Fonctions exponentielles en Terminale STMG

Fonctions exponentielles en Terminale STMG : cours complet

Les fonctions exponentielles $x\mapsto a^x$x ↦ a^(x) modélisent toutes les grandeurs qui évoluent d'un pourcentage constant : capital placé, population, prix, valeur d'un bien qui se déprécie. Elles prolongent les suites géométriques à tous les instants, entiers ou non.

De la suite géométrique à la fonction $x\mapsto a^x$x ↦ a^(x)

Pour $a>0$a > 0, la suite géométrique $(a^n)$(aⁿ) n'est définie que pour les entiers. La fonction $x\mapsto a^x$x ↦ a^(x) la prolonge à tous les réels : on peut calculer $1,05^{2,5}$1,05^(2,5) ou $1,05^{-3}$1,05⁻³ à la calculatrice.

Valeurs remarquables

$$a^0=1a^1=a{a}^{-x}=\frac{1}{a^x}{a}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$$a⁰ = 1 a¹ = a a^(-x) = 1/a^(x) a^(1/2) = √(a)

Exemple : un capital de $1000$1000 € placé à $5\%$5 % par an vaut, après deux ans et demi, $1000\times 1,05^{2,5}\approx 1129,73$1000 × 1,05^(2,5) ≈ 1129,73 €.

Sens de variation et allure

Toutes les courbes passent par le point $(0;1)$(0 ; 1) et restent au-dessus de l'axe des abscisses : $a^x>0$a^(x) > 0 pour tout $x$x.

Fonctions $x\mapsto k\times a^x$x ↦ k × a^(x)

Un coefficient $k$k négatif inverse le sens de variation. La fonction $k\times a^x$k × a^(x) a toujours le signe de $k$k, et $f(0)=k$f(0) = k.

Propriétés algébriques

Pour $a>0$a > 0, $b>0$b > 0, $x$x et $y$y réels et $n$n entier :

$$a^{x+y}=a^x\times a^y{a}^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}{a}^{nx}={\left(a^x\right)}^n{a}^x\times b^x=(ab{)}^x$$a^(x+y) = a^(x) × a^(y) a^(x-y) = a^(x)/a^(y) a^(nx) = (a^(x))ⁿ a^(x) × b^(x) = (ab)^(x)

Lecture économique : $1,03^2\times 1,03^{2,5}=1,03^{4,5}$1,03² × 1,03^(2,5) = 1,03^(4,5), deux ans puis deux ans et demi de hausse à $3\%$3 % font quatre ans et demi de hausse.

⚠️ $a^x+a^y$a^(x) + a^(y) n'est pas égal à $a^{x+y}$a^(x+y), et $2^3\times 2^4=2^7$2³ × 2⁴ = 2⁷, pas $4^7$4⁷.

Modéliser une évolution

Une grandeur qui vaut $k$k à l'instant $0$0 et évolue de $t\%$t % par période vaut, après $x$x périodes :

$$f(x)=k\times {\left(1+\frac{t}{100}\right)}^x$$f(x) = k × (1 + t/100)^(x)

• $x$x peut être décimal : six mois font $0,5$0,5 an, trois mois $0,25$0,25 an ;
• $x$x peut être négatif : $x=-2$x = -2 correspond à deux périodes dans le passé ;
• pour une demi-vie $T$T (quantité divisée par $2$2 tous les $T$T ans) : $f(x)=k\times 0,5^{\frac{x}{T}}$f(x) = k × 0,5^(x/T).

Taux d'évolution moyen

Si une grandeur a été multipliée par $CM$CM en $n$n périodes, le taux moyen $t_m$t_m est le taux constant qui donne la même évolution :

$$(1+t_m{)}^n=CM⟺1+t_m=C{M}^{\frac{1}{n}}$$(1 + t_m)ⁿ = CM ⇔ 1 + t_m = CM^(1/n)

Exemples

• Une hausse de $21\%$21 % en deux ans : $1,21^{\frac{1}{2}}=1,1$1,21^(1/2) = 1,1, soit $10\%$10 % par an (et non $10,5\%$10,5 %).
• Une hausse de $50\%$50 % en quatre ans : $1,5^{\frac{1}{4}}\approx 1,1067$1,5^(1/4) ≈ 1,1067, soit environ $10,67\%$10,67 % par an.
• Taux mensuel équivalent à $12\%$12 % par an : $1,12^{\frac{1}{12}}\approx 1,0095$1,12^(1/12) ≈ 1,0095, soit environ $0,95\%$0,95 % par mois.

Le coefficient moyen de deux évolutions est la moyenne géométrique de leurs coefficients : $\sqrt{1,2\times 0,8}\approx 0,98$√(1,2 × 0,8) ≈ 0,98 pour $+20\%$+20 % puis $-20\%$-20 %.

Erreurs fréquentes à éviter

• Diviser un taux global par le nombre de périodes : les évolutions se composent.
• Oublier le signe de $k$k dans le sens de variation de $k\times a^x$k × a^(x).
• Mélanger les unités : avec un coefficient annuel, l'exposant est en années.
• Additionner des puissances : $a^x\times a^y=a^{x+y}$a^(x) × a^(y) = a^(x+y), mais $a^x+a^y$a^(x) + a^(y) ne se simplifie pas.
• Prolonger un modèle trop loin : une croissance de $40\%$40 % par mois ne dure jamais.

FAQ — Fonctions exponentielles en Terminale STMG

Quelle différence avec une suite géométrique ?

La suite $(a^n)$(aⁿ) n'est définie que pour des entiers ; la fonction $x\mapsto a^x$x ↦ a^(x) l'est pour tous les réels, ce qui permet de calculer une valeur au bout de six mois ou de deux ans et demi.

Comment savoir si la fonction est croissante ?

On compare la base à $1$1 : croissante si $a>1$a > 1, décroissante si $0<a<1$0 < a < 1. Avec un coefficient $k$k négatif devant, le sens s'inverse.

Comment calculer un taux moyen ?

On calcule le coefficient global $CM$CM sur $n$n périodes, puis $C{M}^{\frac{1}{n}}$CM^(1/n) à la calculatrice ; le taux moyen est ce nombre moins $1$1.

Faut-il connaître la fonction ${\mathrm{e}}^x$e ^(x) ?

Non : en Terminale STMG, on étudie les fonctions $x\mapsto a^x$x ↦ a^(x) ; la fonction exponentielle de base $\mathrm{e}$e n'est pas au programme de l'enseignement commun.