Fonctions exponentielles en Terminale STI2D

Fonctions exponentielles en Terminale STI2D : cours complet

Des suites géométriques aux fonctions exponentielles

Définition — Fonction exponentielle de base $a$a. Soit $a>0$a > 0. La suite géométrique $(a^n)$(aⁿ) est définie pour les entiers ; on la prolonge à tous les réels $x\ge 0$x ≥ 0 par une fonction $x\mapsto a^x$x ↦ a^(x) dont la courbe « relie » les points $(n;a^n)$(n ;aⁿ), puis aux réels négatifs en posant $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$a^(-x) = 1/a^(x). On admet que : $$a^x>0\text{ pour tout reˊel }x,a^0=1,a^1=a,a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}.$$a^(x) > 0 pour tout réel x, a⁰ = 1, a¹ = a, a^(1/2) = √a .

Remarque — Évolution relative constante. Quand $x$x augmente de $1$1, $a^x$a^(x) est multiplié par $a$a : la fonction modélise une grandeur dont le taux d'évolution est constant, mais en temps continu (on peut calculer sa valeur au bout de $2,5$2,5 heures, par exemple).

Exemple — Croissance d'une culture. Une culture de $1000$1 000 bactéries est multipliée par $1,5$1,5 toutes les heures : $N(t)=1000\times 1,5^t$N(t) = 1 000 × 1,5^(t). Au bout de $2$2 h 30 : $N(2,5)=1000\times 1,5^{2,5}\approx 2756$N(2,5) = 1 000 × 1,5^(2,5) ≈ 2 756 bactéries.

Sens de variation

Propriété — Variations de $x\mapsto a^x$x ↦ a^(x).

• Si $a>1$a > 1, la fonction $x\mapsto a^x$x ↦ a^(x) est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ℝ.
• Si $0<a<1$0 < a < 1, elle est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ℝ.
• Si $a=1$a = 1, elle est constante, égale à $1$1.

Comme pour les suites géométriques, c'est la position de $a$a par rapport à $1$1 qui décide.

Toutes les courbes passent par $(0;1)$(0 ;1) ; croissantes si $a>1$a > 1, décroissante si $a<1$a < 1.

Propriété — Fonctions $x\mapsto k{a}^x$x ↦ ka^(x). Si $k>0$k > 0, $x\mapsto k{a}^x$x ↦ ka^(x) a le même sens de variation que $x\mapsto a^x$x ↦ a^(x) ; si $k<0$k < 0, le sens contraire.

Exemple. $f(x)=-3\times 0,8^x$f(x) = -3 × 0,8^(x) : $0,8<1$0,8 < 1, donc $x\mapsto 0,8^x$x ↦ 0,8^(x) est décroissante ; $k=-3<0$k = -3 < 0, donc $f$f est croissante.

Propriétés algébriques

Propriété — Règles de calcul (admises). Pour $a>0$a > 0, $x$x et $y$y réels, $n$n entier relatif : $$a^{x+y}=a^x\times a^y{a}^{-x}=\frac{1}{a^x}{a}^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}{a}^{nx}=(a^x{)}^n$$a^(x+y) = a^(x) × a^(y) a^(-x) = 1/a^(x) a^(x-y) = a^(x)/a^(y) a^(nx) = (a^(x))ⁿ Ce sont les règles des puissances entières, étendues aux exposants réels.

Exemple. $\frac{2^3\times 2^{1,5}}{2^{0,5}}=2^{3+1,5-0,5}=2^4=16$(2³ × 2^(1,5))/2^(0,5) = 2^(3 + 1,5 - 0,5) = 2⁴ = 16 ; \qquad ${\left(5^{0,25}\right)}^4=5^1=5$(5^(0,25))⁴ = 5¹ = 5.

Taux d'évolution moyen

Propriété — Racine $n$n-ième. Pour $b>0$b > 0 et $n$n entier non nul, $b^{\frac{1}{n}}$b^(1/n) est l'unique réel positif dont la puissance $n$n-ième vaut $b$b : ${\left(b^{\frac{1}{n}}\right)}^n=b$(b^(1/n))ⁿ = b.

Méthode — Taux moyen équivalent à $n$n évolutions. Si $n$n évolutions successives ont un coefficient multiplicateur global $CM$CM, le coefficient moyen est $C{M}^{\frac{1}{n}}$CM^(1/n), et le taux moyen est $$t_m=C{M}^{\frac{1}{n}}-1$$t_m = CM^(1/n) - 1

Exemple.

• Une production augmente de $20\%$20 % en $5$5 ans : $1,2^{\frac{1}{5}}\approx 1,0371$1,2^(1/5) ≈ 1,037 1, soit une hausse moyenne d'environ $3,71\%$3,71 % par an (et non $4\%$4 %).
• Un taux annuel de $6\%$6 % équivaut à un taux mensuel de $1,06^{\frac{1}{12}}-1\approx 0,487\%$1,06^(1/12) - 1 ≈ 0,487 %.

Algorithme : intercaler des points

Méthode — Moyenne arithmétique des abscisses, géométrique des ordonnées. Entre les points $(x_1;a^{x_1})$(x₁ ;a^(x₁)) et $(x_2;a^{x_2})$(x₂ ;a^(x₂)) de la courbe, le point d'abscisse $\frac{x_1+x_2}{2}$(x₁ + x₂)/2 a pour ordonnée $\sqrt{a^{x_1}\times a^{x_2}}$√(a^(x₁) × a^(x₂)), la moyenne géométrique des ordonnées. En répétant, on construit autant de points que l'on veut.

from math import sqrt

def intercaler(points):
    nouveaux = [points[0]]
    for k in range(len(points) - 1):
        (x1, y1), (x2, y2) = points[k], points[k + 1]
        nouveaux.append(((x1 + x2) / 2, sqrt(y1 * y2)))
        nouveaux.append((x2, y2))
    return nouveaux

print(intercaler([(0, 1), (1, 2)]))   # [(0, 1), (0.5, 1.414...), (1, 2)]

On retrouve $2^{0,5}=\sqrt{2}$2^(0,5) = sqrt2.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Calculer un taux moyen en divisant le taux global par $n$n : $20\%÷5=4\%$20 % ÷ 5 = 4 % est faux.
• Écrire $a^x\times a^y=a^{xy}$a^(x) × a^(y) = a^(xy) au lieu de $a^{x+y}$a^(x+y).
• Oublier que $k<0$k < 0 inverse le sens de variation de $k{a}^x$ka^(x).
• Croire que $a^x$a^(x) peut être négatif ou nul.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Calculs

Simplifier $A=3^{2,5}\times 3^{1,5}$A = 3^(2,5) × 3^(1,5) et $B=\frac{10^{0,7}}{10^{-0,3}}$B = 10^(0,7)/(10^(-0,3)).

Exercice 2 – Variations

Donner le sens de variation de $f(x)=5\times 1,02^x$f(x) = 5 × 1,02^(x) et de $g(x)=-2\times 0,6^x$g(x) = -2 × 0,6^(x).

Exercice 3 – Taux moyen

Un prix augmente de $10\%$10 %, baisse de $5\%$5 %, puis augmente de $8\%$8 %. Calculer le taux d'évolution moyen sur ces trois périodes.

Exercice 4 – Concentration

La concentration d'un médicament dans le sang est $C(t)=20\times 0,7^t$C(t) = 20 × 0,7^(t) (en mg/L, $t$t en heures). Calculer $C(1,5)$C(1,5) et dire comment évolue $C$C.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $A=3^4=81$A = 3⁴ = 81 ; $B=10^{0,7+0,3}=10^1=10$B = 10^(0,7 + 0,3) = 10¹ = 10.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $1,02>1$1,02 > 1 et $5>0$5 > 0 : $f$f est croissante. $0,6<1$0,6 < 1 et $-2<0$-2 < 0 : $g$g est croissante.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $CM=1,1\times 0,95\times 1,08=1,1286$CM = 1,1 × 0,95 × 1,08 = 1,128 6 ; $1,1286^{\frac{1}{3}}\approx 1,0412$1,128 6^(1/3) ≈ 1,041 2 : environ $+4,1\%$+4,1 % par période.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $C(1,5)=20\times 0,7^{1,5}\approx 11,7$C(1,5) = 20 × 0,7^(1,5) ≈ 11,7 mg/L. $0,7<1$0,7 < 1 et $20>0$20 > 0 : $C$C est décroissante (la concentration baisse de $30\%$30 % par heure).