Fonction logarithme décimal en Terminale STMG

Fonction logarithme décimal en Terminale STMG : cours complet

Le logarithme décimal répond à la question : « à quelle puissance faut-il élever $10$10 pour obtenir un nombre donné ? ». En Terminale STMG, il sert surtout à résoudre les équations où l'inconnue est en exposant, comme $1,03^x=2$1,03^(x) = 2 : temps de doublement d'un capital, seuil d'une suite géométrique, durée nécessaire pour atteindre un objectif.

Définition du logarithme décimal

Pour tout réel $b>0$b > 0, l'équation $10^x=b$10^(x) = b a une unique solution, notée $\log (b)$log(b) :

$$10^x=b⟺x=\log (b)(b>0)$$10^(x) = b ⇔ x = log(b) (b > 0)

Valeurs à connaître

Pour tout entier $n$n, $\log (10^n)=n$log(10ⁿ) = n ; pour tout $b>0$b > 0, $10^{\log (b)}=b$10^(log(b)) = b. Les autres valeurs se lisent à la calculatrice (touche log) : $\log (2)\approx 0,301$log(2) ≈ 0,301, $\log (3)\approx 0,477$log(3) ≈ 0,477.

Sens de variation et signe

La fonction $x\mapsto \log (x)$x ↦ log(x) est définie sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[ et strictement croissante : elle conserve l'ordre.

$$0<a<b⟺\log (a)<\log (b)$$0 < a < b ⇔ log(a) < log(b)

Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.

Propriétés algébriques

Pour tous réels $a>0$a > 0, $b>0$b > 0 et tout entier $n$n :

$$\log (ab)=\log a+\log b\log \left(a^n\right)=n\log a\log \left(\frac{a}{b}\right)=\log a-\log b$$log(ab) = log a + log b log(aⁿ) = nlog a log(a/b) = log a - log b

En particulier, $\log \left(\frac{1}{b}\right)=-\log b$log(1/b) = -log b et $\log (10a)=1+\log a$log(10a) = 1 + log a : multiplier un nombre par $10$10 ajoute $1$1 à son logarithme. La propriété des puissances reste vraie pour un exposant réel : $\log \left(a^x\right)=x\log a$log(a^(x)) = xlog a.

Exemple : $\log (6)=\log (2)+\log (3)\approx 0,301+0,477=0,778$log(6) = log(2) + log(3) ≈ 0,301 + 0,477 = 0,778.

Résoudre une équation $a^x=b$a^(x) = b

L'inconnue est en exposant : on prend le logarithme des deux membres.

$$a^x=b⟺x\log (a)=\log (b)⟺x=\frac{\log (b)}{\log (a)}(a>0,a\ne 1,b>0)$$a^(x) = b ⇔ xlog(a) = log(b) ⇔ x = log(b)/log(a) (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Exemple : un capital placé à $3\%$3 % double quand $1,03^x=2$1,03^(x) = 2, soit $x=\frac{\log 2}{\log 1,03}\approx 23,45$x = (log 2)/(log 1,03) ≈ 23,45 ans.

Équation $x^a=b$x^(a) = b

L'inconnue est cette fois la base : on élève à la puissance $\frac{1}{a}$1/a. Pour $x>0$x > 0, $x^a=b⟺x=b^{\frac{1}{a}}$x^(a) = b ⇔ x = b^(1/a). Exemple : $x^8=2⟺x=2^{\frac{1}{8}}\approx 1,0905$x⁸ = 2 ⇔ x = 2^(1/8) ≈ 1,0905, le coefficient annuel qui double un capital en $8$8 ans.

Résoudre une inéquation $a^n<b$aⁿ < b

On prend le logarithme (qui conserve l'ordre), puis on divise par $\log (a)$log(a) :

• si $a>1$a > 1, $\log (a)>0$log(a) > 0 : le sens est conservé ;
• si $0<a<1$0 < a < 1, $\log (a)<0$log(a) < 0 : le sens change.

Exemple : une voiture perd $12\%$12 % par an ; elle vaut moins du tiers de son prix quand $0,88^n<\frac{1}{3}$0,88ⁿ < 1/3. Comme $\log (0,88)<0$log(0,88) < 0 :

$$n>\frac{\log \left(\frac{1}{3}\right)}{\log (0,88)}\approx 8,59$$n > log(1/3)/log(0,88) ≈ 8,59

Le plus petit entier est $n=9$n = 9. On vérifie toujours l'entier trouvé et le précédent : $0,88^8\approx 0,36$0,88⁸ ≈ 0,36 et $0,88^9\approx 0,32$0,88⁹ ≈ 0,32.

Applications

Temps de doublement et seuils

Pour une évolution de $t\%$t % par période, la grandeur double en $\frac{\log 2}{\log \left(1+\frac{t}{100}\right)}$(log 2)/(log(1 + t/100)) périodes, quelle que soit la valeur de départ. Le logarithme remplace l'algorithme de seuil : le rang à partir duquel $u_0\times q^n$u₀ × qⁿ dépasse un seuil s'obtient en un calcul.

Ordre de grandeur et nombre de chiffres

Si $n⩽\log (b)<n+1$n ≤ log(b) < n + 1, alors $10^n⩽b<10^{n+1}$10ⁿ ≤ b < 10ⁿ⁺¹ : un entier $b⩾1$b ≥ 1 s'écrit avec $n+1$n + 1 chiffres. Exemple : $\log \left(3^{50}\right)=50\log 3\approx 23,86$log(3⁵⁰) = 50log 3 ≈ 23,86, donc $3^{50}$3⁵⁰ a $24$24 chiffres.

Échelles logarithmiques

Quand une grandeur s'étend sur plusieurs puissances de $10$10, on la mesure par son logarithme :

• niveau sonore : $L=10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)$L = 10log(I/I₀) décibels ; doubler l'intensité ajoute environ $3$3 dB ;
• magnitude d'un séisme : un degré de plus, c'est une amplitude multipliée par $10$10 ;
• pH d'une solution : $\text{pH}=-\log (c)$pH = -log(c).

Repérer une évolution exponentielle

Si $u_n=k\times a^n$uₙ = k × aⁿ, alors $\log (u_n)=\log (k)+n\log (a)$log(uₙ) = log(k) + nlog(a) : les points $(n;\log (u_n))$(n ;log(uₙ)) sont alignés. C'est le principe du changement de variable $y=\log (N)$y = log(N) en statistiques à deux variables : un ajustement $y=mx+p$y = mx + p donne $N=10^p\times {\left(10^m\right)}^x$N = 10^(p) × (10^(m))^(x).

Erreurs fréquentes à éviter

• Garder le sens de l'inégalité en divisant par $\log (a)$log(a) alors que $a<1$a < 1.
• Écrire $\log (a+b)=\log a+\log b$log(a + b) = log a + log b : la propriété porte sur le produit.
• Calculer le logarithme d'un nombre négatif ou nul : il n'existe pas.
• Diviser un taux au lieu de prendre un logarithme : $\frac{100}{3}$100/3 n'est pas le temps de doublement à $3\%$3 %.
• Oublier de vérifier l'entier trouvé pour une inéquation, surtout quand le quotient est très proche d'un entier.

FAQ — Logarithme décimal en Terminale STMG

À quoi sert le logarithme décimal ?

À trouver un exposant inconnu. Dès qu'une question demande « au bout de combien de temps ? » pour une grandeur qui évolue d'un pourcentage constant, on aboutit à une équation $a^x=b$a^(x) = b, que le logarithme résout en un calcul.

Quelle est la différence entre log et ln ?

$\log$log est le logarithme décimal (de base $10$10) : $\log (10)=1$log(10) = 1. $\ln$ln est le logarithme népérien, de base $\mathrm{e}$e, étudié en spécialité ; il n'est pas au programme de l'enseignement commun de Terminale STMG.

Pourquoi le sens change-t-il parfois dans une inéquation ?

Parce qu'on divise par $\log (a)$log(a), qui est négatif quand $0<a<1$0 < a < 1 (une baisse). Diviser une inégalité par un nombre négatif en change le sens, exactement comme $-2x<6⟺x>-3$-2x < 6 ⇔ x > -3.

Comment calculer un temps de doublement ?

On résout ${\left(1+\frac{t}{100}\right)}^x=2$(1 + t/100)^(x) = 2, soit $x=\frac{\log 2}{\log \left(1+\frac{t}{100}\right)}$x = (log 2)/(log(1 + t/100)). La « règle de $72$72 » en donne une estimation de tête : à $6\%$6 % par an, environ $\frac{72}{6}=12$72/6 = 12 ans.

Le logarithme est-il à la calculatrice au bac ?

Oui : la touche log donne les valeurs approchées. On attend en revanche de connaître $\log (10^n)=n$log(10ⁿ) = n, le sens de variation et les propriétés, pour résoudre une équation et justifier un changement de sens.