Fonction logarithme décimal en Terminale STI2D

Fonction logarithme décimal en Terminale STI2D : cours complet

Définition

Définition — Logarithme décimal. Pour tout réel $b>0$b > 0, l'équation $10^x=b$10^(x) = b a une unique solution, appelée logarithme décimal de $b$b et notée $\log b$log b : $$10^x=b⟺x=\log b(b>0).$$10^(x) = b ⇔ x = log b (b > 0).

Propriété — Conséquences. $\log 1=0$log 1 = 0 ; $\log 10=1$log 10 = 1 ; $\log (10^n)=n$log(10ⁿ) = n ; $10^{\log b}=b$10^(log b) = b pour $b>0$b > 0 ; $\log (10^x)=x$log(10^(x)) = x pour tout réel $x$x. Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.

Exemple. $\log 1000=3$log 1 000 = 3 ; $\log 0,01=\log (10^{-2})=-2$log 0,01 = log(10⁻²) = -2 ; $\log \sqrt{10}=\log (10^{0,5})=0,5$log√(10) = log(10^(0,5)) = 0,5.

Sens de variation

Propriété — Variations. La fonction $\log$log est strictement croissante sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[ : pour $a>0$a > 0 et $b>0$b > 0, $a<b⟺\log a<\log b$a < b ⇔ log a < log b. De plus $\log x<0$log x < 0 si $0<x<1$0 < x < 1 et $\log x>0$log x > 0 si $x>1$x > 1.

Courbe de $x\mapsto \log x$x ↦ log x : elle passe par $(1;0)$(1 ;0) et $(10;1)$(10 ;1), et croît de plus en plus lentement.

Propriétés algébriques

Propriété — Règles de calcul. Pour $a>0$a > 0, $b>0$b > 0 et $n$n entier naturel : $$\log (ab)=\log a+\log b\log \frac{1}{b}=-\log b\log \frac{a}{b}=\log a-\log b\log (a^n)=n\log a$$log(ab) = log a + log b log1/b = -log b loga/b = log a - log b log(aⁿ) = nlog a

Démonstration. On admet la première (elle traduit $10^{x+y}=10^x\times 10^y$10^(x+y) = 10^(x) × 10^(y)). Alors $\log b+\log \frac{1}{b}=\log \left(b\times \frac{1}{b}\right)=\log 1=0$log b + log1/b = log(b × 1/b) = log 1 = 0, d'où $\log \frac{1}{b}=-\log b$log1/b = -log b, puis $\log \frac{a}{b}=\log a+\log \frac{1}{b}=\log a-\log b$loga/b = log a + log1/b = log a - log b. Enfin $\log (a^2)=\log a+\log a=2\log a$log(a²) = log a + log a = 2log a, et de même pour $n=3,4,\dots$n = 3, 4, …

Exemple. $\log 200=\log 2+\log 100=\log 2+2$log 200 = log 2 + log 100 = log 2 + 2 ; \qquad $\log 8-\log 0,8=\log \frac{8}{0,8}=\log 10=1$log 8 - log 0,8 = log8/0,8 = log 10 = 1.

Résoudre des équations et des inéquations

Méthode — Équation $a^x=b$a^(x) = b. Pour $a>0$a > 0, $a\ne 1$a ≠ 1 et $b>0$b > 0 : $a^x=b⟺x\log a=\log b⟺x=\frac{\log b}{\log a}$a^(x) = b ⇔ xlog a = log b ⇔ x = (log b)/(log a).

Méthode — Équation $x^a=b$x^(a) = b, $x>0$x > 0. $x^a=b⟺x=b^{\frac{1}{a}}$x^(a) = b ⇔ x = b^(1/a) : c'est ainsi qu'on calcule un taux moyen.

Méthode — Inéquation $a^n>b$aⁿ > b, $n$n entier. On applique $\log$log, qui conserve l'ordre : $n\log a>\log b$nlog a > log b. On divise par $\log a$log a en changeant le sens si $\log a<0$log a < 0 (c'est-à-dire si $0<a<1$0 < a < 1).

Exemple — Doubler un capital. Un capital placé à $3\%$3 % par an double quand $1,03^n\ge 2$1,03ⁿ ≥ 2, soit $n\ge \frac{\log 2}{\log 1,03}\approx 23,4$n ≥ (log 2)/(log 1,03) ≈ 23,4 : il faut $24$24 ans.

Exemple — Une décroissance. Une grandeur perd $10\%$10 % par an. Elle passe sous $10\%$10 % de sa valeur initiale quand $0,9^n<0,1$0,9ⁿ < 0,1, soit $n\log 0,9<-1$nlog 0,9 < -1. Comme $\log 0,9<0$log 0,9 < 0 : $n>\frac{-1}{\log 0,9}\approx 21,9$n > (-1)/(log 0,9) ≈ 21,9, donc à partir de $n=22$n = 22.

Ordres de grandeur et échelles logarithmiques

Propriété — Nombre de chiffres. Si $10^k\le N<10^{k+1}$10^(k) ≤ N < 10^(k+1) ($k$k entier), alors $k\le \log N<k+1$k ≤ log N < k + 1 : l'entier $N$N s'écrit avec $k+1$k + 1 chiffres, et $\log N$log N donne son ordre de grandeur.

Exemple. $\log (2^{50})=50\log 2\approx 15,05$log(2⁵⁰) = 50log 2 ≈ 15,05 : $2^{50}$2⁵⁰ s'écrit avec $16$16 chiffres (il vaut environ $1,1\times 10^{15}$1,1 × 10¹⁵).

Exemple — Niveau sonore. Le niveau sonore est $L=10\log \frac{I}{I_0}$L = 10logI/I₀ (en décibels). Doubler l'intensité $I$I ajoute $10\log 2\approx 3$10log 2 ≈ 3 dB ; la multiplier par $10$10 ajoute $10$10 dB.

Remarque — Repère semi-logarithmique. Sur un axe gradué en $\log y$log y, les valeurs $1$1, $10$10, $100$100, $1000$1 000 sont équidistantes : une grandeur à évolution relative constante ($y=k{a}^x$y = ka^(x)) y est représentée par une droite.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Écrire $\log (a+b)=\log a+\log b$log(a + b) = log a + log b : la règle concerne le produit.
• Oublier de changer le sens de l'inégalité en divisant par $\log a<0$log a < 0.
• Calculer le logarithme d'un nombre négatif ou nul.
• Arrondir $n$n à l'entier le plus proche au lieu de prendre l'entier qui vérifie vraiment l'inégalité.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Valeurs exactes

Calculer $\log 100000$log 100 000, $\log 0,001$log 0,001 et $\log (10^{2,5})$log(10^(2,5)).

Exercice 2 – Équation

Résoudre $5^x=40$5^(x) = 40 (valeur arrondie au millième).

Exercice 3 – Seuil

Déterminer le plus petit entier $n$n tel que $1,05^n>3$1,05ⁿ > 3.

Exercice 4 – Taux moyen

Un chiffre d'affaires est multiplié par $1,5$1,5 en $10$10 ans. Calculer le taux d'évolution annuel moyen.

Exercice 5 – Nombre de chiffres

Combien de chiffres compte l'écriture décimale de $3^{40}$3⁴⁰ ?

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $\log 100000=5$log 100 000 = 5 ; $\log 0,001=-3$log 0,001 = -3 ; $\log (10^{2,5})=2,5$log(10^(2,5)) = 2,5.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $x=\frac{\log 40}{\log 5}\approx 2,292$x = (log 40)/(log 5) ≈ 2,292.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $n\log 1,05>\log 3$nlog 1,05 > log 3 et $\log 1,05>0$log 1,05 > 0 : $n>\frac{\log 3}{\log 1,05}\approx 22,5$n > (log 3)/(log 1,05) ≈ 22,5, donc $n=23$n = 23.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $x^{10}=1,5⟺x=1,5^{0,1}\approx 1,0414$x¹⁰ = 1,5 ⇔ x = 1,5^(0,1) ≈ 1,041 4 : environ $+4,14\%$+4,14 % par an.

Corrigé de l'exercice 5

Corrigé. $\log (3^{40})=40\log 3\approx 19,08$log(3⁴⁰) = 40log 3 ≈ 19,08 : $19\le \log (3^{40})<20$19 ≤ log(3⁴⁰) < 20, donc $20$20 chiffres.