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Exercices corrigés : Information chiffrée et indices — Terminale STMG

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Information chiffrée et indices

Niveau: Terminale STMG
Chapitre: Information chiffrée et indices
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Application directe à type bac

Mis à jour le 9 septembre 2026

Tout ce chapitre repose sur un seul réflexe : ne jamais raisonner sur les taux, toujours sur les coefficients multiplicateurs. Les taux ne s'additionnent pas — une hausse de $30 %$ 30 % suivie d'une baisse de $30 %$ 30 % ne ramène pas au point de départ, elle fait perdre $9 %$ 9 % — alors que les coefficients, eux, se multiplient toujours. À partir de là, la Terminale ajoute trois outils que le bac STMG réclame chaque année : l'évolution réciproque, qui répond à « de combien faut-il remonter pour revenir au prix initial ? », le taux moyen, qui résume plusieurs années d'évolution en un seul pourcentage annuel, et les indices base $100$ 100, qui permettent de comparer l'évolution d'un chiffre d'affaires de deux millions d'euros et celle d'un autre de trois cent mille. Ces 20 exercices vont de la lecture d'un coefficient au sujet complet de bac avec taux annuel moyen et prévision.

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Exercice 1 — Du taux au coefficient multiplicateur

Application directe

Le coefficient multiplicateur est l'outil de tout le chapitre.

On passe du taux $t$ t (en $%$ %) au coefficient $CM$ CM par $CM = 1 + \frac{t}{100}$ CM = 1 + t/100.

1.Donne le coefficient multiplicateur associé à : une hausse de $7 %$ 7 % ; une baisse de $12 %$ 12 % ; une hausse de $150 %$ 150 % ; une baisse de $3, 5 %$ 3,5 %.
2.Donne le taux d'évolution associé aux coefficients : $1, 045$ 1,045 ; $0, 92$ 0,92 ; $1, 3$ 1,3 ; $0, 996$ 0,996.

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Correction détaillée

1
Une HAUSSE de $t %$ t % donne $CM = 1 + \frac{t}{100}$ CM = 1 + t/100, une BAISSE de $t %$ t % donne $CM = 1 - \frac{t}{100}$ CM = 1 - t/100.
2
Hausse de $7 %$ 7 % : $CM = 1 + 0, 07 = 1, 07$ CM = 1 + 0,07 = 1,07.
3
Baisse de $12 %$ 12 % : $CM = 1 - 0, 12 = 0, 88$ CM = 1 - 0,12 = 0,88.
4
Hausse de $150 %$ 150 % : $CM = 1 + 1, 5 = 2, 5$ CM = 1 + 1,5 = 2,5.
La valeur est multipliée par $2, 5$ 2,5, elle n'est pas multipliée par $1, 5$ 1,5.
5
Baisse de $3, 5 %$ 3,5 % : $CM = 1 - 0, 035 = 0, 965$ CM = 1 - 0,035 = 0,965.
6
Dans l'autre sens, on isole $t$ t : $t = (CM - 1) \times 100$ t = ( CM - 1) × 100.
7
$CM = 1, 045$ CM = 1,045 : $t = 0, 045 \times 100 = + 4, 5 %$ t = 0,045 × 100 = +4,5 %.
8
$CM = 0, 92$ CM = 0,92 : $t = - 0, 08 \times 100 = - 8 %$ t = -0,08 × 100 = -8 %.
9
$CM = 1, 3$ CM = 1,3 : $t = + 30 %$ t = +30 %.
10
$CM = 0, 996$ CM = 0,996 : $t = - 0, 004 \times 100 = - 0, 4 %$ t = -0,004 × 100 = -0,4 %.
11
Contrôle immédiat toujours valable : un coefficient supérieur à $1$ 1 est une hausse, un coefficient compris entre $0$ 0 et $1$ 1 est une baisse.
Un coefficient négatif n'existe pas.

Réponse :

1, 07

1,07 ·

0, 88

0,88 ·

2, 5

2,5 ·

0, 965

0,965 — et

+ 4, 5 %

+4,5 % ·

- 8 %

-8 % ·

+ 30 %

+30 % ·

- 0, 4 %

-0,4 %.

Rappel de cours : $CM = 1 + \frac{t}{100}$ CM = 1 + t/100 et $t = (CM - 1) \times 100$ t = ( CM - 1)× 100. Tout le chapitre se joue sur ces deux formules.

Erreur fréquente : Traduire « hausse de $150 %$ 150 % » par $CM = 1, 5$ CM = 1,5. Le $1$ 1 de la formule représente la valeur de départ, qu'on garde : $CM = 2, 5$ CM = 2,5.

Exercice 2 — Calculer un taux d'évolution

Application directe

Le chiffre d'affaires d'une entreprise était de $84000$ 84 000 € en 2023 et de $92400$ 92 400 € en 2024.

L'année suivante, il retombe à $88704$ 88 704 €.

1.Calcule le taux d'évolution du chiffre d'affaires entre 2023 et 2024.
2.Calcule le taux d'évolution entre 2024 et 2025.

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Correction détaillée

1
Le taux d'évolution se calcule toujours par $t = \frac{V _{arriv \overset{e}{ˊ} e} - V _{d \overset{e}{ˊ} part}}{V _{d \overset{e}{ˊ} part}}$ t = (V_arrivée - V_départ)/V_départ, puis on convertit en pourcentage.
2
Entre 2023 et 2024 : $t = \frac{92 400 - 84 000}{84 000} = \frac{8 400}{84 000}$ t = (92 400 - 84 000)/(84 000) = (8 400)/(84 000).
3
$\frac{8 400}{84 000} = 0, 1$ (8 400)/(84 000) = 0,1, soit une hausse de $10 %$ 10 %.
4
Autre route, par le coefficient : $\frac{92 400}{84 000} = 1, 1$ (92 400)/(84 000) = 1,1, donc $CM = 1, 1$ CM = 1,1 et $t = + 10 %$ t = +10 %. ✔
5
Entre 2024 et 2025 : $t = \frac{88 704 - 92 400}{92 400} = \frac{- 3 696}{92 400}$ t = (88 704 - 92 400)/(92 400) = (-3 696)/(92 400).
6
$\frac{- 3 696}{92 400} = - 0, 04$ (-3 696)/(92 400) = -0,04, soit une baisse de $4 %$ 4 %.
7
Le dénominateur a changé entre les deux calculs : c'est toujours la valeur de DÉPART de l'évolution étudiée, donc $84000$ 84 000 puis $92400$ 92 400.
8
Interprétation de gestion : après une belle année 2024, l'entreprise perd $4 %$ 4 %.
Mais elle reste au-dessus de 2023, puisque $88704 > 84000$ 88 704 > 84 000.
9
On peut le vérifier globalement : $1, 1 \times 0, 96 = 1, 056$ 1,1 × 0,96 = 1,056, soit $+ 5, 6 %$ +5,6 % sur les deux ans.
Et $84000 \times 1, 056 = 88704$ 84 000 × 1,056 = 88 704 ✔.

Réponse :

+ 10 %

+10 % entre 2023 et 2024 ·

- 4 %

-4 % entre 2024 et 2025.

Rappel de cours : $t = \frac{V _{a} - V _{d}}{V _{d}}$ t = (Vₐ - V_d)/V_d. On divise TOUJOURS par la valeur de départ.

Erreur fréquente : Diviser par la valeur d'arrivée. On obtiendrait $\frac{8 400}{92 400} \approx 9, 09 %$ (8 400)/(92 400) ≈ 9,09 %, qui ne veut rien dire ici.

Exercice 3 — Appliquer une hausse puis une baisse

Application directe

Un article est vendu $240$ 240 €.

Le commerçant l'augmente de $15 %$ 15 % en septembre, puis le baisse de $15 %$ 15 % en janvier.

1.Calcule le prix après la hausse, puis le prix après la baisse.
2.Le prix final est-il égal au prix initial ? Explique.

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Correction détaillée

1
Hausse de $15 %$ 15 % : on multiplie par $1, 15$ 1,15.
2
Prix en septembre : $240 \times 1, 15 = 276$ 240 × 1,15 = 276 €.
3
Baisse de $15 %$ 15 % : on multiplie par $0, 85$ 0,85.
4
Prix en janvier : $276 \times 0, 85 = 234, 60$ 276 × 0,85 = 234,60 €.
5
Le prix final n'est PAS le prix initial : $234, 60 \neq = 240$ 234,60 ≠ 240.
L'article a perdu $5, 40$ 5,40 €.
6
Explication par les coefficients : le coefficient global vaut $1, 15 \times 0, 85 = 0, 9775$ 1,15 × 0,85 = 0,9775, donc une baisse globale de $2, 25 %$ 2,25 %.
7
Vérification : $240 \times 0, 9775 = 234, 60$ 240 × 0,9775 = 234,60 € ✔.
8
Pourquoi cette perte ?
Les deux $15 %$ 15 % ne portent pas sur la même somme : la hausse porte sur $240$ 240 € (soit $36$ 36 €), la baisse porte sur $276$ 276 € (soit $41, 40$ 41,40 €).
La baisse est donc plus grosse en euros.
9
Règle générale à retenir : une hausse de $t %$ t % suivie d'une baisse de $t %$ t % fait TOUJOURS perdre, quel que soit $t$ t, puisque $(1 + x) (1 - x) = 1 - x^{2} < 1$ (1+x)(1-x) = 1 - x² < 1.

Réponse :

276

276 € après la hausse ·

234, 60

234,60 € après la baisse · non, le prix final est inférieur de

5, 40

5,40 € (baisse globale de

2, 25 %

2,25 %).

Rappel de cours : Deux évolutions successives : on MULTIPLIE les coefficients, on n'additionne jamais les taux.

Erreur fréquente : Croire que $+ 15 %$ +15 % puis $- 15 %$ -15 % s'annulent. Le résultat est toujours une perte, ici de $2, 25 %$ 2,25 %.

Exercice 4 — Évolutions successives : le taux global

Application directe

Pour chaque suite d'évolutions, détermine le coefficient multiplicateur global et le taux d'évolution global, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 % près.

1.Une hausse de $20 %$ 20 % suivie d'une hausse de $5 %$ 5 %.
2.Une baisse de $10 %$ 10 % suivie d'une baisse de $20 %$ 20 %.
3.Une hausse de $30 %$ 30 % suivie d'une baisse de $30 %$ 30 %.

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Correction détaillée

1
Méthode unique : on traduit chaque évolution en coefficient, on multiplie, on retraduit en taux.
2
a) $CM = 1, 20 \times 1, 05 = 1, 26$ CM = 1,20 × 1,05 = 1,26, donc une hausse globale de $26 %$ 26 %.
3
Ce n'est pas $20 + 5 = 25 %$ 20 + 5 = 25 %.
Le $1 %$ 1 % d'écart vient des $5 %$ 5 % qui s'appliquent aussi aux $20 %$ 20 % déjà gagnés.
4
b) $CM = 0, 90 \times 0, 80 = 0, 72$ CM = 0,90 × 0,80 = 0,72, donc une baisse globale de $28 %$ 28 %.
5
Ce n'est pas $- 30 %$ -30 % : la seconde baisse porte sur un montant déjà réduit, elle « pèse » donc moins.
6
c) $CM = 1, 30 \times 0, 70 = 0, 91$ CM = 1,30 × 0,70 = 0,91, donc une baisse globale de $9 %$ 9 %.
7
On retrouve la règle de l'exercice précédent : $+ t$ +t puis $- t$ -t fait perdre, ici $9 %$ 9 %.
8
Remarque utile : l'ordre des évolutions ne change rien, puisque la multiplication est commutative.
$0, 70 \times 1, 30 = 0, 91$ 0,70 × 1,30 = 0,91 aussi.
9
Contrôle de bon sens : deux hausses donnent un coefficient $> 1$ > 1, deux baisses un coefficient $< 1$ < 1.
Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur.

Réponse : a)

CM = 1, 26

CM = 1,26, soit

+ 26 %

+26 % · b)

CM = 0, 72

CM = 0,72, soit

- 28 %

-28 % · c)

CM = 0, 91

CM = 0,91, soit

- 9 %

-9 %.

Rappel de cours : $CM_{global} = CM_{1} \times CM_{2} \times \dots$ CM _global = CM ₁ × CM ₂ × … L'ordre n'a aucune importance.

Erreur fréquente : Additionner les taux. C'est l'erreur la plus sanctionnée du chapitre, et elle se voit immédiatement au c) : $+ 30$ +30 puis $- 30$ -30 donnerait $0 %$ 0 %, alors que la réponse est $- 9 %$ -9 %.

Exercice 5 — Indice base 100 : le calculer

Application directe

Le chiffre d'affaires d'une enseigne était de $250000$ 250 000 € en 2020, année choisie comme base $100$ 100.

Il vaut $287500$ 287 500 € en 2024 et $230000$ 230 000 € en 2022.

1.Calcule l'indice du chiffre d'affaires en 2024, puis en 2022.
2.Que signifie concrètement chacun de ces indices ?

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Correction détaillée

1
L'indice d'une année se calcule par $I = \frac{V}{V _{base}} \times 100$ I = V/V_base × 100, où $V_{base}$ V_base est la valeur de l'année de référence.
2
Ici l'année de base est 2020, donc $V_{base} = 250000$ V_base = 250 000 €.
3
Indice 2024 : $I_{2024} = \frac{287 500}{250 000} \times 100$ I₂₀₂₄ = (287 500)/(250 000) × 100.
4
$\frac{287 500}{250 000} = 1, 15$ (287 500)/(250 000) = 1,15, donc $I_{2024} = 115$ I₂₀₂₄ = 115.
5
Indice 2022 : $I_{2022} = \frac{230 000}{250 000} \times 100 = 0, 92 \times 100 = 92$ I₂₀₂₂ = (230 000)/(250 000) × 100 = 0,92 × 100 = 92.
6
Interprétation de $I_{2024} = 115$ I₂₀₂₄ = 115 : le chiffre d'affaires a augmenté de $15 %$ 15 % entre 2020 et 2024.
7
Interprétation de $I_{2022} = 92$ I₂₀₂₂ = 92 : il avait BAISSÉ de $8 %$ 8 % entre 2020 et 2022.
8
La lecture est immédiate parce que la base vaut $100$ 100 : l'indice moins $100$ 100 donne directement le pourcentage d'évolution DEPUIS L'ANNÉE DE BASE.
9
Attention, cette lecture directe ne vaut que par rapport à l'année de base.
Entre 2022 et 2024, l'évolution n'est pas de $115 - 92 = 23 %$ 115 - 92 = 23 % : ce sera l'objet d'un exercice suivant.

Réponse :

I_{2024} = 115

I₂₀₂₄ = 115 et

I_{2022} = 92

I₂₀₂₂ = 92 · le chiffre d'affaires a gagné

15 %

15 % depuis 2020 en 2024, et en avait perdu

8 %

8 % en 2022.

Rappel de cours : $I = \frac{V}{V _{base}} \times 100$ I = V/V_base × 100. L'indice est un coefficient multiplicateur exprimé pour $100$ 100.

Erreur fréquente : Diviser par la mauvaise valeur. L'année de base est toujours celle dont l'indice vaut $100$ 100, c'est elle qui va au dénominateur.

Exercice 6 — Évolution réciproque

À maîtriser

Après une hausse de $25 %$ 25 %, un abonnement professionnel coûte $150$ 150 € par mois.

1.Quel était son prix avant la hausse ?
2.De quel pourcentage faudrait-il baisser le nouveau prix pour revenir au prix initial ?

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1
Attention au piège classique : le $25 %$ 25 % porte sur le prix AVANT hausse, qui est justement l'inconnue.
On ne peut donc pas retirer $25 %$ 25 % de $150$ 150 €.
2
On note $p$ p le prix avant hausse.
La hausse s'écrit $p \times 1, 25 = 150$ p × 1,25 = 150.
3
Donc $p = \frac{150}{1 , 25} = 120$ p = 150/1,25 = 120 €.
4
Vérification : $120 \times 1, 25 = 150$ 120 × 1,25 = 150 ✔.
Le prix a bien augmenté de $30$ 30 €, soit $25 %$ 25 % de $120$ 120 €.
5
Comparons à l'erreur classique : $150 \times 0, 75 = 112, 50$ 150 × 0,75 = 112,50 €, ce qui est faux.
On enlèverait $25 %$ 25 % de $150$ 150, c'est-à-dire $37, 50$ 37,50 € au lieu de $30$ 30 €.
6
Pour la seconde question, on cherche l'évolution RÉCIPROQUE : celle qui ramène de $150$ 150 € à $120$ 120 €.
7
Son coefficient est l'inverse du premier : $CM^{'} = \frac{1}{1 , 25} = 0, 8$ CM ' = 1/1,25 = 0,8.
8
$CM^{'} = 0, 8$ CM ' = 0,8 correspond à $t = - 20 %$ t = -20 %.
9
Vérification directe : $150 \times 0, 8 = 120$ 150 × 0,8 = 120 € ✔.
10
À retenir : une hausse de $25 %$ 25 % s'annule par une baisse de $20 %$ 20 %, pas de $25 %$ 25 %.
Les deux taux réciproques ne sont jamais égaux.

Réponse :

120

120 € avant la hausse · il faudrait baisser de

20 %

20 % (coefficient

0, 8

0,8).

Rappel de cours : Évolution réciproque : $CM^{'} = \frac{1}{CM}$ CM ' = 1/CM. Retrouver la valeur de départ, c'est DIVISER par le coefficient.

Erreur fréquente : Appliquer le taux à la valeur d'arrivée. Un « $+ 25 %$ +25 % » se défait par un « $- 20 %$ -20 % », jamais par un « $- 25 %$ -25 % ».

Exercice 7 — Taux d'évolution moyen sur 4 ans

À maîtriser

Le chiffre d'affaires d'une société est passé de $50000$ 50 000 € en 2020 à $80000$ 80 000 € en 2024.

1.Calcule le taux d'évolution global sur la période.
2.Calcule le taux d'évolution annuel moyen, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 % près.

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Correction détaillée

1
Coefficient global : $CM = \frac{80 000}{50 000} = 1, 6$ CM = (80 000)/(50 000) = 1,6, soit une hausse globale de $60 %$ 60 %.
2
Le taux moyen est le taux annuel constant qui, appliqué quatre fois de suite, donnerait la même chose.
Attention : de 2020 à 2024, il y a $4$ 4 années d'évolution, pas $5$ 5.
3
On cherche donc $CM_{m}$ CM _m tel que $(CM_{m})^{4} = 1, 6$ ( CM _m)⁴ = 1,6.
4
D'où $CM_{m} = 1, 6^{\frac{1}{4}}$ CM _m = 1,6^(1/4), c'est-à-dire la racine quatrième de $1, 6$ 1,6.
5
À la calculatrice : $1, 6^{0, 25} \approx 1, 124683$ 1,6^(0,25) ≈ 1,124683.
6
Le taux annuel moyen vaut donc $t_{m} \approx + 12, 47 %$ t_m ≈ +12,47 %.
7
Vérification : $1, 12468 3^{2} \approx 1, 264912$ 1,124683² ≈ 1,264912 puis $1, 26491 2^{2} \approx 1, 600003 \approx 1, 6$ 1,264912² ≈ 1,600003 ≈ 1,6 ✔.
8
Vérification en euros : $50000 \times 1, 12468 3^{4} \approx 80000$ 50 000 × 1,124683⁴ ≈ 80 000 € ✔.
9
Erreur à écarter absolument : diviser le taux global par $4$ 4.
On trouverait $60 \div 4 = 15 %$ 60 ÷ 4 = 15 %, ce qui est faux — appliqué quatre fois, $1, 1 5^{4} \approx 1, 749$ 1,15⁴ ≈ 1,749, soit $87450$ 87 450 € au lieu de $80000$ 80 000 €.
10
Le taux moyen est toujours INFÉRIEUR au taux global divisé par le nombre d'années, à cause des intérêts composés.

Réponse :

+ 60 %

+60 % au total · taux annuel moyen

\approx + 12, 47 %

≈ +12,47 %.

Rappel de cours : $CM_{m} = (CM_{global})^{\frac{1}{n}}$ CM _m = ( CM _global)^(1/n), avec $n$ n le nombre d'ÉVOLUTIONS (soit le nombre d'intervalles entre les dates).

Erreur fréquente : Compter $5$ 5 années parce qu'il y a cinq dates de 2020 à 2024. Il y a $4$ 4 passages d'une année à la suivante, donc $n = 4$ n = 4.

Exercice 8 — Passer d'un indice à un taux

À maîtriser

Le prix d'une matière première est suivi par un indice de base $100$ 100 en 2019.

Il vaut $112$ 112 en 2021 et $128$ 128 en 2024.

1.Quel est le taux d'évolution du prix entre 2019 et 2024 ?
2.Quel est le taux d'évolution entre 2021 et 2024, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 % près ?

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Correction détaillée

1
Entre l'année de base et une autre année, la lecture est directe : l'indice vaut $128$ 128 contre $100$ 100, donc le prix a augmenté de $28 %$ 28 %.
2
On peut le retrouver par le calcul : $\frac{128 - 100}{100} = 0, 28$ (128 - 100)/100 = 0,28, soit $+ 28 %$ +28 % ✔.
3
Entre 2021 et 2024, en revanche, l'année de départ n'est PAS l'année de base : la lecture directe ne fonctionne plus.
4
On applique la formule habituelle du taux, aux indices : $t = \frac{128 - 112}{112}$ t = (128 - 112)/112.
5
$\frac{16}{112} \approx 0, 142857$ 16/112 ≈ 0,142857, soit environ $+ 14, 29 %$ +14,29 %.
6
Ce n'est surtout PAS $128 - 112 = 16 %$ 128 - 112 = 16 % : la différence de deux indices ne donne un pourcentage que si l'un des deux vaut $100$ 100.
7
Pourquoi cela marche sur les indices ?
Parce que les indices sont proportionnels aux prix : le rapport $\frac{128}{112}$ 128/112 est exactement le rapport des prix réels.
8
On peut aussi passer par le coefficient : $\frac{128}{112} \approx 1, 142857$ 128/112 ≈ 1,142857, donc $t \approx + 14, 29 %$ t ≈ +14,29 % ✔.
9
Contrôle de cohérence : $+ 12 %$ +12 % de 2019 à 2021 puis $+ 14, 29 %$ +14,29 % de 2021 à 2024 donnent $1, 12 \times 1, 142857 = 1, 28$ 1,12 × 1,142857 = 1,28, soit bien $+ 28 %$ +28 % sur toute la période ✔.

Réponse :

+ 28 %

+28 % entre 2019 et 2024 ·

\approx + 14, 29 %

≈ +14,29 % entre 2021 et 2024.

Rappel de cours : Un écart d'indices ne se lit comme un pourcentage QUE depuis l'année de base. Sinon on calcule $\frac{I _{a} - I _{d}}{I _{d}}$ (Iₐ - I_d)/I_d.

Erreur fréquente : Annoncer $+ 16 %$ +16 % entre 2021 et 2024 en soustrayant les indices. Le vrai taux est $+ 14, 29 %$ +14,29 %.

Exercice 9 — Comparer deux entreprises avec des indices

À maîtriser

En 2021, l'entreprise A réalise $1200000$ 1 200 000 € de chiffre d'affaires et l'entreprise B $350000$ 350 000 €.

En 2024, A réalise $1380000$ 1 380 000 € et B $416500$ 416 500 €.

1.Calcule pour chaque entreprise l'indice de 2024, base $100$ 100 en 2021.
2.Laquelle a le mieux progressé ? En euros, laquelle a gagné le plus ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Entreprise A : $I_{A} = \frac{1 380 000}{1 200 000} \times 100 = 1, 15 \times 100 = 115$ I_A = (1 380 000)/(1 200 000) × 100 = 1,15 × 100 = 115.
2
Entreprise B : $I_{B} = \frac{416 500}{350 000} \times 100 = 1, 19 \times 100 = 119$ I_B = (416 500)/(350 000) × 100 = 1,19 × 100 = 119.
3
Lecture immédiate : A a progressé de $15 %$ 15 %, B de $19 %$ 19 %.
C'est donc B qui a le mieux progressé.
4
C'est tout l'intérêt des indices : ils rendent comparables deux entreprises de tailles très différentes, en les ramenant toutes deux à $100$ 100 au départ.
5
En euros, le classement s'inverse.
A a gagné $1380000 - 1200000 = 180000$ 1 380 000 - 1 200 000 = 180 000 €.
6
B a gagné $416500 - 350000 = 66500$ 416 500 - 350 000 = 66 500 €.
7
A gagne donc près de trois fois plus d'euros que B, alors que B progresse plus vite en pourcentage.
8
Il n'y a aucune contradiction : $15 %$ 15 % d'une grosse somme dépasse $19 %$ 19 % d'une petite.
C'est exactement ce que l'indice ne dit pas.
9
Conclusion à savoir rédiger au bac : en rythme de croissance, B est plus performante ; en volume d'activité gagné, A domine largement.
Les deux réponses sont vraies, elles ne mesurent pas la même chose.

Réponse :

I_{A} = 115

I_A = 115 et

I_{B} = 119

I_B = 119 · B progresse plus vite (

+ 19 %

+19 % contre

+ 15 %

+15 %), mais A gagne bien plus en euros (

180000

180 000 € contre

66500

66 500 €).

Rappel de cours : L'indice mesure un RYTHME, pas un VOLUME. Deux indicateurs différents, deux conclusions possibles.

Erreur fréquente : Conclure « A est meilleure » ou « B est meilleure » sans préciser le critère. Le bac attend la comparaison explicite des deux points de vue.

Exercice 10 — Taux d'évolution moyen d'une baisse

À maîtriser

L'effectif d'une entreprise est passé de $320$ 320 salariés en 2019 à $260$ 260 salariés en 2024.

1.Calcule le taux d'évolution global de l'effectif, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 %.
2.Calcule le taux annuel moyen de variation, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 %.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Coefficient global : $CM = \frac{260}{320} = 0, 8125$ CM = 260/320 = 0,8125.
2
Taux global : $t = (0, 8125 - 1) \times 100 = - 18, 75 %$ t = (0,8125 - 1) × 100 = -18,75 %.
L'effectif a diminué de $18, 75 %$ 18,75 %.
3
De 2019 à 2024, il y a $2024 - 2019 = 5$ 2024 - 2019 = 5 années d'évolution.
4
On cherche $CM_{m}$ CM _m tel que $(CM_{m})^{5} = 0, 8125$ ( CM _m)⁵ = 0,8125, soit $CM_{m} = 0, 812 5^{\frac{1}{5}}$ CM _m = 0,8125^(1/5).
5
À la calculatrice : $0, 812 5^{0, 2} \approx 0, 959323$ 0,8125^(0,2) ≈ 0,959323.
6
Le taux annuel moyen vaut donc $t_{m} \approx - 4, 07 %$ t_m ≈ -4,07 %.
7
Vérification : $0, 95932 3^{5} \approx 0, 812506 \approx 0, 8125$ 0,959323⁵ ≈ 0,812506 ≈ 0,8125 ✔.
8
Vérification en effectifs : $320 \times 0, 95932 3^{5} \approx 260, 0$ 320 × 0,959323⁵ ≈ 260,0 ✔.
9
Le coefficient moyen est inférieur à $1$ 1, ce qui est cohérent avec une baisse — on aurait dû s'en méfier immédiatement si l'on avait trouvé un nombre supérieur à $1$ 1.
10
Interprétation : tout se passe comme si l'entreprise perdait environ $4, 07 %$ 4,07 % de son effectif chaque année, soit environ $13$ 13 salariés la première année.

Réponse :

- 18, 75 %

-18,75 % au total · taux annuel moyen

\approx - 4, 07 %

≈ -4,07 %.

Rappel de cours : La méthode est identique pour une hausse et pour une baisse : seul le coefficient change de côté par rapport à $1$ 1.

Erreur fréquente : Calculer $- 18, 75 \div 5 = - 3, 75 %$ -18,75 ÷ 5 = -3,75 %. Le taux moyen n'est pas une moyenne arithmétique des taux.

Exercice 11 — Taux moyen après trois évolutions

Type contrôle

Le chiffre d'affaires d'un artisan a évolué de $+ 6 %$ +6 % la première année, $+ 9 %$ +9 % la deuxième et $- 4 %$ -4 % la troisième.

1.Calcule le taux d'évolution global sur les trois ans, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 %.
2.Calcule le taux annuel moyen sur ces trois années, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 %.
3.Le chiffre d'affaires de départ était de $64000$ 64 000 €. Que vaut-il au bout des trois ans ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
On multiplie les trois coefficients : $CM = 1, 06 \times 1, 09 \times 0, 96$ CM = 1,06 × 1,09 × 0,96.
2
$1, 06 \times 1, 09 = 1, 1554$ 1,06 × 1,09 = 1,1554, puis $1, 1554 \times 0, 96 = 1, 109184$ 1,1554 × 0,96 = 1,109184.
3
Taux global : $t \approx + 10, 92 %$ t ≈ +10,92 %.
4
On peut noter au passage que $6 + 9 - 4 = 11 %$ 6 + 9 - 4 = 11 % donne une valeur proche mais fausse : l'addition des taux n'est jamais qu'une approximation grossière.
5
Pour le taux moyen, il y a ici $3$ 3 évolutions : $CM_{m} = 1, 10918 4^{\frac{1}{3}}$ CM _m = 1,109184^(1/3).
6
À la calculatrice : $1, 10918 4^{\frac{1}{3}} \approx 1, 035145$ 1,109184^(1/3) ≈ 1,035145.
7
Taux annuel moyen : $t_{m} \approx + 3, 51 %$ t_m ≈ +3,51 %.
8
Vérification : $1, 03514 5^{3} \approx 1, 10919 \approx 1, 109184$ 1,035145³ ≈ 1,10919 ≈ 1,109184 ✔.
9
Interprétation : trois années agitées ( $+ 6$ +6, $+ 9$ +9, $- 4$ -4) équivalent à trois années tranquilles à $+ 3, 51 %$ +3,51 %.
10
Chiffre d'affaires final : $64000 \times 1, 109184 = 70987, 776$ 64 000 × 1,109184 = 70 987,776, soit environ $70988$ 70 988 €.
11
Contrôle par étapes : $64000 \times 1, 06 = 67840$ 64 000 × 1,06 = 67 840 ; $\times 1, 09 = 73945, 6$ × 1,09 = 73 945,6 ; $\times 0, 96 = 70987, 776$ × 0,96 = 70 987,776 ✔.
Les deux routes coïncident.

Réponse :

CM = 1, 109184

CM = 1,109184, soit

\approx + 10, 92 %

≈ +10,92 % au total · taux annuel moyen

\approx + 3, 51 %

≈ +3,51 % · chiffre d'affaires final

\approx 70988

≈ 70 988 €.

Rappel de cours : Taux global d'abord (par produit), taux moyen ensuite (par racine $n$ n-ième). Jamais l'inverse.

Erreur fréquente : Faire la moyenne des trois taux : $(6 + 9 - 4) \div 3 \approx 3, 67 %$ (6 + 9 - 4)÷ 3 ≈ 3,67 %. C'est proche de $3, 51 %$ 3,51 % mais faux, et le bac sanctionne la méthode, pas seulement le résultat.

Exercice 12 — Changer l'année de base d'un indice

Type contrôle

Le tableau donne l'indice du coût d'un service, base $100$ 100 en 2018 : $I_{2018} = 100$ I₂₀₁₈ = 100, $I_{2020} = 108$ I₂₀₂₀ = 108, $I_{2022} = 117$ I₂₀₂₂ = 117, $I_{2024} = 126$ I₂₀₂₄ = 126.

1.Recalcule ces quatre indices en prenant 2020 comme nouvelle année de base, arrondis à $0, 01$ 0,01.
2.Le taux d'évolution entre 2022 et 2024 dépend-il de l'année de base choisie ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Changer de base, c'est diviser tous les indices par celui de la nouvelle année de base, puis multiplier par $100$ 100.
2
Nouvel indice $= \frac{ancien indice}{108} \times 100$ = (ancien indice)/108 × 100.
3
2018 : $\frac{100}{108} \times 100 \approx 92, 59$ 100/108 × 100 ≈ 92,59.
4
2020 : $\frac{108}{108} \times 100 = 100$ 108/108 × 100 = 100 — c'est bien la nouvelle base ✔.
5
2022 : $\frac{117}{108} \times 100 \approx 108, 33$ 117/108 × 100 ≈ 108,33.
6
2024 : $\frac{126}{108} \times 100 \approx 116, 67$ 126/108 × 100 ≈ 116,67.
7
On lit maintenant directement : le coût a augmenté d'environ $16, 67 %$ 16,67 % entre 2020 et 2024.
8
Pour la seconde question, calculons le taux 2022 → 2024 dans les deux bases.
9
En base 2018 : $\frac{126 - 117}{117} = \frac{9}{117} \approx 0, 076923$ (126 - 117)/117 = 9/117 ≈ 0,076923, soit $+ 7, 69 %$ +7,69 %.
10
En base 2020 : $\frac{116 , 67 - 108 , 33}{108 , 33} \approx \frac{8 , 34}{108 , 33} \approx 0, 07699$ (116,67 - 108,33)/108,33 ≈ 8,34/108,33 ≈ 0,07699, soit $+ 7, 70 %$ +7,70 % — identique à l'arrondi près.
11
C'était prévisible : changer de base revient à multiplier tous les indices par un même nombre ( $\frac{100}{108}$ 100/108), ce qui ne change aucun RAPPORT.
12
Conclusion : l'année de base ne change jamais les taux d'évolution, elle change seulement le repère à partir duquel on les lit directement.

Réponse : Base 100 en 2020 :

92, 59

92,59 (2018) ;

100

100 (2020) ;

108, 33

108,33 (2022) ;

116, 67

116,67 (2024) · non, le taux 2022 → 2024 vaut

\approx + 7, 69 %

≈ +7,69 % quelle que soit la base.

Rappel de cours : Nouvel indice $= \frac{ancien}{ancien de la nouvelle base} \times 100$ = ancien/(ancien de la nouvelle base) × 100. Les taux d'évolution sont invariants.

Erreur fréquente : Recalculer une base en soustrayant $8$ 8 partout. Un indice se change par division, pas par soustraction.

Exercice 13 — Remise puis TVA

Type contrôle

Un fournisseur affiche un matériel à $480$ 480 € hors taxes.

Il accorde une remise commerciale de $15 %$ 15 %, puis la TVA au taux de $20 %$ 20 % s'applique sur le prix remisé.

1.Calcule le prix hors taxes après remise, puis le prix toutes taxes comprises.
2.Quel est le taux d'évolution global entre le prix hors taxes affiché et le prix payé ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Remise de $15 %$ 15 % : coefficient $0, 85$ 0,85.
2
Prix HT remisé : $480 \times 0, 85 = 408$ 480 × 0,85 = 408 €.
3
TVA de $20 %$ 20 % : coefficient $1, 20$ 1,20, appliqué au prix remisé.
4
Prix TTC : $408 \times 1, 20 = 489, 60$ 408 × 1,20 = 489,60 €.
5
Coefficient global : $0, 85 \times 1, 20 = 1, 02$ 0,85 × 1,20 = 1,02.
6
Le taux global vaut donc $+ 2 %$ +2 %.
7
Vérification : $480 \times 1, 02 = 489, 60$ 480 × 1,02 = 489,60 € ✔.
Les deux routes donnent le même prix.
8
Interprétation économique : le client paie finalement $2 %$ 2 % de plus que le prix hors taxes affiché — la remise de $15 %$ 15 % ne compense presque pas la TVA de $20 %$ 20 %.
9
Pourquoi « presque » ?
Parce que la TVA s'applique à un prix déjà réduit : $20 %$ 20 % de $408$ 408 € font $81, 60$ 81,60 €, contre $96$ 96 € si elle avait porté sur $480$ 480 €.
10
Question de vigilance : l'ordre changerait-il le résultat ?
Non — $1, 20 \times 0, 85 = 1, 02$ 1,20 × 0,85 = 1,02 aussi.
Le prix TTC serait le même, seul le détail de la facture changerait.

Réponse :

408

408 € HT après remise ·

489, 60

489,60 € TTC · taux global

+ 2 %

+2 % (coefficient

1, 02

1,02).

Rappel de cours : Remise et TVA sont deux évolutions successives : leurs coefficients se multiplient, ici $0, 85 \times 1, 20 = 1, 02$ 0,85 × 1,20 = 1,02.

Erreur fréquente : Faire $- 15 + 20 = + 5 %$ -15 + 20 = +5 %. Le vrai taux global est $+ 2 %$ +2 %, soit $14, 40$ 14,40 € d'écart sur cette facture.

Exercice 14 — Points de pourcentage et pourcentage

Type contrôle

Le taux de marge d'une entreprise est passé de $12 %$ 12 % en 2023 à $15 %$ 15 % en 2024.

Le directeur commercial annonce « une progression de $3 %$ 3 % », le directeur financier « une progression de $25 %$ 25 % ».

1.Qui a raison ? Justifie les deux nombres.
2.Le taux de marge de l'entreprise concurrente passe de $20 %$ 20 % à $23 %$ 23 %. Compare les deux progressions.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Les deux nombres sont exacts, mais ils ne mesurent pas la même chose.
C'est un piège de vocabulaire, très fréquent au bac STMG.
2
Le directeur commercial fait la différence : $15 - 12 = 3$ 15 - 12 = 3.
Le taux a gagné $3$ 3 POINTS de pourcentage.
3
Le directeur financier fait un taux d'évolution : $\frac{15 - 12}{12} = \frac{3}{12} = 0, 25$ (15 - 12)/12 = 3/12 = 0,25, soit $+ 25 %$ +25 %.
4
Le premier annonce donc « $+ 3$ +3 points », le second « $+ 25 %$ +25 % ».
Le mot « $3 %$ 3 % » employé par le commercial est le seul vraiment fautif : il fallait dire « $3$ 3 points ».
5
Règle : entre deux pourcentages, une différence se dit en POINTS, une évolution relative se dit en POUR CENT.
6
Pour la concurrente : $23 - 20 = 3$ 23 - 20 = 3, donc $+ 3$ +3 points également.
7
Mais en évolution relative : $\frac{23 - 20}{20} = \frac{3}{20} = 0, 15$ (23 - 20)/20 = 3/20 = 0,15, soit $+ 15 %$ +15 %.
8
Comparaison : les deux entreprises gagnent le même nombre de points ( $3$ 3), mais la première progresse de $25 %$ 25 % contre $15 %$ 15 % pour la seconde.
9
C'est cohérent : partir de $12$ 12 et gagner $3$ 3, c'est un effort proportionnellement plus grand que partir de $20$ 20 et gagner $3$ 3.
10
En pratique, on donne souvent les deux : « le taux de marge gagne $3$ 3 points, soit une progression de $25 %$ 25 % ».
La phrase est alors sans ambiguïté.

Réponse : Les deux ont raison :

+ 3

+3 POINTS de pourcentage, ce qui représente

+ 25 %

+25 % en évolution relative · la concurrente gagne aussi

3

3 points, mais seulement

+ 15 %

+15 %.

Rappel de cours : Différence de deux pourcentages → POINTS. Évolution de l'un vers l'autre → pourcentage, calculé avec $\frac{V _{a} - V _{d}}{V _{d}}$ (Vₐ - V_d)/V_d.

Erreur fréquente : Écrire « le taux de marge a augmenté de $3 %$ 3 % ». Cela signifierait $12 \times 1, 03 = 12, 36 %$ 12 × 1,03 = 12,36 %, et non $15 %$ 15 %.

Exercice 15 — Retrouver un taux manquant

Type contrôle

Sur deux ans, le chiffre d'affaires d'un commerce a progressé de $32 %$ 32 % au total.

La première année, la progression avait été de $10 %$ 10 %.

1.Quel a été le taux d'évolution de la deuxième année ?
2.Même question si le total sur deux ans avait été une baisse de $4 %$ 4 %, la première année étant toujours à $+ 10 %$ +10 %.

Voir la correction

Correction détaillée

1
On traduit tout en coefficients.
Coefficient global : $1, 32$ 1,32.
Coefficient de la première année : $1, 10$ 1,10.
2
Les coefficients se multiplient : $1, 10 \times CM_{2} = 1, 32$ 1,10 × CM ₂ = 1,32.
3
Donc $CM_{2} = \frac{1 , 32}{1 , 10} = 1, 2$ CM ₂ = 1,32/1,10 = 1,2.
4
Le taux de la deuxième année est $+ 20 %$ +20 %.
5
Vérification : $1, 10 \times 1, 20 = 1, 32$ 1,10 × 1,20 = 1,32 ✔.
6
On remarque au passage que $10 + 20 = 30 \neq = 32$ 10 + 20 = 30 ≠ 32 : encore une fois, les taux ne s'additionnent pas.
7
Second cas : le coefficient global vaut $1 - 0, 04 = 0, 96$ 1 - 0,04 = 0,96.
8
$CM_{2} = \frac{0 , 96}{1 , 10} \approx 0, 872727$ CM ₂ = 0,96/1,10 ≈ 0,872727.
9
Le taux de la deuxième année est donc $t_{2} \approx - 12, 73 %$ t₂ ≈ -12,73 %.
10
Vérification : $1, 10 \times 0, 872727 \approx 0, 96$ 1,10 × 0,872727 ≈ 0,96 ✔.
11
Lecture : après une bonne première année, une chute de près de $13 %$ 13 % suffit à faire terminer la période dans le rouge.
12
Méthode générale à retenir : un coefficient manquant s'obtient par DIVISION du coefficient global par les coefficients connus.

Réponse :

+ 20 %

+20 % la deuxième année · et

\approx - 12, 73 %

≈ -12,73 % dans le second cas.

Rappel de cours : $CM_{2} = \frac{CM _{global}}{CM _{1}}$ CM ₂ = (CM _global)/(CM ₁). Chercher un taux manquant, c'est diviser des coefficients.

Erreur fréquente : Faire $32 - 10 = 22 %$ 32 - 10 = 22 %. Le résultat exact est $20 %$ 20 % : la soustraction des taux est aussi fausse que leur addition.

Exercice 16 — Type bac : croissance et prévision

Type bac / défi

Le chiffre d'affaires d'une PME était de $1500000$ 1 500 000 € en 2019 et de $2100000$ 2 100 000 € en 2024.

1.Calcule le taux d'évolution global sur la période.
2.Calcule le taux annuel moyen, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 %.
3.En supposant que ce taux moyen se maintienne, estime le chiffre d'affaires de 2027, arrondi au millier d'euros.
4.Le dirigeant vise $3$ 3 millions d'euros. Cet objectif est-il atteint en 2027 ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Coefficient global : $CM = \frac{2 100 000}{1 500 000} = 1, 4$ CM = (2 100 000)/(1 500 000) = 1,4, soit $+ 40 %$ +40 % sur la période.
2
De 2019 à 2024, il y a $5$ 5 années d'évolution.
3
Taux moyen : $CM_{m} = 1, 4^{\frac{1}{5}} \approx 1, 069610$ CM _m = 1,4^(1/5) ≈ 1,069610.
4
Le taux annuel moyen vaut donc $t_{m} \approx + 6, 96 %$ t_m ≈ +6,96 %.
5
Vérification : $1, 06961 0^{5} \approx 1, 39993 \approx 1, 4$ 1,069610⁵ ≈ 1,39993 ≈ 1,4 ✔.
6
Pour 2027, il y a $3$ 3 années après 2024 : on multiplie trois fois par le coefficient moyen.
7
$CA_{2027} \approx 2100000 \times 1, 06961 0^{3}$ CA ₂₀₂₇ ≈ 2 100 000 × 1,069610³.
8
$1, 06961 0^{2} \approx 1, 144066$ 1,069610² ≈ 1,144066, puis $1, 144066 \times 1, 069610 \approx 1, 223697$ 1,144066 × 1,069610 ≈ 1,223697.
9
$CA_{2027} \approx 2100000 \times 1, 223697 \approx 2569764$ CA ₂₀₂₇ ≈ 2 100 000 × 1,223697 ≈ 2 569 764 €, soit environ $2570000$ 2 570 000 €.
10
L'objectif de $3$ 3 millions n'est donc PAS atteint en 2027 : il manque environ $430000$ 430 000 €.
11
Justification chiffrée à rédiger : $2570000 < 3000000$ 2 570 000 < 3 000 000, l'écart représente près de $17 %$ 17 % du chiffre visé.
12
Réserve indispensable au bac : cette prévision suppose que le rythme des cinq dernières années se prolonge à l'identique pendant trois ans.
Rien ne le garantit — un modèle n'est pas une prédiction.

Réponse :

+ 40 %

+40 % au total · taux annuel moyen

\approx + 6, 96 %

≈ +6,96 % ·

CA_{2027} \approx 2570000

CA ₂₀₂₇ ≈ 2 570 000 € · l'objectif de

3

3 M€ n'est pas atteint.

Rappel de cours : Une prévision se fait en prolongeant le coefficient MOYEN autant de fois qu'il y a d'années à venir.

Erreur fréquente : Compter $2027 - 2024 = 3$ 2027 - 2024 = 3 et écrire malgré tout un exposant $2$ 2 ou $4$ 4. L'exposant est le nombre d'années à parcourir, ici $3$ 3.

Exercice 17 — Type bac : prix, salaires et pouvoir d'achat

Type bac / défi

Entre 2020 et 2024, l'indice des prix à la consommation d'un pays est passé de $100$ 100 à $112, 5$ 112,5, tandis que l'indice du salaire moyen est passé de $100$ 100 à $108$ 108.

1.De quel pourcentage les prix ont-ils augmenté ? Et les salaires ?
2.Un salarié gagnait $2000$ 2 000 € en 2020. Combien gagne-t-il en 2024, et que coûte en 2024 un panier qui valait $2000$ 2 000 € en 2020 ?
3.Calcule le taux d'évolution du pouvoir d'achat sur la période. Conclus.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Les deux indices partent de $100$ 100 : la lecture est directe.
2
Les prix ont augmenté de $12, 5 %$ 12,5 %, les salaires de $8 %$ 8 %.
3
Salaire en 2024 : $2000 \times 1, 08 = 2160$ 2 000 × 1,08 = 2 160 €.
4
Prix du panier en 2024 : $2000 \times 1, 125 = 2250$ 2 000 × 1,125 = 2 250 €.
5
Le salarié gagne $2160$ 2 160 € mais le panier en coûte $2250$ 2 250 : il ne peut plus se le payer entièrement.
Le pouvoir d'achat a donc baissé.
6
Le pouvoir d'achat est le rapport $\frac{salaire}{prix}$ salaire/prix : son coefficient d'évolution est le quotient des deux coefficients.
7
$CM_{pouvoir d’achat} = \frac{1 , 08}{1 , 125} = 0, 96$ CM _pouvoir d'achat = 1,08/1,125 = 0,96.
8
Le pouvoir d'achat a donc baissé de $4 %$ 4 %.
9
Vérification concrète : en 2020 le salaire achetait $1$ 1 panier ; en 2024 il en achète $\frac{2 160}{2 250} = 0, 96$ (2 160)/(2 250) = 0,96 panier ✔.
10
Erreur classique à écarter : $8 - 12, 5 = - 4, 5 %$ 8 - 12,5 = -4,5 %.
La soustraction des taux donne $- 4, 5 %$ -4,5 % au lieu de $- 4 %$ -4 % — proche, mais faux.
11
Conclusion rédigée : malgré une hausse nominale de $8 %$ 8 % de son salaire, le salarié perd $4 %$ 4 % de pouvoir d'achat, parce que les prix ont progressé plus vite que sa rémunération.
12
Pour maintenir son pouvoir d'achat, le salaire aurait dû suivre les prix, soit atteindre $2000 \times 1, 125 = 2250$ 2 000 × 1,125 = 2 250 € — il manque $90$ 90 €.

Réponse : Prix

+ 12, 5 %

+12,5 %, salaires

+ 8 %

+8 % · salaire

2160

2 160 € contre un panier à

2250

2 250 € · pouvoir d'achat

\times 0, 96

× 0,96, soit

- 4 %

-4 %.

Rappel de cours : Pouvoir d'achat : on DIVISE le coefficient des salaires par celui des prix. Une division de coefficients, jamais une différence de taux.

Erreur fréquente : Soustraire les taux ( $8 - 12, 5$ 8 - 12,5). L'écart avec la vraie réponse grandit dès que les taux dépassent quelques pour cent.

Exercice 18 — Type bac : soldes et retour au prix initial

Type bac / défi

Un magasin pratique une démarque de $30 %$ 30 % pendant les soldes.

Un article coûtait $180$ 180 € avant soldes.

1.Calcule le prix soldé.
2.À la fin des soldes, de quel pourcentage le gérant doit-il augmenter le prix soldé pour revenir exactement au prix initial ? Arrondis à $0, 01 %$ 0,01 %.
3.Le gérant décide en fait d'augmenter le prix soldé de $30 %$ 30 %. Quel est alors le prix affiché, et quel est le taux global depuis le prix initial ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Démarque de $30 %$ 30 % : coefficient $0, 70$ 0,70.
2
Prix soldé : $180 \times 0, 70 = 126$ 180 × 0,70 = 126 €.
3
Pour revenir à $180$ 180 €, on cherche l'évolution réciproque, de coefficient $\frac{1}{0 , 70} \approx 1, 428571$ 1/0,70 ≈ 1,428571.
4
Le taux correspondant vaut $t \approx + 42, 86 %$ t ≈ +42,86 %.
5
Vérification : $126 \times 1, 428571 \approx 180$ 126 × 1,428571 ≈ 180 € ✔.
6
Autre route, directe : $\frac{180 - 126}{126} = \frac{54}{126} \approx 0, 428571$ (180 - 126)/126 = 54/126 ≈ 0,428571, soit $+ 42, 86 %$ +42,86 % ✔.
7
Il faut donc augmenter de près de $43 %$ 43 % pour effacer une baisse de $30 %$ 30 % : c'est beaucoup plus que $30 %$ 30 %, et c'est normal, car la hausse porte sur un prix plus petit.
8
Troisième question : $126 \times 1, 30 = 163, 80$ 126 × 1,30 = 163,80 €.
9
Le prix affiché est donc $163, 80$ 163,80 €, soit $16, 20$ 16,20 € de moins que le prix initial.
10
Taux global : $CM = 0, 70 \times 1, 30 = 0, 91$ CM = 0,70 × 1,30 = 0,91, soit $- 9 %$ -9 % par rapport au prix d'avant soldes.
11
Vérification : $180 \times 0, 91 = 163, 80$ 180 × 0,91 = 163,80 € ✔.
12
Conclusion commerciale : en croyant « annuler » sa démarque, le gérant vend en réalité $9 %$ 9 % moins cher qu'avant les soldes.

Réponse : Prix soldé

126

126 € · il faut augmenter de

\approx + 42, 86 %

≈ +42,86 % pour revenir à

180

180 € · avec

+ 30 %

+30 % le prix n'est que de

163, 80

163,80 €, soit

- 9 %

-9 % par rapport au prix initial.

Rappel de cours : Taux réciproque d'une baisse de $30 %$ 30 % : $\frac{1}{0 , 7} - 1 \approx + 42, 86 %$ 1/0,7 - 1 ≈ +42,86 %. Toujours supérieur en valeur au taux de départ.

Erreur fréquente : Penser que $- 30 %$ -30 % puis $+ 30 %$ +30 % revient au point de départ. Il manque $9 %$ 9 %, soit $16, 20$ 16,20 € sur cet article.

Exercice 19 — Type bac : indices et taux moyen d'un secteur

Type bac / défi

Le tableau donne l'indice du chiffre d'affaires d'un secteur, base $100$ 100 en 2019 : $I_{2019} = 100$ I₂₀₁₉ = 100, $I_{2021} = 94$ I₂₀₂₁ = 94, $I_{2023} = 109$ I₂₀₂₃ = 109, $I_{2025} = 121$ I₂₀₂₅ = 121.

1.Décris en une phrase l'évolution du secteur entre 2019 et 2025.
2.Calcule le taux d'évolution entre 2021 et 2025, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 %.
3.Calcule le taux annuel moyen entre 2019 et 2025, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 %.
4.Le chiffre d'affaires du secteur valait $4, 8$ 4,8 milliards d'euros en 2019. Que vaut-il en 2025 ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Lecture : l'indice descend d'abord sous $100$ 100 ( $94$ 94 en 2021), puis remonte au-dessus ( $109$ 109 en 2023, $121$ 121 en 2025).
2
Phrase de synthèse : le secteur a d'abord reculé de $6 %$ 6 % entre 2019 et 2021, avant de se redresser nettement pour dépasser de $21 %$ 21 % son niveau de 2019 en 2025.
3
Taux 2021 → 2025 : l'année de départ n'est pas la base, on calcule $\frac{121 - 94}{94} = \frac{27}{94}$ (121 - 94)/94 = 27/94.
4
$\frac{27}{94} \approx 0, 287234$ 27/94 ≈ 0,287234, soit environ $+ 28, 72 %$ +28,72 %.
5
Taux annuel moyen 2019 → 2025 : le coefficient global vaut $\frac{121}{100} = 1, 21$ 121/100 = 1,21, et il y a $6$ 6 années.
6
$CM_{m} = 1, 2 1^{\frac{1}{6}} \approx 1, 032280$ CM _m = 1,21^(1/6) ≈ 1,032280.
7
Le taux annuel moyen vaut donc $t_{m} \approx + 3, 23 %$ t_m ≈ +3,23 %.
8
Vérification : $1, 03228 0^{6} \approx 1, 21001 \approx 1, 21$ 1,032280⁶ ≈ 1,21001 ≈ 1,21 ✔.
9
Chiffre d'affaires 2025 : l'indice $121$ 121 signifie un coefficient $1, 21$ 1,21 depuis 2019.
10
$4, 8 \times 1, 21 = 5, 808$ 4,8 × 1,21 = 5,808, soit $5, 808$ 5,808 milliards d'euros.
11
Contrôle : $4, 8 \times 1, 03228 0^{6} \approx 4, 8 \times 1, 21 = 5, 808$ 4,8 × 1,032280⁶ ≈ 4,8 × 1,21 = 5,808 ✔, les deux méthodes concordent.
12
Remarque de méthode : le taux moyen de $+ 3, 23 %$ +3,23 % lisse complètement le creux de 2021.
Il résume la période, il ne la décrit pas — c'est sa limite, et le bac attend qu'on le signale.

Réponse : Recul de

6 %

6 % jusqu'en 2021 puis redressement à

+ 21 %

+21 % en 2025 ·

\approx + 28, 72 %

≈ +28,72 % entre 2021 et 2025 · taux annuel moyen

\approx + 3, 23 %

≈ +3,23 % ·

5, 808

5,808 milliards d'euros en 2025.

Rappel de cours : Un indice donne à la fois le coefficient depuis la base ( $I \div 100$ I ÷ 100) et, par quotients, tous les taux intermédiaires.

Erreur fréquente : Lire $+ 27 %$ +27 % entre 2021 et 2025 en soustrayant les indices. Le taux exact est $+ 28, 72 %$ +28,72 %, car le départ est à $94$ 94 et non à $100$ 100.

Exercice 20 — Type bac : synthèse et objectif à atteindre

Type bac / défi

Le chiffre d'affaires d'un magasin, en milliers d'euros, est le suivant : $420$ 420 en 2020, $445$ 445 en 2021, $462$ 462 en 2022, $448$ 448 en 2023, $495$ 495 en 2024.

1.Calcule le taux d'évolution entre 2020 et 2021, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 %.
2.Calcule le taux d'évolution global entre 2020 et 2024, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 %.
3.Déduis-en le taux annuel moyen sur la période, arrondi à $0, 01 %$ 0,01 %.
4.En supposant ce taux moyen maintenu, en quelle année le chiffre d'affaires dépassera-t-il $600$ 600 milliers d'euros ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
2020 → 2021 : $t = \frac{445 - 420}{420} = \frac{25}{420} \approx 0, 059524$ t = (445 - 420)/420 = 25/420 ≈ 0,059524, soit environ $+ 5, 95 %$ +5,95 %.
2
2020 → 2024 : $CM = \frac{495}{420} \approx 1, 178571$ CM = 495/420 ≈ 1,178571, soit environ $+ 17, 86 %$ +17,86 %.
3
On note que la progression n'a pas été régulière : 2023 marque même un recul ( $448 < 462$ 448 < 462).
4
Taux annuel moyen : il y a $4$ 4 années d'évolution, donc $CM_{m} = 1, 17857 1^{\frac{1}{4}}$ CM _m = 1,178571^(1/4).
5
À la calculatrice : $1, 17857 1^{0, 25} \approx 1, 041931$ 1,178571^(0,25) ≈ 1,041931, soit $t_{m} \approx + 4, 19 %$ t_m ≈ +4,19 %.
6
Vérification : $1, 04193 1^{2} \approx 1, 085620$ 1,041931² ≈ 1,085620 puis $1, 08562 0^{2} \approx 1, 178571$ 1,085620² ≈ 1,178571 ✔.
7
Pour l'objectif, on part de $495$ 495 en 2024 et l'on cherche le plus petit entier $n$ n tel que $495 \times 1, 04193 1^{n} > 600$ 495 × 1,041931^(n) > 600.
8
Cela revient à $1, 04193 1^{n} > \frac{600}{495} \approx 1, 212121$ 1,041931^(n) > 600/495 ≈ 1,212121.
9
On teste au tableur ou à la calculatrice : $n = 4$ n = 4 donne $495 \times 1, 178571 \approx 583, 4$ 495 × 1,178571 ≈ 583,4, c'est insuffisant.
10
$n = 5$ n = 5 donne $495 \times 1, 227993 \approx 607, 9$ 495 × 1,227993 ≈ 607,9, qui dépasse bien $600$ 600.
11
Le seuil est donc franchi pour $n = 5$ n = 5, c'est-à-dire en $2024 + 5 = 2029$ 2024 + 5 = 2029.
12
Rédaction attendue : sous l'hypothèse d'une croissance annuelle de $4, 19 %$ 4,19 %, le chiffre d'affaires dépasserait $600$ 600 milliers d'euros en 2029, avec environ $608$ 608 milliers d'euros.
13
Nuance à ne pas oublier : les cinq années observées montrent une croissance irrégulière, avec une année de baisse.
Prolonger un taux moyen sur cinq ans de plus est une simple projection, pas une certitude.

Réponse :

\approx + 5, 95 %

≈ +5,95 % en 2021 ·

\approx + 17, 86 %

≈ +17,86 % sur 2020-2024 · taux annuel moyen

\approx + 4, 19 %

≈ +4,19 % · le seuil de

600

600 est dépassé en 2029 (environ

608

608).

Rappel de cours : Chercher une année de dépassement, c'est chercher le plus petit $n$ n tel que $V_{0} \times CM_{m}^{n} > S$ V₀ × CM _m^(n) > S — par balayage au tableur ou à la calculatrice.

Erreur fréquente : Répondre « en 2028 » en oubliant que $n$ n se compte à partir de 2024, ou en s'arrêtant au premier $n$ n qui approche $600$ 600 sans le dépasser.

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