Fonction exponentielle en Terminale STI2D

Fonction exponentielle en Terminale STI2D : cours complet

Le nombre $e$e

Définition — Fonction exponentielle. Parmi les fonctions $x\mapsto a^x$x ↦ a^(x) ($a>0$a > 0), il en existe une seule dont la tangente en $0$0 a pour coefficient directeur $1$1. Sa base est le nombre $e\approx 2,718$e ≈ 2,718. La fonction $x\mapsto e^x$x ↦ e^(x), notée aussi $\exp$exp, est la fonction exponentielle.

Propriété — Dérivée et signe. La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ℝ et égale à sa dérivée : $$(e^x{)}^{\prime }=e^x{e}^0=1,e^x>0\text{ pour tout reˊel }x.$$(e^(x))' = e^(x) e⁰ = 1, e^(x) > 0 pour tout réel x. Elle est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ℝ.

Propriété — Règles de calcul. $e^{a+b}=e^a{e}^b$e^(a+b) = e^(a)e^(b) ; $e^{-a}=\frac{1}{e^a}$e^(-a) = 1/e^(a) ; $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$e^(a-b) = e^(a)/e^(b) ; $(e^a{)}^n=e^{na}$(e^(a))ⁿ = e^(na). De plus $e^a=e^b⟺a=b$e^(a) = e^(b) ⇔ a = b et $e^a<e^b⟺a<b$e^(a) < e^(b) ⇔ a < b.

Propriété — Dérivée de $e^{kx}$e^(kx). Pour tout réel $k$k : ${\left(e^{kx}\right)}^{\prime }=k{e}^{kx}$(e^(kx))' = k e^(kx). Ainsi $x\mapsto e^{kx}$x ↦ e^(kx) est croissante si $k>0$k > 0, décroissante si $k<0$k < 0.

Limites et courbe

Propriété — Limites. $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$lim_x → +∞ e^(x) = +∞ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$lim_x → -∞ e^(x) = 0 : l'axe des abscisses est asymptote à la courbe en $-\infty$-∞.

Courbe de $x\mapsto e^x$x ↦ e^(x) et sa tangente $y=x+1$y = x + 1 en $0$0.

Propriété — Croissances comparées. Pour tout entier $n\ge 1$n ≥ 1 : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty \underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n{e}^{-x}=0.$$lim_x → +∞ e^(x)/xⁿ = +∞ lim_x → +∞ xⁿe^(-x) = 0. En $+\infty$+∞, l'exponentielle « l'emporte » sur toute puissance de $x$x.

Études de fonctions

Exemple — Un produit. $f(x)=(x-1)e^x$f(x) = (x - 1)e^(x) : $f^{\prime }(x)=1\times e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$f'(x) = 1 × e^(x) + (x - 1)e^(x) = xe^(x), du signe de $x$x car $e^x>0$e^(x) > 0. $f$f décroît sur $]-\infty ;0]$]-∞ ;0], croît sur $[0;+\infty [$[0 ;+∞[ ; minimum $f(0)=-1$f(0) = -1.

En $-\infty$-∞ : $f(x)=x{e}^x-e^x$f(x) = xe^(x) - e^(x) tend vers $0$0 (croissances comparées : $x{e}^x\to 0$xe^(x) → 0).

Exemple — Charge d'un condensateur. La tension aux bornes d'un condensateur qui se charge est $u(t)=E\left(1-e^{-t/\tau }\right)$u(t) = E(1 - e^(-t/τ)), avec $E=12$E = 12 V et $\tau =0,5$τ = 0,5 s. $u^{\prime }(t)=\frac{E}{\tau }{e}^{-t/\tau }>0$u'(t) = E/taue^(-t/τ) > 0 : la tension croît ; $e^{-t/\tau }\to 0$e^(-t/τ) → 0, donc $u(t)\to 12$u(t) → 12 V. À $t=\tau$t = τ : $u(\tau )=12(1-e^{-1})\approx 7,6$u(τ) = 12(1 - e⁻¹) ≈ 7,6 V, soit $63\%$63 % de la charge finale.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Oublier le facteur $k$k : $(e^{3x}{)}^{\prime }=3e^{3x}$(e^(3x))' = 3e^(3x).
• Oublier que $e^x>0$e^(x) > 0 : le signe de $(x-1)e^x$(x - 1)e^(x) est celui de $x-1$x - 1.
• Écrire $e^{a+b}=e^a+e^b$e^(a+b) = e^(a) + e^(b).
• Conclure trop vite face à une forme « $\infty \times 0$∞ × 0 » : utiliser les croissances comparées.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Simplifier

Simplifier $A=\frac{e^3\times e^{-1}}{e^2}$A = (e³ × e⁻¹)/e² et $B={\left(e^{0,5}\right)}^4$B = (e^(0,5))⁴.

Exercice 2 – Dériver

Dériver $f(x)=3e^{2x}-x$f(x) = 3e^(2x) - x et $g(x)=x^2{e}^{-x}$g(x) = x²e^(-x).

Exercice 3 – Étude

Étudier les variations de $h(x)=x{e}^{-x}$h(x) = xe^(-x) sur $[0;+\infty [$[0 ;+∞[ et donner sa limite en $+\infty$+∞.

Exercice 4 – Décharge

Lors d'une décharge, $u(t)=10e^{-2t}$u(t) = 10e^(-2t). Calculer $u(0)$u(0), $u(1)$u(1) et la limite de $u$u en $+\infty$+∞.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $A=e^{3-1-2}=e^0=1$A = e^(3 - 1 - 2) = e⁰ = 1 ; $B=e^2$B = e².

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $f^{\prime }(x)=6e^{2x}-1$f'(x) = 6e^(2x) - 1 ; $g^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}=x(2-x)e^{-x}$g'(x) = 2xe^(-x) - x²e^(-x) = x(2 - x)e^(-x).

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $h^{\prime }(x)=e^{-x}-x{e}^{-x}=(1-x)e^{-x}$h'(x) = e^(-x) - xe^(-x) = (1 - x)e^(-x), du signe de $1-x$1 - x : $h$h croît sur $[0;1]$[0 ;1], décroît sur $[1;+\infty [$[1 ;+∞[ ; maximum $h(1)=e^{-1}\approx 0,37$h(1) = e⁻¹ ≈ 0,37. Par croissances comparées, $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)=0$lim_x → +∞ h(x) = 0.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $u(0)=10$u(0) = 10 V ; $u(1)=10e^{-2}\approx 1,35$u(1) = 10e⁻² ≈ 1,35 V ; $u(t)\to 0$u(t) → 0 en $+\infty$+∞.