Théorème de Pythagore en Quatrième

Le théorème de Pythagore en 4ème : cours complet

Le théorème de Pythagore est l'un des théorèmes les plus célèbres des mathématiques. Il permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres, ou de prouver qu'un triangle est rectangle. C'est un incontournable du brevet.

Le théorème de Pythagore

Énoncé

Si un triangle $ABC$ABC est rectangle en $A$A, alors :

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$BC² = AB² + AC²

Vocabulaire

• $BC$BC est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, le plus long des trois.
• $AB$AB et $AC$AC sont les côtés de l'angle droit.

Formulation

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Calculer la longueur de l'hypoténuse

Si on connaît les deux côtés de l'angle droit, on en déduit l'hypoténuse.

Exemple

Triangle $ABC$ABC rectangle en $A$A, avec $AB=3$AB = 3 cm et $AC=4$AC = 4 cm. Calcul de $BC$BC :

$$B{C}^2=3^2+4^2=9+16=25$$BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 $$BC=\sqrt{25}=5\text{ cm}$$BC = √(25) = 5 cm

Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit

Si on connaît l'hypoténuse et l'un des côtés de l'angle droit, on en déduit l'autre.

Exemple

Triangle $ABC$ABC rectangle en $A$A, avec $BC=13$BC = 13 cm (hypoténuse) et $AB=5$AB = 5 cm. Calcul de $AC$AC :

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$BC² = AB² + AC² $$13^2=5^2+A{C}^2$$13² = 5² + AC² $$169=25+A{C}^2$$169 = 25 + AC² $$A{C}^2=169-25=144$$AC² = 169 - 25 = 144 $$AC=\sqrt{144}=12\text{ cm}$$AC = √(144) = 12 cm

La réciproque du théorème de Pythagore

Énoncé

Si dans un triangle $ABC$ABC on a $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en $A$A.

À quoi sert la réciproque ?

À démontrer qu'un triangle est rectangle.

Méthode

1. Identifier le côté le plus long (potentielle hypoténuse).
2. Calculer le carré du plus long côté.
3. Calculer la somme des carrés des deux autres.
4. Comparer :
   • Si les deux sont égaux, le triangle est rectangle.
   • S'ils sont différents, le triangle n'est pas rectangle.

Exemple

Triangle avec côtés $5$5, $12$12, $13$13. Le côté le plus long est $13$13.

• $13^2=169$13² = 169.
• $5^2+12^2=25+144=169$5² + 12² = 25 + 144 = 169.

Les deux sont égaux, donc le triangle est rectangle.

La contraposée — Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle

Si $B{C}^2\ne A{B}^2+A{C}^2$BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle n'est pas rectangle en $A$A.

Exemple

Triangle avec côtés $4$4, $5$5, $7$7. Le plus long est $7$7.

• $7^2=49$7² = 49.
• $4^2+5^2=16+25=41$4² + 5² = 16 + 25 = 41.

$49\ne 41$49 ≠ 41, donc le triangle n'est pas rectangle.

Triplets pythagoriciens

Des triplets pythagoriciens sont trois entiers $(a,b,c)$(a, b, c) qui vérifient $a^2+b^2=c^2$a² + b² = c². Ce sont des longueurs entières d'un triangle rectangle.

Exemples célèbres

• $(3,4,5)$(3, 4, 5)
• $(5,12,13)$(5, 12, 13)
• $(8,15,17)$(8, 15, 17)
• $(7,24,25)$(7, 24, 25)

Tout multiple d'un triplet est aussi un triplet : $(6,8,10)$(6, 8, 10), $(9,12,15)$(9, 12, 15)…

Applications dans des problèmes

Diagonale d'un rectangle

Pour calculer la diagonale d'un rectangle $L\times \ell$L × ℓ :

$$d=\sqrt{L^2+{\ell }^2}$$d = √(L² + ℓ²)

Hauteur d'un triangle isocèle

Le pied de la hauteur d'un triangle isocèle est au milieu de la base ; on peut donc appliquer Pythagore dans un demi-triangle.

Distance dans un repère

Pour calculer la distance entre deux points $A(x_A,y_A)$A(x_A, y_A) et $B(x_B,y_B)$B(x_B, y_B) :

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$$AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²)

(C'est une application directe de Pythagore.)

Rédaction type au brevet

Pour calculer une longueur

Dans le triangle $ABC$ABC rectangle en $A$A, d'après le théorème de Pythagore : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC² = AB² + AC² $B{C}^2=3^2+4^2=9+16=25$BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 $BC=\sqrt{25}=5$BC = √(25) = 5 cm.

Pour démontrer qu'un triangle est rectangle

Le côté le plus long est $BC=13$BC = 13. $B{C}^2=169$BC² = 169. $A{B}^2+A{C}^2=25+144=169$AB² + AC² = 25 + 144 = 169. Comme $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC² = AB² + AC², d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ABC est rectangle en $A$A.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre théorème et réciproque : le théorème calcule une longueur ; la réciproque prouve qu'un triangle est rectangle.
• Mal identifier l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, le plus long.
• Élever au carré une seule fois : on doit élever toutes les longueurs au carré.
• Oublier la racine carrée à la fin : $B{C}^2=25$BC² = 25 ne veut pas dire $BC=25$BC = 25, mais $BC=5$BC = 5.
• Mal écrire la formule : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC² = AB² + AC² et pas $A{B}^2-A{C}^2$AB² - AC².

FAQ — Le théorème de Pythagore

Le théorème marche-t-il pour tous les triangles ?

Non, uniquement pour les triangles rectangles. Pour les autres triangles, il faut d'autres théorèmes (Al-Kashi au lycée).

Comment retrouver le théorème ?

Le carré construit sur l'hypoténuse a la même aire que la somme des deux carrés construits sur les côtés de l'angle droit. C'est l'idée géométrique du théorème.

Quelle est la différence entre théorème et réciproque ?

Le théorème part de « triangle rectangle » et donne « égalité des carrés ». La réciproque part de « égalité des carrés » et conclut « triangle rectangle ».

Comment savoir si je dois utiliser le théorème ou la réciproque ?

• Si on te demande une longueur d'un côté → théorème de Pythagore.
• Si on te demande si un triangle est rectangle → réciproque.