Fonction inverse Terminale STMG — cours et fiche PDF

Q: Pourquoi la fonction inverse n'est-elle pas définie en 0 ?

Parce qu'aucun nombre y ne vérifie 0 × y = 1 : on ne peut pas diviser par 0. La courbe ne coupe d'ailleurs aucun des deux axes.

Q: Comment trouver le coût moyen minimal ?

On écrit C_M(q) = C(q)/q, on le dérive, on réduit la dérivée au même dénominateur q², puis on cherche où elle change de signe. Le minimum se lit dans le tableau de variations.

Partager une somme entre plusieurs personnes, répartir des frais fixes sur une production, calculer la durée d'un trajet selon la vitesse : dès qu'une quantité divise un montant, la fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ x ↦ 1/x apparaît. En Terminale STMG, elle sert surtout à étudier un **coût moyen** et à trouver la production qui le rend minimal.

Au programme : la fonction inverse, définie pour $x \neq = 0$ x ≠ 0, et son comportement aux bornes de son ensemble de définition (inverses de très grands et de très petits nombres) ; sa dérivée $- \frac{1}{x ^{2}}$ -1/x² et son sens de variation (décroissante sur chacun des deux intervalles) ; sa courbe, l'hyperbole, et ses asymptotes, vues de façon intuitive ; l'étude de fonctions qui combinent la fonction inverse et un polynôme de degré au plus $3$ 3, comme $x + \frac{9}{x}$ x + 9/x ou un coût moyen $a q + b + \frac{c}{q}$ aq + b + c/q.

Pièges classiques : dire que la fonction inverse est décroissante « sur $R^{*}$ ℝ^(*) », oublier un signe en dérivant $- \frac{k}{x}$ -k/x, et étudier le signe d'une dérivée sans l'avoir réduite au même dénominateur $x^{2}$ x².

Fonction inverse en Terminale STMG : cours complet

La fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ x ↦ 1/x modélise toutes les situations où un montant fixe est réparti : part de chacun dans un partage, frais fixes par objet produit, durée d'un trajet selon la vitesse. En Terminale STMG, on étudie son comportement, sa dérivée, puis des fonctions plus riches comme le coût moyen d'une production.

Définition et valeurs

La fonction inverse est définie pour tout réel $x \neq = 0$ x ≠ 0 par $f (x) = \frac{1}{x}$ f(x) = 1/x. On ne divise jamais par $0$ 0 : son ensemble de définition est $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ ]-∞ ;0[ ∪ ]0 ;+∞[.

$x$ x	$- 2$ -2	$- 1$ -1	$- 0, 5$ -0,5	$0, 5$ 0,5	$1$ 1	$2$ 2	$4$ 4
$\frac{1}{x}$ 1/x	$- 0, 5$ -0,5	$- 1$ -1	$- 2$ -2	$2$ 2	$1$ 1	$0, 5$ 0,5	$0, 25$ 0,25

$\frac{1}{x}$ 1/x a le signe de $x$ x, et n'est jamais nul. Pour tout $x \neq = 0$ x ≠ 0, $f (- x) = - f (x)$ f(-x) = -f(x) : deux nombres opposés ont des inverses opposés.

Comportement aux bornes et asymptotes

Quand $x$ x devient très grand, $\frac{1}{x}$ 1/x devient très proche de $0$ 0 : $\frac{1}{1 0 ^{6}} = 1 0^{- 6}$ 1/10⁶ = 10⁻⁶. La courbe se rapproche de l'axe des abscisses, son asymptote horizontale.
Quand $x$ x se rapproche de $0$ 0 en restant positif, $\frac{1}{x}$ 1/x devient aussi grand que l'on veut : $\frac{1}{0 , 001} = 1000$ 1/0,001 = 1000. La courbe longe l'axe des ordonnées, son asymptote verticale.

Le programme n'attend aucune définition de l'asymptote : il suffit de décrire ce que fait la courbe en s'appuyant sur ces ordres de grandeur.

La courbe : une hyperbole

La courbe de la fonction inverse est une hyperbole, formée de deux branches qui ne se touchent pas. Elle est symétrique par rapport à l'origine. Un point $(x; y)$ (x ;y) est sur l'hyperbole si et seulement si $x \times y = 1$ x × y = 1.

Dérivée et sens de variation

En calculant le taux de variation entre $a$ a et $a + h$ a + h, on obtient $\frac{- 1}{a ( a + h )}$ (-1)/(a(a+h)), qui se rapproche de $- \frac{1}{a ^{2}}$ -1/a² quand $h$ h tend vers $0$ 0. Ainsi :

$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}} (\frac{k}{x})^{'} = - \frac{k}{x ^{2}} (1/x)' = -1/x² (k/x)' = -k/x²$

Comme $- \frac{1}{x ^{2}} < 0$ -1/x² < 0, la fonction inverse est strictement décroissante sur $] - \infty; 0 [$ ]-∞ ;0[ et strictement décroissante sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[. Elle n'est pas décroissante sur la réunion des deux : $- 1 < 1$ -1 < 1 mais $f (- 1) = - 1 < f (1) = 1$ f(-1) = -1 < f(1) = 1.

Tangente au point d'abscisse $a$ a : $y = - \frac{1}{a ^{2}} (x - a) + \frac{1}{a}$ y = -1/a²(x - a) + 1/a. Par exemple, en $a = 1$ a = 1 : $y = - x + 2$ y = -x + 2.

Combinaisons avec des polynômes

On étudie des fonctions comme $f (x) = x + \frac{9}{x}$ f(x) = x + 9/x sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[ en suivant toujours le même plan.

Dériver terme à terme : $f^{'} (x) = 1 - \frac{9}{x ^{2}}$ f'(x) = 1 - 9/x².
Réduire au même dénominateur : $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2}} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ^{2}}$ f'(x) = (x² - 9)/x² = ((x-3)(x+3))/x².
Étudier le signe : $x^{2} > 0$ x² > 0 et $x + 3 > 0$ x + 3 > 0, donc $f^{'} (x)$ f'(x) a le signe de $x - 3$ x - 3.
Dresser le tableau de variations : $f$ f décroît sur $] 0; 3]$ ]0 ;3] et croît sur $[3; + \infty [$ [3 ;+∞[.
Conclure : le minimum vaut $f (3) = 6$ f(3) = 6.

Avec un terme de degré $3$ 3, par exemple $x^{2} + \frac{16}{x}$ x² + 16/x, le numérateur $2 x^{3} - 16$ 2x³ - 16 s'étudie avec la fonction cube : $x^{3} > 8 ⟺ x > 2$ x³ > 8 ⇔ x > 2.

Application : le coût moyen

Si produire $q$ q unités coûte $C (q)$ C(q), le coût moyen est le coût par unité :

$C_{M} (q) = \frac{C ( q )}{q} C_M(q) = C(q)/q$

Pour $C (q) = q^{2} + 20 q + 900$ C(q) = q² + 20q + 900, on obtient $C_{M} (q) = q + 20 + \frac{900}{q}$ C_M(q) = q + 20 + 900/q : les coûts fixes ( $900$ 900 €) sont répartis sur les $q$ q unités. Sa dérivée $C_{M}^{'} (q) = \frac{( q - 30 ) ( q + 30 )}{q ^{2}}$ C_M'(q) = ((q-30)(q+30))/q² montre que le coût moyen est minimal pour $q = 30$ q = 30, où il vaut $80$ 80 € par unité.

Au minimum du coût moyen, le coût marginal $C^{'} (q)$ C'(q) est égal au coût moyen. Attention : minimiser le coût moyen n'est pas maximiser le bénéfice, qui dépend aussi du prix de vente.

Erreurs fréquentes à éviter

Écrire « décroissante sur $R^{*}$ ℝ^(*) » : la décroissance vaut sur chaque intervalle séparément.
Oublier un signe : $(- \frac{5}{x})^{'} = + \frac{5}{x ^{2}}$ (-5/x)' = +5/x².
Étudier le signe de $1 - \frac{9}{x ^{2}}$ 1 - 9/x² sans réduire au même dénominateur.
Croire qu'une hausse de $20 %$ 20 % d'une grandeur fait baisser de $20 %$ 20 % une grandeur inversement proportionnelle : diviser par $1, 2$ 1,2 fait baisser d'environ $16, 7 %$ 16,7 %.
Arrondir un optimum non entier sans comparer les deux entiers voisins.

FAQ — Fonction inverse en Terminale STMG

Pourquoi la fonction inverse n'est-elle pas définie en 0 ?

Parce qu'aucun nombre $y$ y ne vérifie $0 \times y = 1$ 0 × y = 1 : on ne peut pas diviser par $0$ 0. La courbe ne coupe d'ailleurs aucun des deux axes.

Quelle est la dérivée de 1/x ?

$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ (1/x)' = -1/x², toujours négative. Plus généralement, la dérivée de $\frac{k}{x}$ k/x est $- \frac{k}{x ^{2}}$ -k/x².

Qu'est-ce qu'une asymptote ?

C'est une droite dont la courbe se rapproche autant que l'on veut sans l'atteindre. Pour la fonction inverse, ce sont les deux axes. En Terminale STMG, on la décrit simplement, sans définition formelle.

Comment trouver le coût moyen minimal ?

On écrit $C_{M} (q) = \frac{C ( q )}{q}$ C_M(q) = C(q)/q, on le dérive, on réduit la dérivée au même dénominateur $q^{2}$ q², puis on cherche où elle change de signe. Le minimum se lit dans le tableau de variations.

La convexité est-elle au programme de Terminale STMG ?

Non. Le programme de mathématiques de la voie technologique ne comporte ni convexité ni point d'inflexion : en analyse, la Terminale STMG étudie les suites, les fonctions exponentielles, le logarithme décimal et la fonction inverse.

Fonction inverse en Terminale STMG

Cours et fiche

S'entraîner

Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Valeurs, courbe et comportement aux bornes

Plaquette 2 – Dérivée et sens de variation

Plaquette 3 – Combinaisons avec des polynômes

Plaquette 4 – Coût moyen et prix unitaire

Plaquette 5 – Problèmes de synthèse

Leçon complète