Trigonométrie (triangle rectangle) en Troisième

Trigonométrie (triangle rectangle) en 3ème : cours complet

En troisième, tu complètes la trigonométrie commencée en 4ème avec le cosinus. Tu découvres aussi le sinus et la tangente, et tu apprends à calculer des angles et des longueurs dans tous les cas. Ce chapitre est un grand classique du brevet, et la trigonométrie est utilisée partout en sciences et en ingénierie.

Les trois fonctions trigonométriques

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\hat{B}$B̂ :

$$\cos (\hat{B})=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}$$cos(B̂) = adjacent/hypoténuse

$$\sin (\hat{B})=\frac{\text{opposeˊ}}{\text{hypoteˊnuse}}$$sin(B̂) = opposé/hypoténuse

$$\tan (\hat{B})=\frac{\text{opposeˊ}}{\text{adjacent}}$$tan(B̂) = opposé/adjacent

Vocabulaire

Dans un triangle $ABC$ABC rectangle en $A$A :

• L'hypoténuse est $BC$BC (opposée à l'angle droit).
• Pour l'angle $\hat{B}$B̂ : l'adjacent est $AB$AB, l'opposé est $AC$AC.

Mnémonique : SOH-CAH-TOA

• Sinus = Opposé / Hypoténuse → SOH
• Cosinus = Adjacent / Hypoténuse → CAH
• Tangente = Opposé / Adjacent → TOA

Valeurs caractéristiques

Choisir la bonne fonction

Selon les données disponibles :

Calculer une longueur

Exemple 1 — Sinus

Triangle rectangle en $A$A, avec $\hat{B}=25°$B̂ = 25° et $BC=10$BC = 10 cm. Calculer $AC$AC (opposé à $\hat{B}$B̂) :

$$\sin (25°)=\frac{AC}{10}$$sin(25°) = AC/10 $$AC=10\times \sin (25°)\approx 4,23\text{ cm}$$AC = 10 × sin(25°) ≈ 4,23 cm

Exemple 2 — Tangente

Triangle rectangle en $A$A, avec $\hat{B}=50°$B̂ = 50° et $AB=3$AB = 3 cm. Calculer $AC$AC :

$$\tan (50°)=\frac{AC}{3}$$tan(50°) = AC/3 $$AC=3\times \tan (50°)\approx 3,58\text{ cm}$$AC = 3 × tan(50°) ≈ 3,58 cm

Calculer un angle

On utilise les fonctions réciproques : $\arccos$arccos, $\arcsin$arcsin, $\arctan$arctan (touches ${\cos }^{-1}$cos⁻¹, ${\sin }^{-1}$sin⁻¹, ${\tan }^{-1}$tan⁻¹ de la calculatrice).

Exemple

Dans un triangle rectangle en $A$A, $AC=5$AC = 5, $BC=8$BC = 8. Calculer $\hat{B}$B̂ :

$$\sin (\hat{B})=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{8}=0,625$$sin(B̂) = AC/BC = 5/8 = 0,625 $$\hat{B}=\arcsin (0,625)\approx 38,7°$$B̂ = arcsin(0,625) ≈ 38,7°

Relations utiles

Relation fondamentale

Pour tout angle $\theta$θ :

$${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1$$cos²(θ) + sin²(θ) = 1

Lien entre tangente et cosinus / sinus

$$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$$tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)

Angles complémentaires

Si $\hat{B}+\hat{C}=90°$B̂ + Ĉ = 90° (angles complémentaires) :

$$\cos (\hat{B})=\sin (\hat{C})\text{et}\sin (\hat{B})=\cos (\hat{C})$$cos(B̂) = sin(Ĉ) et sin(B̂) = cos(Ĉ)

Rédaction au brevet

Pour calculer une longueur

Dans le triangle $ABC$ABC rectangle en $A$A : $\sin (\hat{B})=\frac{AC}{BC}$sin(B̂) = AC/BC $\sin (25°)=\frac{AC}{10}$sin(25°) = AC/10 $AC=10\times \sin (25°)\approx 4,23$AC = 10 × sin(25°) ≈ 4,23 cm.

Pour calculer un angle

$\tan (\hat{B})=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}\approx 1,33$tan(B̂) = AC/AB = 4/3 ≈ 1,33 $\hat{B}=\arctan (1,33)\approx 53,1°$B̂ = arctan(1,33) ≈ 53,1°.

Applications concrètes

Calculer une hauteur

Pour calculer la hauteur d'un arbre, on mesure une distance et l'angle vu depuis cette distance, puis on applique $\tan$tan.

Triangulation

Méthode utilisée par les géomètres et la marine pour mesurer des distances inaccessibles.

Navigation et GPS

Tous les calculs de position et de cap reposent sur la trigonométrie.

Erreurs fréquentes à éviter

• Calculatrice en mode RAD au lieu de DEG : vérifie toujours !
• Confondre opposé et adjacent par rapport à l'angle considéré.
• Mal placer numérateur et dénominateur dans la formule.
• Mauvais arrondi : respecter la consigne (à $0,01$0,01 près, etc.).
• Confondre ${\sin }^{-1}$sin⁻¹ et $\frac{1}{\sin }$1/sin : ce n'est PAS la même chose !

FAQ — La trigonométrie en 3ème

Comment retenir SOH-CAH-TOA ?

C'est l'acronyme des formules : Sin = Opposé/Hypoténuse, Cos = Adjacent/Hypoténuse, Tan = Opposé/Adjacent.

Pourquoi pas de tangente de $90°$90° ?

Parce que cela reviendrait à diviser par $0$0 (le cosinus de $90°$90° vaut $0$0). La tangente n'est pas définie pour cet angle.

À quoi sert la trigonométrie au quotidien ?

À calculer des hauteurs et des distances inaccessibles : hauteur d'un bâtiment, distance d'une étoile, profondeur d'une mer… C'est aussi la base de la physique (oscillations, ondes), des graphiques 3D en jeux vidéo, des signaux audio.

Le sinus et le cosinus existent-ils pour des angles obtus ?

Oui (vu au lycée), mais en 3ème on se limite aux angles aigus dans un triangle rectangle.