plus oublié : la dérivée de $e^{3 x}$ e^(3x) n'est PAS $e^{3 x}$ e^(3x).
6
Contrôle par les signes : $h^{'}$ h' est toujours négative (car $e^{- 2 x} > 0$ e^(-2x) > 0), donc $h$ h est décroissante — ce qui est cohérent avec un modèle de décharge.

Réponse :

f^{'} (x) = e^{x}

f'(x) = e^(x) ·

g^{'} (x) = 3 e^{3 x}

g'(x) = 3e^(3x) ·

h^{'} (x) = - 10 e^{- 2 x}

h'(x) = -10e^(-2x) ·

k^{'} (x) = e^{x} + 4

k'(x) = e^(x) + 4.

Rappel de cours : $(e^{a x + b})^{'} = a e^{a x + b}$ (e^(ax+b))' = a e^(ax+b) : on multiplie par le coefficient de $x$ x, l'exponentielle reste inchangée.

Erreur fréquente : Dériver $e^{- 2 x}$ e^(-2x) en $e^{- 2 x}$ e^(-2x) : il manque le facteur $- 2$ -2, qui donne le signe de la variation.

Exercice 4 — Équations avec l'exponentielle

Application directe

Résous dans $R$ ℝ les équations $e^{x} = e^{4}$ e^(x) = e⁴, $e^{2 x} = e^{x + 3}$ e^(2x) = e^(x+3), $e^{x} = 0$ e^(x) = 0 et $e^{x + 1} = 1$ e^(x+1) = 1.

1.Résous les quatre équations.

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Correction détaillée

1
Propriété : $e^{u} = e^{v} ⟺ u = v$ e^(u) = e^(v) ⇔ u = v (la fonction exponentielle est strictement croissante, donc injective).
2
$e^{x} = e^{4}$ e^(x) = e⁴ donne $x = 4$ x = 4.
3
$e^{2 x} = e^{x + 3}$ e^(2x) = e^(x+3) donne $2 x = x + 3$ 2x = x + 3, soit $x = 3$ x = 3.
4
$e^{x} = 0$ e^(x) = 0 : AUCUNE solution, puisque $e^{x}$ e^(x) est toujours strictement positif.
5
$e^{x + 1} = 1$ e^(x+1) = 1 : comme $1 = e^{0}$ 1 = e⁰, l'équation devient $e^{x + 1} = e^{0}$ e^(x+1) = e⁰, donc $x + 1 = 0$ x + 1 = 0 et $x = - 1$ x = -1.
6
Contrôle : $e^{- 1 + 1} = e^{0} = 1$ e⁻¹⁺¹ = e⁰ = 1 ✔.
7
Remarque : pour résoudre $e^{x} = 5$ e^(x) = 5, où $5$ 5 n'est pas une puissance évidente de $e$ e, il faudra le logarithme népérien — c'est l'objet du chapitre suivant.

Réponse :

x = 4

x = 4 ·

x = 3

x = 3 · aucune solution pour

e^{x} = 0

e^(x) = 0 ·

x = - 1

x = -1.

Rappel de cours : $e^{u} = e^{v} ⟺ u = v$ e^(u) = e^(v) ⇔ u = v · et $e^{x} = k$ e^(x) = k n'a de solution que si $k > 0$ k > 0.

Erreur fréquente : Répondre $x = 0$ x = 0 à l'équation $e^{x} = 0$ e^(x) = 0 : $e^{0} = 1$ e⁰ = 1, pas $0$ 0. L'exponentielle ne s'annule jamais.

Exercice 5 — Variations et courbe

Application directe

On étudie $f (x) = e^{x}$ f(x) = e^(x) sur $R$ ℝ.

1.Donne le sens de variation de $f$ f et justifie.
2.Donne l'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ 0.
3.Compare $e^{x}$ e^(x) et $x + 1$ x + 1 pour $x = 0, 5$ x = 0,5 et $x = - 0, 5$ x = -0,5.

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1
$f^{'} (x) = e^{x} > 0$ f'(x) = e^(x) > 0 pour tout $x$ x : la fonction est donc STRICTEMENT CROISSANTE sur $R$ ℝ.
2
Tangente en $0$ 0 : $f (0) = 1$ f(0) = 1 et $f^{'} (0) = e^{0} = 1$ f'(0) = e⁰ = 1.
3
$T : y = 1 \times (x - 0) + 1 = x + 1$ T : y = 1×(x - 0) + 1 = x + 1.
4
Comparaison en $x = 0, 5$ x = 0,5 : $e^{0, 5} \approx 1, 6487$ e^(0,5) ≈ 1,648 7 contre $x + 1 = 1, 5$ x + 1 = 1,5.
L'exponentielle est au-dessus.
5
En $x = - 0, 5$ x = -0,5 : $e^{- 0, 5} \approx 0, 6065$ e^(-0,5) ≈ 0,606 5 contre $0, 5$ 0,5.
L'exponentielle est encore au-dessus.
6
Propriété générale : $e^{x} \geq x + 1$ e^(x) ≥ x + 1 pour tout réel $x$ x, avec égalité seulement en $x = 0$ x = 0.
La courbe est donc toujours au-dessus de sa tangente en $0$ 0.
7
Cette inégalité sert souvent de point de départ pour comparer l'exponentielle à une fonction affine.

Réponse :

f^{'} = e^{x} > 0

f' = e^(x) > 0 : strictement croissante · tangente en

0

0 :

y = x + 1

y = x + 1 · et

e^{x} \geq x + 1

e^(x) ≥ x+1 partout (égalité en

0

0 seulement).

Rappel de cours : $e^{x} \geq x + 1$ e^(x) ≥ x + 1 : la courbe de l'exponentielle est toujours au-dessus de sa tangente au point $(0; 1)$ (0 ; 1).

Exercice 6 — Dériver des expressions avec exponentielle

À maîtriser

Dérive $f (x) = 12 e^{- 0, 25 x}$ f(x) = 12e^(-0,25x), $g (x) = e^{2 x + 1}$ g(x) = e^(2x+1) et $h (x) = x e^{x}$ h(x) = x e^(x).

1.Donne les trois dérivées.

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Correction détaillée

1
$f^{'} (x) = 12 \times (- 0, 25) e^{- 0, 25 x} = - 3 e^{- 0, 25 x}$ f'(x) = 12×(-0,25)e^(-0,25x) = -3e^(-0,25x).
2
$g^{'} (x) = 2 e^{2 x + 1}$ g'(x) = 2e^(2x+1) : le coefficient de $x$ x dans l'exposant est $2$ 2.
3
Pour $h$ h, c'est un PRODUIT : $u = x$ u = x donc $u^{'} = 1$ u' = 1 ; $v = e^{x}$ v = e^(x) donc $v^{'} = e^{x}$ v' = e^(x).
4
$h^{'} (x) = 1 \times e^{x} + x e^{x} = (1 + x) e^{x}$ h'(x) = 1× e^(x) + x e^(x) = (1 + x)e^(x).
5
On factorise systématiquement par l'exponentielle : cela rend l'étude du signe immédiate, puisque $e^{x} > 0$ e^(x) > 0.
6
Ici le signe de $h^{'}$ h' est celui de $(1 + x)$ (1+x) : $h$ h est décroissante sur $] - \infty; - 1]$ ]-∞ ; -1] puis croissante, avec un minimum en $x = - 1$ x = -1.

Réponse :

f^{'} (x) = - 3 e^{- 0, 25 x}

f'(x) = -3e^(-0,25x) ·

g^{'} (x) = 2 e^{2 x + 1}

g'(x) = 2e^(2x+1) ·

h^{'} (x) = (1 + x) e^{x}

h'(x) = (1+x)e^(x).

Rappel de cours : Après dérivation, on FACTORISE toujours par l'exponentielle : son signe étant connu, seul le facteur restant compte.

Erreur fréquente : Dériver $x e^{x}$ x e^(x) en $e^{x}$ e^(x) : c'est un produit, il faut deux termes ( $u^{'} v + u v^{'}$ u'v + uv').

Exercice 7 — Tangente à une courbe exponentielle

À maîtriser

Soit $f (x) = e^{2 x}$ f(x) = e^(2x).

1.Détermine l'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ 0.
2.Détermine celle au point d'abscisse $1$ 1, avec une valeur approchée des coefficients.

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Correction détaillée

1
$f (0) = e^{0} = 1$ f(0) = e⁰ = 1 et $f^{'} (x) = 2 e^{2 x}$ f'(x) = 2e^(2x), donc $f^{'} (0) = 2$ f'(0) = 2.
2
Tangente en $0$ 0 : $y = 2 (x - 0) + 1 = 2 x + 1$ y = 2(x - 0) + 1 = 2x + 1.
3
En $x = 1$ x = 1 : $f (1) = e^{2} \approx 7, 389$ f(1) = e² ≈ 7,389 et $f^{'} (1) = 2 e^{2} \approx 14, 778$ f'(1) = 2e² ≈ 14,778.
4
Tangente : $y = 14, 778 (x - 1) + 7, 389 = 14, 778 x - 14, 778 + 7, 389$ y = 14,778(x - 1) + 7,389 = 14,778x - 14,778 + 7,389.
5
Soit $y \approx 14, 778 x - 7, 389$ y ≈ 14,778x - 7,389.
6
Observation : la pente passe de $2$ 2 en $x = 0$ x = 0 à $14, 8$ 14,8 en $x = 1$ x = 1.
C'est le propre de l'exponentielle : sa pente croît aussi vite que la fonction elle-même.
7
Contrôle : la tangente en $1$ 1 coupe l'axe des abscisses en $x = \frac{7 , 389}{14 , 778} = 0, 5$ x = 7,389/14,778 = 0,5 exactement.
En effet, la tangente à $e^{2 x}$ e^(2x) en $x = a$ x = a coupe toujours l'axe en $a - \frac{1}{2}$ a - 1/2.

Réponse : Tangente en

0

0 :

y = 2 x + 1

y = 2x + 1 · tangente en

1

1 :

y \approx 14, 778 x - 7, 389

y ≈ 14,778x - 7,389.

Rappel de cours : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ y = f'(a)(x-a) + f(a), avec $f^{'} (x) = 2 e^{2 x}$ f'(x) = 2e^(2x) pour $f (x) = e^{2 x}$ f(x) = e^(2x).

Erreur fréquente : Utiliser $f^{'} (1) = e^{2}$ f'(1) = e² sans le facteur $2$ 2 : la pente serait deux fois trop faible.

Exercice 8 — Équations et inéquations

À maîtriser

Résous $e^{3 x - 1} = e^{x + 5}$ e^(3x-1) = e^(x+5), puis l'inéquation $e^{2 x} > e^{6}$ e^(2x) > e⁶, et enfin $e^{x^{2}} = e^{4 x}$ e^(x²) = e^(4x).

1.Résous les trois.

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1
$e^{3 x - 1} = e^{x + 5}$ e^(3x-1) = e^(x+5) donne $3 x - 1 = x + 5$ 3x - 1 = x + 5, soit $2 x = 6$ 2x = 6 et $x = 3$ x = 3.
2
Pour l'inéquation, la fonction exponentielle étant CROISSANTE, on peut comparer directement les exposants : $e^{2 x} > e^{6} ⟺ 2 x > 6 ⟺ x > 3$ e^(2x) > e⁶ ⇔ 2x > 6 ⇔ x > 3.
3
Le sens de l'inégalité est CONSERVÉ, précisément parce que l'exponentielle est croissante.
4
Troisième équation : $e^{x^{2}} = e^{4 x}$ e^(x²) = e^(4x) donne $x^{2} = 4 x$ x² = 4x, soit $x^{2} - 4 x = 0$ x² - 4x = 0 et $x (x - 4) = 0$ x(x-4) = 0.
5
Les solutions sont $x = 0$ x = 0 et $x = 4$ x = 4.
6
Contrôle : pour $x = 4$ x = 4, $e^{16} = e^{16}$ e¹⁶ = e¹⁶ ✔ ; pour $x = 0$ x = 0, $e^{0} = e^{0} = 1$ e⁰ = e⁰ = 1 ✔.
7
Méthode générale : toute équation ou inéquation entre deux exponentielles se ramène à l'exposant.
Tout le travail se fait ensuite sur les exposants, avec les techniques habituelles.

Réponse :

x = 3

x = 3 ·

x > 3

x > 3 ·

x = 0

x = 0 ou

x = 4

x = 4.

Rappel de cours : $e^{u} \geq e^{v} ⟺ u \geq v$ e^(u) ≥ e^(v) ⇔ u ≥ v : le sens est conservé, l'exponentielle étant croissante.

Erreur fréquente : Diviser par $x$ x dans $x^{2} = 4 x$ x² = 4x : on perdrait la solution $x = 0$ x = 0.

Exercice 9 — Limites de l'exponentielle

À maîtriser

On s'intéresse au comportement de $e^{x}$ e^(x) et de $e^{- x}$ e^(-x) aux bornes de $R$ ℝ.

1.Calcule $e^{5}$ e⁵, $e^{10}$ e¹⁰ et $e^{20}$ e²⁰ (ordres de grandeur). Que se passe-t-il quand $x \to + \infty$ x → +∞ ?
2.Calcule $e^{- 5}$ e⁻⁵, $e^{- 10}$ e⁻¹⁰. Que se passe-t-il quand $x \to - \infty$ x → -∞ ?
3.Donne les limites de $e^{- x}$ e^(-x) en $+ \infty$ +∞ et en $- \infty$ -∞.

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Correction détaillée

1
$e^{5} \approx 148, 4$ e⁵ ≈ 148,4 ; $e^{10} \approx 22026$ e¹⁰ ≈ 22 026 ; $e^{20} \approx 4, 85 \times 1 0^{8}$ e²⁰ ≈ 4,85× 10⁸.
2
Les valeurs croissent sans limite : $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ lim_x→+inftye^(x) = +∞.
3
$e^{- 5} \approx 0, 0067$ e⁻⁵ ≈ 0,006 7 ; $e^{- 10} \approx 4, 54 \times 1 0^{- 5}$ e⁻¹⁰ ≈ 4,54× 10⁻⁵.
4
Les valeurs se rapprochent de $0$ 0 sans l'atteindre : $x \to - \infty lim e^{x} = 0$ lim_x→-inftye^(x) = 0.
5
L'axe des abscisses est donc une ASYMPTOTE HORIZONTALE de la courbe en $- \infty$ -∞.
6
Pour $e^{- x}$ e^(-x), tout s'inverse : $x \to + \infty lim e^{- x} = 0$ lim_x→+inftye^(-x) = 0 et $x \to - \infty lim e^{- x} = + \infty$ lim_x→-inftye^(-x) = +∞.
7
C'est $e^{- x}$ e^(-x) qui modélise les décroissances physiques : décharge, refroidissement, amortissement.
La grandeur tend vers $0$ 0 sans jamais l'atteindre.

Réponse :

e^{x} \to + \infty

e^(x) → +∞ en

+ \infty

+∞ et

\to 0

→ 0 en

- \infty

-∞ (asymptote horizontale) ·

e^{- x}

e^(-x) fait l'inverse :

\to 0

→ 0 en

+ \infty

+∞,

\to + \infty

→ +∞ en

- \infty

-∞.

Rappel de cours : $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ lim_x→+inftye^(x) = +∞ · $x \to - \infty lim e^{x} = 0$ lim_x→-inftye^(x) = 0. L'exponentielle « écrase » vers $0$ 0 à gauche et « explose » à droite.

Erreur fréquente : Écrire $lim_{x \to - \infty} e^{x} = - \infty$ lim_x→-inftye^(x) = -∞ : l'exponentielle reste POSITIVE, elle tend vers $0$ 0.

Exercice 10 — Signe d'une dérivée factorisée

À maîtriser

Soit $f (x) = (x - 3) e^{x}$ f(x) = (x - 3)e^(x) sur $R$ ℝ.

1.Calcule $f^{'} (x)$ f'(x) et factorise par $e^{x}$ e^(x).
2.Dresse le tableau de variations de $f$ f.

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1
Dérivée d'un produit avec $u = x - 3$ u = x - 3 ( $u^{'} = 1$ u' = 1) et $v = e^{x}$ v = e^(x) ( $v^{'} = e^{x}$ v' = e^(x)).
2
$f^{'} (x) = 1 \times e^{x} + (x - 3) e^{x} = e^{x} (1 + x - 3) = (x - 2) e^{x}$ f'(x) = 1× e^(x) + (x-3)e^(x) = e^(x)(1 + x - 3) = (x - 2)e^(x).
3
Signe : $e^{x} > 0$ e^(x) > 0 pour tout $x$ x, donc le signe de $f^{'}$ f' est celui de $(x - 2)$ (x - 2).
4
$f^{'} (x) < 0$ f'(x) < 0 pour $x < 2$ x < 2 et $f^{'} (x) > 0$ f'(x) > 0 pour $x > 2$ x > 2.
5
$f$ f est donc DÉCROISSANTE sur $] - \infty; 2]$ ]-∞ ; 2] puis CROISSANTE sur $[2; + \infty [$ [2 ; +∞[.
6
Minimum : $f (2) = (2 - 3) e^{2} = - e^{2} \approx - 7, 389$ f(2) = (2-3)e² = -e² ≈ -7,389.
7
Contrôle : $f (0) = - 3$ f(0) = -3 et $f (3) = 0$ f(3) = 0, deux valeurs supérieures à $- 7, 39$ -7,39 ✔.

Réponse :

f^{'} (x) = (x - 2) e^{x}

f'(x) = (x-2)e^(x) · décroissante puis croissante · minimum

f (2) = - e^{2} \approx - 7, 39

f(2) = -e² ≈ -7,39.

Rappel de cours : Toute dérivée du type $P (x) e^{x}$ P(x)e^(x) a le signe du POLYNÔME $P (x)$ P(x), puisque l'exponentielle est positive.

Erreur fréquente : Étudier le signe de $e^{x}$ e^(x) : il est toujours positif, cela ne change jamais rien au tableau de signes.

Exercice 11 — Décharge d'un condensateur

Type contrôle

La tension aux bornes d'un condensateur qui se décharge suit $u (t) = 12 e^{- t /0, 02}$ u(t) = 12e^(-t/0,02) volts, $t$ t en secondes.

La constante de temps est $τ = 0, 02$ τ = 0,02 s.

1.Calcule $u (0)$ u(0), $u (τ)$ u(τ) et $u (3 τ)$ u(3τ).
2.Calcule $u^{'} (t)$ u'(t) et $u^{'} (0)$ u'(0).
3.Au bout de combien de constantes de temps la tension descend-elle sous $1%$ 1% de sa valeur initiale ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
$u (0) = 12 e^{0} = 12$ u(0) = 12e⁰ = 12 V.
2
$u (τ) = u (0, 02) = 12 e^{- 1} \approx 12 \times 0, 3679 \approx 4, 41$ u(τ) = u(0,02) = 12e⁻¹ ≈ 12× 0,367 9 ≈ 4,41 V, soit $36, 8%$ 36,8% de la valeur initiale.
3
$u (3 τ) = 12 e^{- 3} \approx 12 \times 0, 0498 \approx 0, 60$ u(3τ) = 12e⁻³ ≈ 12× 0,049 8 ≈ 0,60 V, soit $5%$ 5% environ.
4
Dérivée : $u^{'} (t) = 12 \times (- \frac{1}{0 , 02}) e^{- t /0, 02} = - 600 e^{- t /0, 02}$ u'(t) = 12×(-1/0,02)e^(-t/0,02) = -600e^(-t/0,02).
5
$u^{'} (0) = - 600$ u'(0) = -600 V/s : la tension chute très vite au début.
6
Seuil de $1%$ 1% : on cherche $e^{- t / τ} \leq 0, 01$ e^(-t/τ) ≤ 0,01, c'est-à-dire $e^{- n} \leq 0, 01$ e⁻ⁿ ≤ 0,01 en posant $n = \frac{t}{τ}$ n = t/τ.
7
Balayage : $e^{- 4} \approx 0, 0183$ e⁻⁴ ≈ 0,018 3 (insuffisant) ; $e^{- 5} \approx 0, 0067$ e⁻⁵ ≈ 0,006 7 (suffisant).
8
Il faut donc entre $4$ 4 et $5$ 5 constantes de temps ; en affinant, $e^{- 4, 61} \approx 0, 00995$ e^(-4,61) ≈ 0,009 95, donc environ $4, 6 τ$ 4,6 τ, soit $0, 092$ 0,092 s.
9
Repère à connaître : après $5 τ$ 5τ, une décharge est considérée comme terminée (il reste moins de $1%$ 1%).
C'est la règle du technicien.

Réponse :

u (0) = 12

u(0) = 12 V,

u (τ) \approx 4, 41

u(τ) ≈ 4,41 V (

36, 8%

36,8%),

u (3 τ) \approx 0, 60

u(3τ) ≈ 0,60 V (

5%

5%) ·

u^{'} (t) = - 600 e^{- t /0, 02}

u'(t) = -600e^(-t/0,02) et

u^{'} (0) = - 600

u'(0) = -600 V/s · moins de

1%

1% après environ

4, 6 τ

4,6 τ (soit

0, 092

0,092 s).

Rappel de cours : $e^{- 1} \approx 0, 368$ e⁻¹ ≈ 0,368 : après une constante de temps, il reste $36, 8%$ 36,8% · après $3 τ$ 3τ, $5%$ 5% · après $5 τ$ 5τ, moins de $1%$ 1%.

Erreur fréquente : Oublier le facteur $\frac{1}{τ} = 50$ 1/τ = 50 dans la dérivée : on annoncerait $- 12$ -12 V/s au lieu de $- 600$ -600 V/s.

Exercice 12 — Croissances comparées

Type contrôle

On compare la croissance de $e^{x}$ e^(x) et celle de $x$ x, puis de $x^{2}$ x².

1.Calcule $\frac{e ^{x}}{x}$ e^(x)/x pour $x = 5$ x = 5, $10$ 10 et $20$ 20.
2.Calcule $\frac{e ^{x}}{x ^{2}}$ e^(x)/x² pour les mêmes valeurs.
3.Que peut-on conclure ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
$x = 5$ x = 5 : $\frac{e ^{5}}{5} \approx \frac{148 , 4}{5} \approx 29, 7$ e⁵/5 ≈ 148,4/5 ≈ 29,7.
2
$x = 10$ x = 10 : $\frac{22 026}{10} \approx 2203$ (22 026)/10 ≈ 2 203.
3
$x = 20$ x = 20 : $\frac{4 , 85 \times 1 0 ^{8}}{20} \approx 2, 43 \times 1 0^{7}$ (4,85× 10⁸)/20 ≈ 2,43× 10⁷.
4
Le quotient explose : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$ lim_x→+inftye^(x)/x = +∞.
5
Avec $x^{2}$ x² : $x = 5$ x = 5 donne $\frac{148 , 4}{25} \approx 5, 94$ 148,4/25 ≈ 5,94 ; $x = 10$ x = 10 donne $\frac{22 026}{100} \approx 220$ (22 026)/100 ≈ 220 ; $x = 20$ x = 20 donne $\frac{4 , 85 \times 1 0 ^{8}}{400} \approx 1, 21 \times 1 0^{6}$ (4,85× 10⁸)/400 ≈ 1,21× 10⁶.
6
Là encore le quotient tend vers $+ \infty$ +∞.
7
Conclusion : l'exponentielle croît PLUS VITE que n'importe quelle puissance de $x$ x.
C'est le théorème des croissances comparées.
8
Réciproquement, $x \to + \infty lim \frac{x}{e ^{x}} = 0$ lim_x→+inftyx/e^(x) = 0 et $x \to + \infty lim x e^{- x} = 0$ lim_x→+inftyx e^(-x) = 0 : c'est la même propriété, écrite autrement.
9
Ordre de grandeur frappant : en $x = 20$ x = 20, $e^{x}$ e^(x) est $24$ 24 millions de fois plus grand que $x$ x, et $1$ 1 million de fois plus grand que $x^{2}$ x².

Réponse :

\frac{e ^{x}}{x}

e^(x)/x :

29, 7

29,7 ;

2203

2 203 ;

2, 43 \times 1 0^{7}

2,43× 10⁷ ·

\frac{e ^{x}}{x ^{2}}

e^(x)/x² :

5, 94

5,94 ;

220

220 ;

1, 21 \times 1 0^{6}

1,21× 10⁶ · dans les deux cas la limite est

+ \infty

+∞ : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

Rappel de cours : Croissances comparées : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ lim_x→+inftye^(x)/xⁿ = +∞ et $x \to + \infty lim x^{n} e^{- x} = 0$ lim_x→+inftyxⁿe^(-x) = 0.

Erreur fréquente : Croire que $x^{2}$ x² rattrape $e^{x}$ e^(x) parce qu'il est plus grand au départ : $x^{2} > e^{x}$ x² > e^(x) sur une partie de l'intervalle, mais l'exponentielle finit toujours par dominer.

Exercice 13 — Étude d'une fonction produit

Type contrôle

Soit $f (x) = x e^{- x}$ f(x) = x e^(-x) sur $[0; + \infty [$ [0 ; +∞[.

1.Calcule $f^{'} (x)$ f'(x) et factorise.
2.Dresse le tableau de variations et donne le maximum.
3.Donne la limite de $f$ f en $+ \infty$ +∞.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Produit avec $u = x$ u = x ( $u^{'} = 1$ u' = 1) et $v = e^{- x}$ v = e^(-x) ( $v^{'} = - e^{- x}$ v' = -e^(-x)).
2
$f^{'} (x) = e^{- x} + x \times (- e^{- x}) = e^{- x} (1 - x)$ f'(x) = e^(-x) + x×(-e^(-x)) = e^(-x)(1 - x).
3
Signe : $e^{- x} > 0$ e^(-x) > 0, donc le signe de $f^{'}$ f' est celui de $(1 - x)$ (1 - x).
4
$f^{'} (x) > 0$ f'(x) > 0 pour $x < 1$ x < 1 et $f^{'} (x) < 0$ f'(x) < 0 pour $x > 1$ x > 1 : $f$ f croît puis décroît.
5
Maximum : $f (1) = 1 \times e^{- 1} = \frac{1}{e} \approx 0, 368$ f(1) = 1× e⁻¹ = 1/e ≈ 0,368, atteint en $x = 1$ x = 1.
6
Limite en $+ \infty$ +∞ : par croissances comparées, $x \to + \infty lim x e^{- x} = 0$ lim_x→+inftyx e^(-x) = 0.
7
La courbe monte donc jusqu'à $(1; 0, 368)$ (1 ; 0,368) puis redescend vers $0$ 0 sans l'atteindre : l'axe des abscisses est asymptote.
8
Contrôle : $f (5) = 5 e^{- 5} \approx 0, 034$ f(5) = 5e⁻⁵ ≈ 0,034 et $f (10) = 10 e^{- 10} \approx 0, 00045$ f(10) = 10e⁻¹⁰ ≈ 0,000 45 ✔ la décroissance vers $0$ 0 est nette.
9
Cette allure — montée rapide, maximum, décroissance lente vers zéro — est celle de nombreux phénomènes transitoires en électronique.

Réponse :

f^{'} (x) = (1 - x) e^{- x}

f'(x) = (1-x)e^(-x) · croissante sur

[0; 1]

[0 ; 1] puis décroissante · maximum

f (1) = \frac{1}{e} \approx 0, 368

f(1) = 1/e ≈ 0,368 · limite

0

0 en

+ \infty

+∞.

Rappel de cours : Dérivée d'un produit, puis factorisation par l'exponentielle : le signe se lit sur le facteur polynomial.

Erreur fréquente : Conclure que $f$ f croît indéfiniment parce que $x$ x croît : le facteur $e^{- x}$ e^(-x) décroît plus vite, et l'emporte après $x = 1$ x = 1.

Exercice 14 — Charge d'un condensateur

Type contrôle

La tension de charge d'un condensateur suit $u (t) = 24 (1 - e^{- t /0, 05})$ u(t) = 24(1 - e^(-t/0,05)) volts, $t$ t en secondes.

1.Calcule $u (0)$ u(0), $u (0, 05)$ u(0,05) et $u (0, 15)$ u(0,15).
2.Quelle est la limite de $u$ u quand $t$ t devient grand ?
3.Calcule $u^{'} (t)$ u'(t) et $u^{'} (0)$ u'(0).

Voir la correction

Correction détaillée

1
$u (0) = 24 (1 - e^{0}) = 24 (1 - 1) = 0$ u(0) = 24(1 - e⁰) = 24(1 - 1) = 0 V : le condensateur part déchargé ✔.
2
$u (0, 05) = 24 (1 - e^{- 1}) \approx 24 \times (1 - 0, 3679) \approx 24 \times 0, 6321 \approx 15, 17$ u(0,05) = 24(1 - e⁻¹) ≈ 24×(1 - 0,367 9) ≈ 24× 0,632 1 ≈ 15,17 V.
3
Soit $63, 2%$ 63,2% de la tension finale après une constante de temps — le repère classique de la charge.
4
$u (0, 15) = 24 (1 - e^{- 3}) \approx 24 \times 0, 9502 \approx 22, 80$ u(0,15) = 24(1 - e⁻³) ≈ 24× 0,950 2 ≈ 22,80 V, soit $95%$ 95%.
5
Limite : $e^{- t /0, 05}$ e^(-t/0,05) tend vers $0$ 0, donc $u (t)$ u(t) tend vers $24$ 24 V.
La tension de charge tend vers la tension du générateur, sans l'atteindre.
6
Dérivée : $u^{'} (t) = 24 \times (0 - (- \frac{1}{0 , 05}) e^{- t /0, 05}) = \frac{24}{0 , 05} e^{- t /0, 05} = 480 e^{- t /0, 05}$ u'(t) = 24×(0 - (-1/0,05)e^(-t/0,05)) = 24/0,05e^(-t/0,05) = 480e^(-t/0,05).
7
$u^{'} (0) = 480$ u'(0) = 480 V/s : la charge démarre à $480$ 480 volts par seconde, puis ralentit.
8
Symétrie avec la décharge : $u_{charge} (t) + u_{d \overset{e}{ˊ} charge} (t) = 24$ u_charge(t) + u_décharge(t) = 24 si les deux partent du même $τ$ τ.
Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite $y = 12$ y = 12.

Réponse :

u (0) = 0

u(0) = 0,

u (τ) \approx 15, 17

u(τ) ≈ 15,17 V (

63, 2%

63,2%),

u (3 τ) \approx 22, 80

u(3τ) ≈ 22,80 V (

95%

95%) · limite

24

24 V ·

u^{'} (t) = 480 e^{- t /0, 05}

u'(t) = 480e^(-t/0,05) et

u^{'} (0) = 480

u'(0) = 480 V/s.

Rappel de cours : Charge : $u = E (1 - e^{- t / τ})$ u = E(1 - e^(-t/τ)), avec $63, 2%$ 63,2% à $τ$ τ et $95%$ 95% à $3 τ$ 3τ · décharge : $u = E e^{- t / τ}$ u = E e^(-t/τ).

Erreur fréquente : Dériver $1 - e^{- t / τ}$ 1 - e^(-t/τ) en $- \frac{1}{τ} e^{- t / τ}$ -1/taue^(-t/τ) : le double signe moins donne une dérivée POSITIVE, cohérente avec une tension qui monte.

Exercice 15 — Étude de eˣ − x

Type contrôle

Soit $f (x) = e^{x} - x$ f(x) = e^(x) - x sur $R$ ℝ.

1.Calcule $f^{'} (x)$ f'(x) et détermine son signe.
2.Dresse le tableau de variations et donne le minimum.
3.Que peut-on en déduire sur la position relative des courbes de $e^{x}$ e^(x) et de $x$ x ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
$f^{'} (x) = e^{x} - 1$ f'(x) = e^(x) - 1.
2
Signe : $e^{x} - 1 > 0$ e^(x) - 1 > 0 équivaut à $e^{x} > 1 = e^{0}$ e^(x) > 1 = e⁰, c'est-à-dire $x > 0$ x > 0 (l'exponentielle étant croissante).
3
Donc $f^{'} (x) < 0$ f'(x) < 0 pour $x < 0$ x < 0 et $f^{'} (x) > 0$ f'(x) > 0 pour $x > 0$ x > 0.
4
$f$ f est DÉCROISSANTE sur $] - \infty; 0]$ ]-∞ ; 0] puis CROISSANTE sur $[0; + \infty [$ [0 ; +∞[.
5
Minimum : $f (0) = e^{0} - 0 = 1$ f(0) = e⁰ - 0 = 1.
6
Conclusion : $f (x) \geq 1$ f(x) ≥ 1 pour tout réel $x$ x, c'est-à-dire $e^{x} - x \geq 1$ e^(x) - x ≥ 1, soit $e^{x} \geq x + 1$ e^(x) ≥ x + 1.
7
Position relative : la courbe de l'exponentielle est donc TOUJOURS au-dessus de la droite $y = x + 1$ y = x + 1, avec un unique point de contact en $x = 0$ x = 0.
8
Or $y = x + 1$ y = x + 1 est précisément la tangente à la courbe de $e^{x}$ e^(x) au point $(0; 1)$ (0 ; 1) : la courbe est au-dessus de sa tangente.
9
Conséquence utile : $e^{x} > x$ e^(x) > x pour tout réel $x$ x.
L'exponentielle ne croise jamais la première bissectrice, contrairement à ce qu'un tracé grossier pourrait laisser croire.
10
Contrôle : $f (- 2) = e^{- 2} + 2 \approx 2, 135$ f(-2) = e⁻² + 2 ≈ 2,135 et $f (1) = e - 1 \approx 1, 718$ f(1) = e - 1 ≈ 1,718, tous deux supérieurs à $1$ 1 ✔.

Réponse :

f^{'} (x) = e^{x} - 1

f'(x) = e^(x) - 1, négative avant

0

0, positive après · minimum

f (0) = 1

f(0) = 1 · donc

e^{x} \geq x + 1

e^(x) ≥ x+1 : la courbe de

e^{x}

e^(x) est toujours au-dessus de sa tangente en

(0; 1)

(0 ; 1).

Rappel de cours : $e^{x} \geq x + 1$ e^(x) ≥ x + 1 pour tout réel $x$ x, avec égalité seulement en $x = 0$ x = 0.

Erreur fréquente : Résoudre $e^{x} - 1 > 0$ e^(x) - 1 > 0 en écrivant $x > 1$ x > 1 : il faut comparer $e^{x}$ e^(x) à $e^{0}$ e⁰, donc $x$ x à $0$ 0.

Exercice 16 — Type bac : refroidissement d'une pièce

Type bac / défi

Une pièce sortie du four à $220$ 220 °C refroidit dans un atelier à $20$ 20 °C.

Sa température suit $T (t) = 20 + 200 e^{- 0, 08 t}$ T(t) = 20 + 200e^(-0,08t) ( $t$ t en minutes).

1.Vérifie la cohérence du modèle en $t = 0$ t = 0 et sa limite en $+ \infty$ +∞.
2.Calcule $T (10)$ T(10) et $T (30)$ T(30).
3.Calcule $T^{'} (t)$ T'(t) et la vitesse de refroidissement initiale.
4.À quel instant la pièce passe-t-elle sous $60$ 60 °C ? (par balayage)

Voir la correction

Correction détaillée

1
$T (0) = 20 + 200 e^{0} = 220$ T(0) = 20 + 200e⁰ = 220 °C ✔ conforme à la sortie du four.
2
Limite : $e^{- 0, 08 t} \to 0$ e^(-0,08t) → 0, donc $T (t) \to 20$ T(t) → 20 °C — la température de l'atelier ✔.
Le modèle est physiquement cohérent.
3
$T (10) = 20 + 200 e^{- 0, 8}$ T(10) = 20 + 200e^(-0,8).
Or $e^{- 0, 8} \approx 0, 4493$ e^(-0,8) ≈ 0,449 3, donc $T (10) \approx 20 + 89, 9 = 109, 9$ T(10) ≈ 20 + 89,9 = 109,9 °C.
4
$T (30) = 20 + 200 e^{- 2, 4}$ T(30) = 20 + 200e^(-2,4).
Or $e^{- 2, 4} \approx 0, 0907$ e^(-2,4) ≈ 0,090 7, donc $T (30) \approx 20 + 18, 1 = 38, 1$ T(30) ≈ 20 + 18,1 = 38,1 °C.
5
Dérivée : $T^{'} (t) = 200 \times (- 0, 08) e^{- 0, 08 t} = - 16 e^{- 0, 08 t}$ T'(t) = 200×(-0,08)e^(-0,08t) = -16e^(-0,08t).
6
$T^{'} (0) = - 16$ T'(0) = -16 °C/min : la pièce perd $16$ 16 degrés par minute au tout début.
7
Seuil de $60$ 60 °C : il faut $200 e^{- 0, 08 t} \leq 40$ 200e^(-0,08t) ≤ 40, soit $e^{- 0, 08 t} \leq 0, 2$ e^(-0,08t) ≤ 0,2.
8
Balayage : $e^{- 1, 6} \approx 0, 2019$ e^(-1,6) ≈ 0,201 9 (pour $t = 20$ t = 20, juste insuffisant) ; $e^{- 1, 68} \approx 0, 1864$ e^(-1,68) ≈ 0,186 4 (pour $t = 21$ t = 21, suffisant).
9
La pièce passe donc sous $60$ 60 °C entre $20$ 20 et $21$ 21 minutes, plus précisément vers $t \approx 20, 1$ t ≈ 20,1 min.
10
Contrôle : $T (20) = 20 + 200 \times 0, 2019 \approx 60, 4$ T(20) = 20 + 200× 0,201 9 ≈ 60,4 °C et $T (21) \approx 57, 3$ T(21) ≈ 57,3 °C ✔.
11
Remarque : le chapitre suivant (logarithme népérien) permettra d'obtenir directement $t = \frac{l n 5}{0 , 08} \approx 20, 1$ t = (ln 5)/0,08 ≈ 20,1 min, sans balayage.

Réponse :

T (0) = 220

T(0) = 220 °C et

T \to 20

T → 20 °C ✔ ·

T (10) \approx 109, 9

T(10) ≈ 109,9 °C,

T (30) \approx 38, 1

T(30) ≈ 38,1 °C ·

T^{'} (t) = - 16 e^{- 0, 08 t}

T'(t) = -16e^(-0,08t), soit

- 16

-16 °C/min au départ · sous

60

60 °C vers

t \approx 20, 1

t ≈ 20,1 min.

Rappel de cours : Loi de refroidissement : $T (t) = T_{amb} + (T_{0} - T_{amb}) e^{- k t}$ T(t) = T_amb + (T₀ - T_amb)e^(-kt). C'est l'ÉCART qui décroît exponentiellement.

Erreur fréquente : Modéliser $T (t) = 220 e^{- 0, 08 t}$ T(t) = 220e^(-0,08t) : la pièce tendrait vers $0$ 0 °C, ce qui est impossible dans un atelier à $20$ 20 °C.

Exercice 17 — Type bac : étude complète d'une fonction

Type bac / défi

Soit $f (x) = (2 - x) e^{x}$ f(x) = (2 - x)e^(x) sur $[- 1; 3]$ [-1 ; 3].

1.Calcule $f^{'} (x)$ f'(x) et factorise par $e^{x}$ e^(x).
2.Dresse le tableau de variations sur $[- 1; 3]$ [-1 ; 3].
3.Détermine les extremums, en valeurs approchées.
4.Donne l'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ 0.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Produit avec $u = 2 - x$ u = 2 - x ( $u^{'} = - 1$ u' = -1) et $v = e^{x}$ v = e^(x) ( $v^{'} = e^{x}$ v' = e^(x)).
2
$f^{'} (x) = - e^{x} + (2 - x) e^{x} = e^{x} (- 1 + 2 - x) = (1 - x) e^{x}$ f'(x) = -e^(x) + (2-x)e^(x) = e^(x)(-1 + 2 - x) = (1 - x)e^(x).
3
Signe : $e^{x} > 0$ e^(x) > 0, donc le signe de $f^{'}$ f' est celui de $(1 - x)$ (1-x).
4
$f^{'} (x) > 0$ f'(x) > 0 sur $[- 1; 1 [$ [-1 ; 1[ et $f^{'} (x) < 0$ f'(x) < 0 sur $] 1; 3]$ ]1 ; 3] : $f$ f croît puis décroît.
5
Maximum en $x = 1$ x = 1 : $f (1) = (2 - 1) e^{1} = e \approx 2, 718$ f(1) = (2-1)e¹ = e ≈ 2,718.
6
Valeurs aux bornes : $f (- 1) = (2 + 1) e^{- 1} = 3 e^{- 1} \approx 1, 104$ f(-1) = (2+1)e⁻¹ = 3e⁻¹ ≈ 1,104 et $f (3) = (2 - 3) e^{3} = - e^{3} \approx - 20, 086$ f(3) = (2-3)e³ = -e³ ≈ -20,086.
7
Le minimum sur l'intervalle est donc $f (3) \approx - 20, 086$ f(3) ≈ -20,086, atteint à la borne droite.
8
Tangente en $0$ 0 : $f (0) = 2 e^{0} = 2$ f(0) = 2e⁰ = 2 et $f^{'} (0) = (1 - 0) e^{0} = 1$ f'(0) = (1-0)e⁰ = 1.
9
$T : y = 1 \times (x - 0) + 2 = x + 2$ T : y = 1×(x - 0) + 2 = x + 2.
10
Contrôle de cohérence : $f$ f s'annule en $x = 2$ x = 2 (car $2 - x = 0$ 2 - x = 0), valeur bien située entre le maximum en $1$ 1 et le minimum en $3$ 3 ✔.

Réponse :

f^{'} (x) = (1 - x) e^{x}

f'(x) = (1-x)e^(x) · croissante sur

[- 1; 1]

[-1 ; 1], décroissante sur

[1; 3]

[1 ; 3] · maximum

f (1) = e \approx 2, 72

f(1) = e ≈ 2,72, minimum

f (3) = - e^{3} \approx - 20, 09

f(3) = -e³ ≈ -20,09 · tangente en

0

0 :

y = x + 2

y = x + 2.

Rappel de cours : Sur un intervalle FERMÉ, les extremums se cherchent parmi les points où $f^{'} = 0$ f' = 0 ET les bornes.

Erreur fréquente : Annoncer le minimum en $x = - 1$ x = -1 : $f (- 1) \approx 1, 10$ f(-1) ≈ 1,10 est positif, alors que $f (3) \approx - 20, 09$ f(3) ≈ -20,09 est bien plus petit.

Exercice 18 — Type bac : amortissement d'une vibration

Type bac / défi

L'amplitude des vibrations d'un support, en millimètres, suit $A (t) = 6 e^{- 0, 5 t}$ A(t) = 6e^(-0,5t) ( $t$ t en secondes).

Le seuil acceptable est $0, 5$ 0,5 mm.

1.Calcule $A (0)$ A(0), $A (2)$ A(2) et $A (6)$ A(6).
2.Calcule le temps nécessaire pour que l'amplitude soit divisée par deux.
3.Détermine par balayage l'instant où l'amplitude passe sous le seuil.
4.Calcule $A^{'} (2)$ A'(2) et interprète.

Voir la correction

Correction détaillée

1
$A (0) = 6$ A(0) = 6 mm.
2
$A (2) = 6 e^{- 1} \approx 6 \times 0, 3679 \approx 2, 21$ A(2) = 6e⁻¹ ≈ 6× 0,367 9 ≈ 2,21 mm.
3
$A (6) = 6 e^{- 3} \approx 6 \times 0, 0498 \approx 0, 30$ A(6) = 6e⁻³ ≈ 6× 0,049 8 ≈ 0,30 mm.
4
Division par deux : on cherche $e^{- 0, 5 t} = 0, 5$ e^(-0,5t) = 0,5.
Par balayage, $e^{- 1, 4} \approx 0, 2466$ e^(-1,4) ≈ 0,246 6 et $e^{- 0, 7} \approx 0, 4966$ e^(-0,7) ≈ 0,496 6.
5
Donc $0, 5 t \approx 0, 693$ 0,5t ≈ 0,693, soit $t \approx 1, 39$ t ≈ 1,39 s. (Le chapitre suivant donnera $t = \frac{l n 2}{0 , 5}$ t = (ln 2)/0,5 directement.)
6
Propriété : ce temps de demi-amplitude est CONSTANT — de $6$ 6 à $3$ 3 mm ou de $3$ 3 à $1, 5$ 1,5 mm, il faut les mêmes $1, 39$ 1,39 s.
7
Seuil de $0, 5$ 0,5 mm : $6 e^{- 0, 5 t} \leq 0, 5$ 6e^(-0,5t) ≤ 0,5, soit $e^{- 0, 5 t} \leq 0, 0833$ e^(-0,5t) ≤ 0,083 3.
8
Balayage : $e^{- 2, 4} \approx 0, 0907$ e^(-2,4) ≈ 0,090 7 (insuffisant) ; $e^{- 2, 5} \approx 0, 0821$ e^(-2,5) ≈ 0,082 1 (suffisant).
9
Donc $0, 5 t \approx 2, 48$ 0,5t ≈ 2,48, soit $t \approx 4, 97$ t ≈ 4,97 s.
L'amplitude passe sous le seuil vers $5$ 5 secondes.
10
Dérivée : $A^{'} (t) = - 3 e^{- 0, 5 t}$ A'(t) = -3e^(-0,5t), donc $A^{'} (2) = - 3 e^{- 1} \approx - 1, 10$ A'(2) = -3e⁻¹ ≈ -1,10 mm/s.
11
Interprétation : à $t = 2$ t = 2 s, l'amplitude diminue d'environ $1, 1$ 1,1 mm par seconde.
Au départ, la décroissance était de $A^{'} (0) = - 3$ A'(0) = -3 mm/s : l'amortissement ralentit à mesure que l'amplitude diminue.

Réponse :

A (0) = 6

A(0) = 6 mm,

A (2) \approx 2, 21

A(2) ≈ 2,21 mm,

A (6) \approx 0, 30

A(6) ≈ 0,30 mm · demi-amplitude en

\approx 1, 39

≈ 1,39 s (constante) · seuil de

0, 5

0,5 mm vers

t \approx 5

t ≈ 5 s ·

A^{'} (2) \approx - 1, 10

A'(2) ≈ -1,10 mm/s.

Rappel de cours : Dans un modèle $A_{0} e^{- k t}$ A₀e^(-kt), le temps de division par deux vaut $\frac{l n 2}{k}$ (ln 2)/k et ne dépend pas de l'amplitude de départ.

Erreur fréquente : Croire que l'amplitude s'annule : $6 e^{- 0, 5 t}$ 6e^(-0,5t) reste strictement positif. On ne peut que descendre sous un seuil.

Exercice 19 — Type bac : croissances comparées et seuil

Type bac / défi

Le coût cumulé de maintenance d'un équipement, en milliers d'euros, est modélisé par $C (t) = 0, 5 t^{2}$ C(t) = 0,5t², tandis que sa valeur résiduelle vaut $V (t) = 40 e^{- 0, 15 t}$ V(t) = 40e^(-0,15t) ( $t$ t en années).

1.Calcule $C (5)$ C(5), $V (5)$ V(5), puis $C (10)$ C(10) et $V (10)$ V(10).
2.Détermine par balayage l'année où le coût cumulé dépasse la valeur résiduelle.
3.Que peut-on dire du comportement à long terme des deux modèles ?
4.Quelle décision de gestion cela suggère-t-il ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
$C (5) = 0, 5 \times 25 = 12, 5$ C(5) = 0,5× 25 = 12,5 k€ et $V (5) = 40 e^{- 0, 75} \approx 40 \times 0, 4724 \approx 18, 9$ V(5) = 40e^(-0,75) ≈ 40× 0,472 4 ≈ 18,9 k€.
2
À $5$ 5 ans, la valeur résiduelle dépasse encore le coût cumulé.
3
$C (10) = 0, 5 \times 100 = 50$ C(10) = 0,5× 100 = 50 k€ et $V (10) = 40 e^{- 1, 5} \approx 40 \times 0, 2231 \approx 8, 9$ V(10) = 40e^(-1,5) ≈ 40× 0,223 1 ≈ 8,9 k€.
4
À $10$ 10 ans, le rapport s'est inversé, et largement.
5
Balayage entre $5$ 5 et $10$ 10 ans : $t = 7$ t = 7 donne $C = 24, 5$ C = 24,5 et $V = 40 e^{- 1, 05} \approx 14, 0$ V = 40e^(-1,05) ≈ 14,0 — déjà inversé.
6
$t = 6$ t = 6 : $C = 18$ C = 18 et $V = 40 e^{- 0, 9} \approx 16, 3$ V = 40e^(-0,9) ≈ 16,3 — inversé aussi, de peu.
7
$t = 5, 5$ t = 5,5 : $C = 15, 1$ C = 15,1 et $V = 40 e^{- 0, 825} \approx 17, 5$ V = 40e^(-0,825) ≈ 17,5 — pas encore inversé.
8
Le croisement a donc lieu entre $5, 5$ 5,5 et $6$ 6 ans, vers $t \approx 5, 8$ t ≈ 5,8 ans.
9
Long terme : $C (t) = 0, 5 t^{2}$ C(t) = 0,5t² croît sans limite, tandis que $V (t) = 40 e^{- 0, 15 t}$ V(t) = 40e^(-0,15t) tend vers $0$ 0.
L'écart se creuse donc indéfiniment.
10
À $20$ 20 ans : $C = 200$ C = 200 k€ contre $V \approx 2$ V ≈ 2 k€ — le coût cumulé vaut cent fois la valeur du bien.
11
Décision : il faut remplacer l'équipement autour de la 6ᵉ année, c'est-à-dire dès que le coût cumulé de maintenance dépasse ce que vaut encore la machine.
Le conserver plus longtemps revient à entretenir un bien qui ne vaut plus rien.

Réponse :

C (5) = 12, 5

C(5) = 12,5 contre

V (5) \approx 18, 9

V(5) ≈ 18,9 ;

C (10) = 50

C(10) = 50 contre

V (10) \approx 8, 9

V(10) ≈ 8,9 · croisement vers

t \approx 5, 8

t ≈ 5,8 ans ·

C

C croît sans limite,

V

V tend vers

0

0 · remplacement conseillé vers la 6ᵉ année.

Rappel de cours : Une exponentielle DÉCROISSANTE tend vers $0$ 0 plus vite que n'importe quel polynôme ne croît : leur croisement est inévitable.

Erreur fréquente : Comparer les valeurs initiales ( $C (0) = 0$ C(0) = 0 contre $V (0) = 40$ V(0) = 40) et en conclure que l'équipement reste rentable : l'écart s'inverse en moins de six ans.

Exercice 20 — Type bac : base e ou base a ?

Type bac / défi

Une production décroît de $12%$ 12% par an.

On peut la modéliser par $f (t) = 500 \times 0, 8 8^{t}$ f(t) = 500× 0,88^(t) (base $a$ a) ou par $g (t) = 500 e^{- k t}$ g(t) = 500e^(-kt) (base $e$ e).

1.Calcule $f (1)$ f(1), $f (3)$ f(3) et $f (5)$ f(5).
2.Détermine $k$ k par balayage pour que $g (1) = f (1)$ g(1) = f(1).
3.Vérifie que les deux modèles coïncident aussi en $t = 3$ t = 3 et $t = 5$ t = 5.
4.Pourquoi la physique préfère-t-elle la base $e$ e ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
$f (1) = 500 \times 0, 88 = 440$ f(1) = 500× 0,88 = 440.
2
$f (3) = 500 \times 0, 8 8^{3} = 500 \times 0, 681472 \approx 340, 7$ f(3) = 500× 0,88³ = 500× 0,681 472 ≈ 340,7.
3
$f (5) = 500 \times 0, 8 8^{5} \approx 500 \times 0, 527732 \approx 263, 9$ f(5) = 500× 0,88⁵ ≈ 500× 0,527 732 ≈ 263,9.
4
Pour $g (1) = 440$ g(1) = 440, il faut $e^{- k} = 0, 88$ e^(-k) = 0,88.
5
Balayage : $e^{- 0, 12} \approx 0, 8869$ e^(-0,12) ≈ 0,886 9 (un peu trop grand) ; $e^{- 0, 13} \approx 0, 8781$ e^(-0,13) ≈ 0,878 1 (un peu trop petit).
6
En affinant : $e^{- 0, 1278} \approx 0, 8800$ e^(-0,1278) ≈ 0,880 0.
Donc $k \approx 0, 1278$ k ≈ 0,1278.
7
Vérification en $t = 3$ t = 3 : $g (3) = 500 e^{- 0, 3834} \approx 500 \times 0, 6815 \approx 340, 7$ g(3) = 500e^(-0,383 4) ≈ 500× 0,681 5 ≈ 340,7 ✔ identique à $f (3)$ f(3).
8
En $t = 5$ t = 5 : $g (5) = 500 e^{- 0, 639} \approx 500 \times 0, 5277 \approx 263, 9$ g(5) = 500e^(-0,639) ≈ 500× 0,527 7 ≈ 263,9 ✔.
9
Les deux modèles sont donc EXACTEMENT les mêmes, écrits différemment : $0, 8 8^{t} = e^{- 0, 1278 t}$ 0,88^(t) = e^(-0,1278 t).
10
Pourquoi la base $e$ e en physique ?
Parce que sa dérivée est immédiate : $(e^{- k t})^{'} = - k e^{- k t}$ (e^(-kt))' = -k e^(-kt), alors que dériver $0, 8 8^{t}$ 0,88^(t) demanderait de passer par $e$ e de toute façon.
11
Et parce que le paramètre $k$ k a un sens physique direct : $\frac{1}{k}$ 1/k est la CONSTANTE DE TEMPS du phénomène, ici $\frac{1}{0 , 1278} \approx 7, 8$ 1/0,1278 ≈ 7,8 ans.
12
Conclusion : base $a$ a pour parler de taux d'évolution ( $- 12%$ -12% par an), base $e$ e pour dériver et pour raisonner en constante de temps.

Réponse :

f (1) = 440

f(1) = 440,

f (3) \approx 340, 7

f(3) ≈ 340,7,

f (5) \approx 263, 9

f(5) ≈ 263,9 ·

k \approx 0, 1278

k ≈ 0,1278 et les deux modèles coïncident partout · la base

e

e se dérive immédiatement et fait apparaître la constante de temps

\frac{1}{k} \approx 7, 8

1/k ≈ 7,8 ans.

Rappel de cours : $a^{t} = e^{k t}$ a^(t) = e^(kt) avec $k$ k tel que $e^{k} = a$ e^(k) = a : ce sont deux écritures du même modèle, et $\frac{1}{∣ k ∣}$ 1/|k| est la constante de temps.

Erreur fréquente : Prendre $k = 0, 12$ k = 0,12 parce que la baisse est de $12%$ 12% : ce serait $e^{- 0, 12} \approx 0, 887$ e^(-0,12) ≈ 0,887, soit une baisse de $11, 3%$ 11,3% et non $12%$ 12%.

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